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1. 下列说法正确的是
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；
②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
③垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
①③
（只需填写序号）。①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；
②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
③垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
答案
1. ①③
解析
【分析】
解题时需先回忆垂径定理及其推论的完整内容，尤其注意平分弦相关推论的限制条件，再逐一辨析三个说法的正误：首先明确垂径定理的核心是垂直于弦的直径的性质，再区分不同前提条件下推论是否成立，重点关注“平分弦的直径垂直于弦”这一结论的适用前提是被平分的弦不是直径。
【解析】
我们对三个说法逐一判断：
1. 对于①：根据垂径定理的推论，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，该说法正确；
2. 对于②：只有当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦且平分弦所对的弧，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该说法缺少前提条件，错误；
3. 对于③：这是垂径定理的标准内容，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，该说法正确。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论；命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对垂径定理及其推论的理解，易错点是容易忽略②中“弦不是直径”的前提条件，熟记定理的完整内容和适用前提是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时需先回忆垂径定理及其推论的完整内容，尤其注意平分弦相关推论的限制条件，再逐一辨析三个说法的正误：首先明确垂径定理的核心是垂直于弦的直径的性质，再区分不同前提条件下推论是否成立，重点关注“平分弦的直径垂直于弦”这一结论的适用前提是被平分的弦不是直径。
【解析】
我们对三个说法逐一判断：
1. 对于①：根据垂径定理的推论，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，该说法正确；
2. 对于②：只有当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦且平分弦所对的弧，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，该说法缺少前提条件，错误；
3. 对于③：这是垂径定理的标准内容，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，该说法正确。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论；命题真假判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，主要考查对垂径定理及其推论的理解，易错点是容易忽略②中“弦不是直径”的前提条件，熟记定理的完整内容和适用前提是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知$\odot O$的半径OA长为5，弦AB的长为8，C为AB的中点，则OC的长为
3
。答案
2. 3
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件：O是圆心，C是弦AB的中点，联想到垂径定理的推论，可推出OC垂直于AB，得到直角三角形OAC；再根据AB的长度求出AC的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理计算OC的长度即可。
【解析】
解：
∵C为AB的中点，AB=8
∴AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4
∵O是圆心，C是弦AB的中点
根据垂径定理的推论，可得：OC⊥AB，即∠OCA=90°
在Rt△OAC中，OA=5，AC=4
由勾股定理得：
OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = $\sqrt{25 - 16}$ = $\sqrt{9}$ = 3
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题，解题的关键是利用垂径定理的推论构造直角三角形，再结合勾股定理求解，这类题型是圆相关计算题的常见考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件：O是圆心，C是弦AB的中点，联想到垂径定理的推论，可推出OC垂直于AB，得到直角三角形OAC；再根据AB的长度求出AC的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理计算OC的长度即可。
【解析】
解：
∵C为AB的中点，AB=8
∴AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4
∵O是圆心，C是弦AB的中点
根据垂径定理的推论，可得：OC⊥AB，即∠OCA=90°
在Rt△OAC中，OA=5，AC=4
由勾股定理得：
OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = $\sqrt{25 - 16}$ = $\sqrt{9}$ = 3
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题，解题的关键是利用垂径定理的推论构造直角三角形，再结合勾股定理求解，这类题型是圆相关计算题的常见考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3. 已知:如图,$\odot O$ 的直径$EF$分别交弦$AB$,$CD$于点$G$,$H$,且$AG=BG$,$CH=DH$。求证:$AB// CD$。
答案
3. 由 $AG=BG,EF$ 为$\odot O$ 的直径,得 $EF ⊥ AB$。同理,$EF ⊥ CD$,故 $AB// CD$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：AG=BG说明点G是弦AB的中点，EF是⊙O的直径即过圆心，结合垂径定理的推论可推出EF与AB垂直；同理CH=DH说明H是CD中点，可推出EF与CD垂直。最后根据平行线的判定规则，垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可证明AB//CD。
【解析】
证明：
∵ 在$\odot O$中，直径$EF$交弦$AB$于点$G$，且$AG=BG$，
根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，
∴ $EF ⊥ AB$。
同理，
∵ 直径$EF$交弦$CD$于点$H$，且$CH=DH$，
∴ $EF ⊥ CD$。
∵ $AB$、$CD$都垂直于同一条直线$EF$，
∴ $AB// CD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
【答案】
由 $AG=BG$，$EF$ 为$\odot O$ 的直径，得 $EF ⊥ AB$。同理，$EF ⊥ CD$，故 $AB// CD$。
【知识点】
垂径定理推论；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查垂径定理推论的应用，解题关键是结合已知条件推出两条弦均与直径垂直，进而得到平行结论，难度较低。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手：AG=BG说明点G是弦AB的中点，EF是⊙O的直径即过圆心，结合垂径定理的推论可推出EF与AB垂直；同理CH=DH说明H是CD中点，可推出EF与CD垂直。最后根据平行线的判定规则，垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可证明AB//CD。
【解析】
证明：
∵ 在$\odot O$中，直径$EF$交弦$AB$于点$G$，且$AG=BG$，
根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，
∴ $EF ⊥ AB$。
同理，
∵ 直径$EF$交弦$CD$于点$H$，且$CH=DH$，
∴ $EF ⊥ CD$。
∵ $AB$、$CD$都垂直于同一条直线$EF$，
∴ $AB// CD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
【答案】
由 $AG=BG$，$EF$ 为$\odot O$ 的直径，得 $EF ⊥ AB$。同理，$EF ⊥ CD$，故 $AB// CD$。
【知识点】
垂径定理推论；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查垂径定理推论的应用，解题关键是结合已知条件推出两条弦均与直径垂直，进而得到平行结论，难度较低。
【难度系数】
0.85
4. 如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，E为$\overset{\frown}{AC}$的中点，OE交弦AC于点D。若AC=8，AB=10，求DE的长。
答案
4. 2
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：①首先根据直径长度求出圆的半径，得到OE、OA的长度；②已知E是弧AC的中点，结合垂径定理可得OE垂直平分AC，从而求出AD的长度；③在直角三角形ODA中利用勾股定理算出OD的长度，最后用OE减去OD即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵AB为半圆O的直径，AB=10
∴半圆O的半径$OE=OA=\frac{1}{2}AB=5$
∵E是$\overset{\frown}{AC}$的中点，OE过圆心O
∴由垂径定理可得：$OE⊥ AC$，$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$
在$Rt△ ODA$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$
∴$DE=OE - OD=5 - 3=2$
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理求解，掌握垂径定理的应用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：①首先根据直径长度求出圆的半径，得到OE、OA的长度；②已知E是弧AC的中点，结合垂径定理可得OE垂直平分AC，从而求出AD的长度；③在直角三角形ODA中利用勾股定理算出OD的长度，最后用OE减去OD即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵AB为半圆O的直径，AB=10
∴半圆O的半径$OE=OA=\frac{1}{2}AB=5$
∵E是$\overset{\frown}{AC}$的中点，OE过圆心O
∴由垂径定理可得：$OE⊥ AC$，$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$
在$Rt△ ODA$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$
∴$DE=OE - OD=5 - 3=2$
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的半径相等
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理求解，掌握垂径定理的应用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.7
