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1. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。有下列结论：
①$AB=CD$；②$AC=BD$；③$∠ AOC=∠ BOD$；④$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
其中正确的有（
A.②③④
B.①②③④
C.①②④
D.①②③
①$AB=CD$；②$AC=BD$；③$∠ AOC=∠ BOD$；④$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
其中正确的有（
B
）。A.②③④
B.①②③④
C.①②④
D.①②③
答案
1. B
解析
【分析】
解决这道题需运用同圆中弧、弦、圆心角的对应关系逐一判断结论：首先回忆核心性质：同圆中，相等的弧所对的弦相等、所对的圆心角也相等；两个相等的弧同时减去（或加上）相同的公共弧，剩余弧仍然相等。我们从已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$出发，逐个验证四个结论即可。
【解析】
1. 判断①：在$\odot O$中，相等的弧所对的弦相等，已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，因此$AB=CD$，①正确。
2. 判断④：$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，可得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，④正确。
3. 判断②：同圆中相等的弧所对的弦相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$可得$AC=BD$，②正确。
4. 判断③：同圆中相等的弧所对的圆心角相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$可得$∠ AOC=∠ BOD$，③正确。
综上①②③④均正确。
【答案】
B
【知识点】
圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题是基础性质应用题，核心考查同圆中弧、弦、圆心角三者的等价转化关系，解题关键是掌握相等弧加减公共弧后仍相等的规律。
【难度系数】
0.8
解决这道题需运用同圆中弧、弦、圆心角的对应关系逐一判断结论：首先回忆核心性质：同圆中，相等的弧所对的弦相等、所对的圆心角也相等；两个相等的弧同时减去（或加上）相同的公共弧，剩余弧仍然相等。我们从已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$出发，逐个验证四个结论即可。
【解析】
1. 判断①：在$\odot O$中，相等的弧所对的弦相等，已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，因此$AB=CD$，①正确。
2. 判断④：$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，可得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，④正确。
3. 判断②：同圆中相等的弧所对的弦相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$可得$AC=BD$，②正确。
4. 判断③：同圆中相等的弧所对的圆心角相等，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$可得$∠ AOC=∠ BOD$，③正确。
综上①②③④均正确。
【答案】
B
【知识点】
圆心角、弧、弦的关系
【点评】
本题是基础性质应用题，核心考查同圆中弧、弦、圆心角三者的等价转化关系，解题关键是掌握相等弧加减公共弧后仍相等的规律。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$AC=CD=DB$，则$\overset{\frown}{AD}$的度数为
$120°$
。答案
2. $120°$
解析
【分析】
解题时首先回忆同圆中弧与弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等。已知AB是圆的直径，直径对应的半圆弧度数为180°，题目给出三条弦AC、CD、DB相等，因此对应的三段劣弧长度相等，可先求出每段弧的度数，再计算$\overset{\frown}{AD}$的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$。
∵在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等，且$AC=CD=DB$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴每段弧的度数为$180°÷3=60°$，
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数为$\overset{\frown}{AC}$的度数$+\overset{\frown}{CD}$的度数$=60°+60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
1. 弧、弦、圆心角的关系
2. 圆的直径的性质
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题关键是抓住同圆中相等弦对应相等劣弧的性质，结合直径对应半圆弧为$180°$的特点计算即可，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同圆中弧与弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等。已知AB是圆的直径，直径对应的半圆弧度数为180°，题目给出三条弦AC、CD、DB相等，因此对应的三段劣弧长度相等，可先求出每段弧的度数，再计算$\overset{\frown}{AD}$的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$。
∵在同圆中，相等的弦所对的劣弧相等，且$AC=CD=DB$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴每段弧的度数为$180°÷3=60°$，
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数为$\overset{\frown}{AC}$的度数$+\overset{\frown}{CD}$的度数$=60°+60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
1. 弧、弦、圆心角的关系
2. 圆的直径的性质
【点评】
本题是圆的基础性质应用题，解题关键是抓住同圆中相等弦对应相等劣弧的性质，结合直径对应半圆弧为$180°$的特点计算即可，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 已知等边三角形的边长为2，则它的外接圆的半径长为
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
。答案
3. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
要计算等边三角形的外接圆半径，首先明确等边三角形的外心（外接圆圆心）与它的角平分线、高、中线的交点重合。我们可以通过以下思路解题：1. 连接外心与等边三角形的两个顶点，得到以外接圆半径为腰的等腰三角形；2. 利用同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出该等腰三角形的顶角；3. 结合垂径定理作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值即可求出半径。
【解析】
设边长为2的等边三角形为△ABC，其外接圆圆心为O，外接圆半径为R。
1. 连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D：根据垂径定理，D为AB中点，因此$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
2. 求圆心角∠AOB：因为△ABC是等边三角形，所以内角∠ACB=60°，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ ACB=2×60°=120°$。
3. 解直角三角形求R：因为OA=OB=R，OD⊥AB，所以OD平分∠AOB，即$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。在Rt△AOD中，$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，代入已知值：$\sin60°=\frac{1}{R}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{R}$，解得$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、垂径定理、圆心角与圆周角的关系
【点评】
