1. 下列说法不正确的是()。

A.直径所对的圆周角是直角
B.圆的两条平行弦所夹的弧相等
C.相等的圆周角所对的弧相等
D.相等的弧所对的圆周角相等

1. C

【分析】
这是一道圆相关概念的辨析题，解题时需逐个核对每个选项对应的定理，重点关注定理成立的前提条件。首先回忆圆周角、弧、弦的相关性质：①直径所对圆周角是直角，是圆周角定理的明确推论；②圆内平行弦所夹的弧可通过平行线性质、圆周角与弧的对应关系证明相等；③涉及圆周角和弧的对应关系时，“相等圆周角对应相等弧”的结论必须建立在同圆或等圆的前提上，而“相等的弧”本身就隐含了同圆或等圆的条件（只有能完全重合的弧才叫等弧），据此逐一判断选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 根据圆周角定理的推论，直径所对的圆周角是直角，该说法正确，不符合题意；
B. 圆的两条平行弦所夹的弧相等，可通过连接弦的端点构造圆周角，利用平行线内错角相等、相等圆周角对应相等弧的性质证明，该说法正确，不符合题意；
C. 只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等，本选项没有给出“同圆或等圆”这个前提条件，说法错误，符合题意；
D. 能够完全重合的弧叫做等弧，因此相等的弧必然存在于同圆或等圆中，对应的圆周角一定相等，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理及推论；弧与圆周角的对应关系；圆内平行弦的性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是忽略“同圆或等圆”这一前提条件，错误认为任意相等的圆周角对应的弧都相等，学习相关定理时要牢记定理的适用范围，避免断章取义。
【难度系数】
0.7

2. 如图，A，B，C，D是$\odot O$上四点，连结AD，AC，BD，BC。图中相等的角是（不再添加其他字母）。

2. $∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$

【分析】
解题时首先回忆圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。接下来观察图形，分别找公共弧对应的圆周角即可：①弧CD所对的两个圆周角是∠A和∠B；②弧AB所对的两个圆周角是∠C和∠D，由此就能得到相等的角。
【解析】
根据圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等。
1. 弧CD是$\odot O$中同一段弧，它所对的圆周角为∠A（即∠CAD）和∠B（即∠CBD），因此$\boldsymbol{∠A=∠B}$；
2. 弧AB是$\odot O$中同一段弧，它所对的圆周角为∠C（即∠ACB）和∠D（即∠ADB），因此$\boldsymbol{∠C=∠D}$。
【答案】
$∠ A=∠ B,∠ C=∠ D$
【知识点】
同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是圆周角相关的基础题，核心考查对圆周角定理推论的理解与应用，解题关键是准确识别同一段弧对应的所有圆周角，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.8

3. 如图，AB是$\odot O$的直径，AC，BC是$\odot O$的两条弦，点D是AC的中点。若$∠ BDC=40°$，则$∠ ABD=$。

3. $25°$

【分析】
解题时可按以下思路推导：首先利用同弧所对的圆周角相等，由已知∠BDC的度数求出∠BAC的度数；再结合直径所对的圆周角是直角，得到△ABC是直角三角形，进而求出∠ABC的度数；最后根据D是弧AC的中点，可知弧AD与弧DC相等，等弧所对的圆周角相等，即∠ABD是∠ABC的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 因为∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ BAC=∠ BDC=40°$；
2. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得$∠ ACB=90°$；
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°-∠ BAC=90°-40°=50°$；
4. 因为D是弧AC的中点，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC$；
5. 代入计算得$∠ ABD=\frac{1}{2}×50°=25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
圆周角定理，直径的圆周角性质，等弧对等角
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，需要熟练掌握同弧、等弧对应的圆周角关系以及直径的圆周角特征，找准角度间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4. 已知:如图,⊙O 的两条弦AB,CD 相交于点E,且AB=CD,连结BC,AD。求证:AE=CE。 (第4题)

4. 连结AC。因为AB=CD,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠ ACE=∠ CAE$,所以AE=CE。

【分析】
要证明AE=CE，可通过证明△AEC为等腰三角形，即证∠CAE=∠ACE实现。首先结合已知条件AB=CD，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；两弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{AC}$，可推出$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；再根据同圆中等弧所对的圆周角相等，即可得到∠ACE=∠CAE，最后利用等角对等边即可得证。
【解析】
证明：连结AC。
∵ 在⊙O中，弦AB=CD，
∴ 相等的弦所对的劣弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
∵ 同圆中，等弧所对的圆周角相等，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为∠CAE，$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角为∠ACE，
∴ ∠ACE=∠CAE，
∴ 根据等角对等边，可得AE=CE。
【答案】
AE=CE
【知识点】
弦弧关系；圆周角定理；等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，核心是利用同圆中弦、弧、圆周角的对应关系完成角度推导，合理添加辅助线构造等腰三角形是解题的关键，解题思路较为直观。
【难度系数】
0.7

5. 已知:如图,AB是$\odot O$的直径,弦$CD⊥ AB$于点E,在$\overset{\frown}{AC}$上取点G,连结CG,DG,AC。求证:$∠ DGC=2∠ BAC$。

5. 连结AD,则$2∠ BAC=2∠ BAD=∠ DAC$。又$∠ DGC=∠ DAC$,则$∠ DGC=2∠ BAC$。

【分析】
要证明∠DGC=2∠BAC，我们可以通过角的转化来推导：首先结合已知条件AB是直径且CD⊥AB，优先想到垂径定理，可得弧AC与弧AD相等，进而推出对应的圆周角∠BAC=∠BAD，因此∠DAC=2∠BAC；再观察∠DGC和∠DAC的关系，二者是同一段弧DC所对的圆周角，根据圆周角定理的推论，同弧所对的圆周角相等，即可通过等量代换得到要证的结论。
【解析】
证明：连结AD，
∵AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，
∴由垂径定理得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，
∴∠BAC=∠BAD（等弧所对的圆周角相等），
∴∠DAC=∠BAC+∠BAD=2∠BAC，
又
∵∠DGC和∠DAC均为$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，
∴∠DGC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等），
∴$∠ DGC=2∠ BAC$，得证。
【答案】
$∠ DGC=2∠ BAC$，证明成立。
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、角的和差运算
【点评】
本题是圆性质应用的基础题，解题核心是熟练运用垂径定理和圆周角的相关推论，通过构造辅助线完成角的数量关系转化即可求证。
【难度系数】
0.8