5. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$AC=8\sqrt{3}$，D是AC的中点，且$CD// AB$。求CD的长。

5. 连结OC,OD,OD交AC于点E。因为 D 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,所以 OD 垂直平分AC，即 $AE=CE,∠AEO=∠CED=90°$。因为 $CD// AB,∠OAE=∠DCE$,所以$△ AOE≌△ CDE$,所以 $CD=OA$。因为 $OC=OD=CD$,所以$△ OCD$ 是等边三角形。在 $\mathrm{Rt}△ OEC$ 中,$CE=\frac{1}{2}AC=4\sqrt{3}$,$OE=\frac{1}{2}OC$,由 $OE^2+CE^2=OC^2$,得 $OC=8$,即 $CD=8$。

【分析】
解题时首先关注“D是弧AC的中点”这一条件，结合垂径定理可知圆心与弧中点的连线垂直平分对应弦，因此先作辅助线连接OC、OD，得到OD与AC的垂直、平分关系；再结合CD//AB的平行条件，可证得包含半径、CD的两个三角形全等，推导出CD与圆的半径长度相等；最后利用AC的长度，在直角三角形中通过勾股定理求解半径，即可得到CD的长。
【解析】
解：连结OC，OD，设OD交AC于点E。
1. 由垂径定理，因为D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以OD垂直平分AC，因此$AE=CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，且$∠ AEO=∠ CED=90°$。
2. 因为$CD// AB$，所以内错角相等，即$∠ OAE=∠ DCE$。
3. 在$△ AOE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ OAE=∠ DCE \\AE=CE \\∠ AEO=∠ CED\end{cases}$
所以$△ AOE≌△ CDE$（ASA），因此$CD=OA$，$OE=DE$。
4. 因为OA、OC、OD均为$\odot O$的半径，所以$OA=OC=OD$，因此$CD=OC=OD$，即$△ OCD$是等边三角形。
5. 在$\mathrm{Rt}△ OEC$中，$OE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}OC$，$CE=4\sqrt{3}$，根据勾股定理：
$OE^2+CE^2=OC^2$
代入得：$(\frac{1}{2}OC)^2+(4\sqrt{3})^2=OC^2$
化简：$\frac{1}{4}OC^2 + 48 = OC^2$，即$\frac{3}{4}OC^2=48$，解得$OC^2=64$，$OC=8$（半径为正数）。
因此$CD=OC=8$。
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的典型综合题，解题的核心是合理构造辅助线，结合弧中点的性质得到垂直平分关系，再通过平行推导边的等量关系，最后借助勾股定理求解，有助于巩固垂径定理的应用，锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.65

6. 如图①，月洞门为我国古典建筑中常见的过径门。某地园林中有一个月门洞，它的正面轮廓为弓形。如图②。已知弓形高AB=2.5米，弦CD(门洞底部宽度)=1米，则该门洞所在圆的半径为米。

6. 1.3。提示:连结OC,设$\odot O$ 的半径为 r,由$(AB-r)^2+BC^2=r^2$,解得 $r=1.3$。

【分析】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据弓形的特征，可知弓形高AB所在直线过圆心，且垂直于弦CD，可利用垂径定理得到CD一半的长度；接下来连接半径OC，构造直角三角形OBC，设圆的半径为r，用r表示出直角三角形的两条直角边长度，最后利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
连接OC，设该门洞所在圆$\odot O$的半径为r米，则$OC=r$，$OB=AB-OA=2.5-r$。
由垂径定理可知，$AB⊥ CD$，且$BC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×1=0.5$米。
在$Rt△ OBC$中，根据勾股定理得：$OB^2+BC^2=OC^2$，
代入得：$(2.5-r)^2+0.5^2=r^2$，
展开计算：$6.25-5r+r^2+0.25=r^2$，
整理得：$5r=6.5$，
解得：$r=1.3$。
【答案】
1.3
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际考查几何计算，解题的关键是将实际问题转化为圆的相关几何模型，利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，这是解决弓形类计算问题的常用方法。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$与$x$轴交于点$A(-2,0)$,$B$,与$y$轴交于点$C$,$D$。若点$P$的坐标为$(1,-4)$,则点$D$的坐标为。

