9. 已知:如图,AB是半圆O的直径,点C是半圆O上的一点(不与A,B重合),点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,连结OF。求证:
(1) $AC=2DE$。
(2) $FO$平分$∠ EFC$。

9. （1）连结OD,交 AC 于点 G。因为点 D 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,所以 OD 垂直平分 AC。因为$∠DEO=∠OGA=90°,∠DOE=∠AOG,OD=OA$,所以$△ AOG≌△ DOE$,所以 $AG=DE$,所以 $AC=2DE$。
（2）由$△ AOG≌△ DOE$,得 $OE=OG$。由角平分线性质定理的逆定理,得 FO 平分$∠EFC$。

【分析】
(1) 要证明$AC=2DE$，首先根据点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，联想到垂径定理：弧的中点与圆心的连线垂直平分该弧所对的弦，因此连接OD交AC于G，可得$AC=2AG$，接下来只需证明$AG=DE$即可。观察到$DE⊥AB$，$OD⊥AC$，可证$△ AOG$和$△ DOE$全等，从而得到$AG=DE$，即可推导出结论。
(2) 要证明FO平分$∠EFC$，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，由(1)的全等可得$OE=OG$，其中OE是点O到DE的距离，OG是点O到AC的距离，即可得出FO平分$∠EFC$。
【解析】
(1) 连接OD，交AC于点G。
∵ 点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，OD是圆O的半径，
∴ 由垂径定理得：OD垂直平分AC，即$∠OGA=90°$，$AC=2AG$。
∵ $DE⊥AB$，
∴ $∠DEO=90°$，
∴ $∠DEO=∠OGA=90°$。
在$△ AOG$和$△ DOE$中：
$\{\begin{array}{l}∠OGA=∠DEO\\∠AOG=∠DOE\\OA=OD\end{array} $
∴ $△ AOG≌△ DOE$（AAS），
∴ $AG=DE$，
又
∵ $AC=2AG$，
∴ $AC=2DE$。
(2) 由(1)中$△ AOG≌△ DOE$，可得$OE=OG$。
∵ $DE⊥AB$，$OD⊥AC$，
∴ OE是点O到直线DE的距离，OG是点O到直线AC的距离，
根据角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，
∴ 点O在$∠EFC$的角平分线上，即FO平分$∠EFC$。
【答案】
(1) $AC=2DE$得证；
(2) $FO$平分$∠EFC$得证。
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题解题的关键是合理连接辅助线OD，利用垂径定理得到线段的垂直与倍分关系，再结合全等三角形的性质和角平分线的判定定理完成证明，考查了圆的基本性质与几何证明的综合应用能力。
【难度系数】
0.7