本题是圆与等边三角形结合的基础题型，解题核心是通过垂径定理将问题转化为直角三角形求解，需要熟练掌握特殊三角形的性质和圆的基础定理，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
要计算等边三角形的外接圆半径，首先明确等边三角形的外心（外接圆圆心）与它的角平分线、高、中线的交点重合。我们可以通过以下思路解题：1. 连接外心与等边三角形的两个顶点，得到以外接圆半径为腰的等腰三角形；2. 利用同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出该等腰三角形的顶角；3. 结合垂径定理作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值即可求出半径。
【解析】
设边长为2的等边三角形为△ABC，其外接圆圆心为O，外接圆半径为R。
1. 连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D：根据垂径定理，D为AB中点，因此$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
2. 求圆心角∠AOB：因为△ABC是等边三角形，所以内角∠ACB=60°，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOB=2∠ ACB=2×60°=120°$。
3. 解直角三角形求R：因为OA=OB=R，OD⊥AB，所以OD平分∠AOB，即$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。在Rt△AOD中，$\sin∠ AOD=\frac{AD}{OA}$，代入已知值：$\sin60°=\frac{1}{R}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{R}$，解得$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
等边三角形的性质、垂径定理、圆心角与圆周角的关系
【点评】
本题是圆与等边三角形结合的基础题型，解题核心是通过垂径定理将问题转化为直角三角形求解，需要熟练掌握特殊三角形的性质和圆的基础定理，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.7
4. 已知:如图,在$\odot O$中,弦$AD=BC$,连结$AB$,$CD$。求证:$AB=CD$。
答案
4. 因为$AD=BC$,所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,所以$AB=CD$。
解析
【分析】
要证明两条弦相等，可先证明它们所对的弧相等。首先结合已知条件AD=BC，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；再观察图形，两段相等的弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AC}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；最后根据同圆中相等的弧所对的弦相等，就能推出AB=CD。
【解析】
证明：在$\odot O$中，
∵ 弦$AD=BC$，
∴ 根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
又
∵ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ $AB=CD$。
【答案】
因为$AD=BC$，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，所以$AB=CD$。
【知识点】
弦弧对应关系；弧的和差运算；等弧对等弦
【点评】
本题属于圆性质的基础考查题，解题关键是熟练掌握同圆中弦与弧的相互转化关系，通过弧的和差运算搭建已知条件和待证结论的关联即可快速得证。
【难度系数】
0.8
要证明两条弦相等，可先证明它们所对的弧相等。首先结合已知条件AD=BC，根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；再观察图形，两段相等的弧同时加上公共弧$\overset{\frown}{AC}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；最后根据同圆中相等的弧所对的弦相等，就能推出AB=CD。
【解析】
证明：在$\odot O$中，
∵ 弦$AD=BC$，
∴ 根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
又
∵ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ $AB=CD$。
【答案】
因为$AD=BC$，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，所以$AB=CD$。
【知识点】
弦弧对应关系；弧的和差运算；等弧对等弦
【点评】
本题属于圆性质的基础考查题，解题关键是熟练掌握同圆中弦与弧的相互转化关系，通过弧的和差运算搭建已知条件和待证结论的关联即可快速得证。
【难度系数】
0.8
5. 如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，OC。已知AB＝AC，$\overset{\frown}{BC}$的度数为100°，求∠AOC和$\overset{\frown}{AC}$的度数。
答案
5. $∠ AOC=130°$,$\overset{\frown}{AC}=130°$
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心性质：①弧的度数等于它所对圆心角的度数；②同圆中，相等的弦所对的劣弧相等。首先由$\overset{\frown}{BC}$的度数求出对应圆心角∠BOC的度数，再根据AB=AC推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，结合圆周总度数为360°，即可计算出$\overset{\frown}{AC}$的度数，最后根据弧的度数和对应圆心角度数相等得到∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{BC}$的度数为$100°$，弧的度数等于其所对圆心角的度数，
∴$∠ BOC=100°$。
∵$AB=AC$，AB、AC均为$\odot O$的弦，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等）。
∵圆周的总度数为$360°$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=360°$，
代入$\overset{\frown}{BC}=100°$得：$2\overset{\frown}{AC}=360°-100°=260°$，
解得$\overset{\frown}{AC}=130°$。
∵$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴$∠ AOC=\overset{\frown}{AC}$的度数$=130°$。
【答案】
$∠ AOC=130°$，$\overset{\frown}{AC}=130°$
【知识点】
弧与圆心角的关系；同圆弦弧对应关系
【点评】
本题是圆心角相关性质的基础应用题，核心考查弧、圆心角、弦三者的对应转换关系，只要熟练掌握三者的等量转换规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个核心性质：①弧的度数等于它所对圆心角的度数；②同圆中，相等的弦所对的劣弧相等。首先由$\overset{\frown}{BC}$的度数求出对应圆心角∠BOC的度数，再根据AB=AC推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，结合圆周总度数为360°，即可计算出$\overset{\frown}{AC}$的度数，最后根据弧的度数和对应圆心角度数相等得到∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{BC}$的度数为$100°$，弧的度数等于其所对圆心角的度数，
∴$∠ BOC=100°$。
∵$AB=AC$，AB、AC均为$\odot O$的弦，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等）。
∵圆周的总度数为$360°$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=360°$，
代入$\overset{\frown}{BC}=100°$得：$2\overset{\frown}{AC}=360°-100°=260°$，
解得$\overset{\frown}{AC}=130°$。
∵$∠ AOC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴$∠ AOC=\overset{\frown}{AC}$的度数$=130°$。
【答案】
$∠ AOC=130°$，$\overset{\frown}{AC}=130°$
【知识点】
弧与圆心角的关系；同圆弦弧对应关系
【点评】
本题是圆心角相关性质的基础应用题，核心考查弧、圆心角、弦三者的对应转换关系，只要熟练掌握三者的等量转换规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