7. $(0,-4-2\sqrt{6})$

【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：首先根据圆心P和圆上点A的坐标，用两点间距离公式求出圆的半径；其次过P作y轴的垂线，利用垂径定理可知垂足是弦CD的中点，得到垂足的坐标；最后在构造出的直角三角形中用勾股定理算出D到垂足的距离，结合点的位置即可求出D点坐标。
【解析】
1. 求⊙P的半径：
已知点A(-2,0)，圆心P(1,-4)，根据两点间距离公式，半径$PA=\sqrt{(1-(-2))^2+(-4-0)^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$，故$PD=PA=5$。
2. 作辅助线应用垂径定理：
过点P作$PE⊥ y$轴于点E，则E点坐标为$(0,-4)$，且PE为P到y轴的距离，即$PE=|1-0|=1$。根据垂径定理，E是弦CD的中点，$CE=DE$。
3. 用勾股定理计算DE的长度：
在$Rt△ PED$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{PD^2-PE^2}=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
4. 确定D点坐标：
点D在E的下方，故D的纵坐标为$-4-2\sqrt{6}$，横坐标为0，即$D(0,-4-2\sqrt{6})$。
【答案】
$(0,-4-2\sqrt{6})$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，点的坐标特征
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求出相关线段长度，再根据点的位置确定坐标，能较好地考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度$AB=60\ \mathrm{m}$，拱高$PD=18\ \mathrm{m}$。
（1）求圆弧所在圆的半径$OP$的长。
（2）当水位上涨至跨度只有$30\ \mathrm{m}$时，必须采取紧急措施。若水位上涨至$A'B'$，离拱顶4 m，即$PE=4\ \mathrm{m}$时，是否需采取紧急措施？

8. （1）$OP=34\ \mathrm{m}$ （2）跨度为 $32\ \mathrm{m}＞30\ \mathrm{m}$,因此不需采取紧急措施。

【分析】
（1）求圆弧半径可利用垂径定理结合勾股定理求解：首先连接OA，由垂径定理可得AD为AB的一半，设半径为r，用含r的式子表示出OD的长度，再在Rt△OAD中根据勾股定理列方程即可求出半径。
（2）判断是否需要采取紧急措施，需先求出A'B'的长度：连接OA'，先求出OE的长度，再在Rt△OA'E中用勾股定理求出A'E的长度，由垂径定理得A'B'=2A'E，将结果与30m比较，若大于30m则不需要采取紧急措施。
【解析】
（1）连接$OA$，设圆弧所在圆的半径$OA=OP=r\ \mathrm{m}$。
$\because OP⊥ AB$，根据垂径定理，得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{m}$，
$OD=OP-PD=(r-18)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，即$r^2=30^2+(r-18)^2$，
展开得$r^2=900+r^2-36r+324$，
移项化简得$36r=1224$，解得$r=34$，
$\therefore OP=34\ \mathrm{m}$。
（2）连接$OA'$，$\because PE=4\ \mathrm{m}$，$\therefore OE=OP-PE=34-4=30\ \mathrm{m}$。
$\because OP⊥ A'B'$，根据垂径定理，得$A'E=\frac{1}{2}A'B'$。
在$\mathrm{Rt}△ OA'E$中，由勾股定理得：
$A'E^2=OA'^2-OE^2=34^2-30^2=(34-30)×(34+30)=4×64=256$，
$\therefore A'E=16\ \mathrm{m}$，
$\therefore A'B'=2A'E=2×16=32\ \mathrm{m}$。
$\because 32\ \mathrm{m}＞30\ \mathrm{m}$，$\therefore$不需要采取紧急措施。
【答案】
（1）$OP=34\ \mathrm{m}$；（2）不需要采取紧急措施
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质在实际生活中的应用题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理计算或列方程求解，能很好地考查学生对几何定理的实际应用能力。
【难度系数】
0.7