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1. 关于二次函数$y=(x-2)^2+3$的最大值或最小值，下列叙述正确的是(
A.当$x=2$时，$y$有最大值3
B.当$x=-2$时，$y$有最大值3
C.当$x=2$时，$y$有最小值3
D.当$x=-2$时，$y$有最小值3
C
)。A.当$x=2$时，$y$有最大值3
B.当$x=-2$时，$y$有最大值3
C.当$x=2$时，$y$有最小值3
D.当$x=-2$时，$y$有最小值3
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点式的相关性质：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，$a$的符号决定抛物线开口方向：$a＞0$时开口向上，函数有最小值；$a＜0$时开口向下，函数有最大值，最值在顶点处取得，顶点坐标为$(h,k)$，对应取最值时自变量$x=h$，最值为$k$。我们先确定题目中函数的$a、h、k$的值，再判断开口方向，最后确定最值情况即可选出正确选项。
【解析】
已知二次函数为$y=(x-2)^2+3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式：
1. 确定参数：$a=1$，$h=2$，$k=3$；
2. 判断开口方向：$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值，因此直接排除表述为“最大值”的A、B选项；
3. 确定最值对应自变量和数值：顶点坐标为$(h,k)=(2,3)$，因此当$x=2$时，$y$取得最小值$3$，排除D选项。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握二次函数顶点式中各参数的含义，以及开口方向对函数最值的影响，熟练掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点式的相关性质：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，$a$的符号决定抛物线开口方向：$a＞0$时开口向上，函数有最小值；$a＜0$时开口向下，函数有最大值，最值在顶点处取得，顶点坐标为$(h,k)$，对应取最值时自变量$x=h$，最值为$k$。我们先确定题目中函数的$a、h、k$的值，再判断开口方向，最后确定最值情况即可选出正确选项。
【解析】
已知二次函数为$y=(x-2)^2+3$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式：
1. 确定参数：$a=1$，$h=2$，$k=3$；
2. 判断开口方向：$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值，因此直接排除表述为“最大值”的A、B选项；
3. 确定最值对应自变量和数值：顶点坐标为$(h,k)=(2,3)$，因此当$x=2$时，$y$取得最小值$3$，排除D选项。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握二次函数顶点式中各参数的含义，以及开口方向对函数最值的影响，熟练掌握该知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知点$(-1,y_1),(3,y_2),(\dfrac{1}{2},y_3)$都在函数$y=x^2+2x+4$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是(
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
C
)。A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
2. C
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，有两种常用解题思路：一是直接将各点横坐标代入函数解析式，计算出对应的y值后直接比较大小，思路直白易理解；二是利用二次函数的性质解题，先确定二次函数的开口方向和对称轴，开口向上的二次函数，图象上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，只需计算三个点到对称轴的距离即可比较大小，该方法计算量更小、解题更快。
【解析】
方法一：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入函数$y=x^2+2x+4$计算对应函数值：
1. 当$x=-1$时，$y_1=(-1)^2+2×(-1)+4=1-2+4=3$；
2. 当$x=3$时，$y_2=3^2+2×3+4=9+6+4=19$；
3. 当$x=\frac{1}{2}$时，$y_3=(\frac{1}{2})^2+2×\frac{1}{2}+4=\frac{1}{4}+1+4=5.25$。
因为$19＞5.25＞3$，所以$y_2＞y_3＞y_1$。
方法二：性质判断法
先将二次函数解析式配方得：$y=x^2+2x+4=(x+1)^2+3$，
由此可知：该二次函数二次项系数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
开口向上的二次函数中，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应函数值越大，计算三个点到对称轴$x=-1$的距离：
1. 点$(-1,y_1)$到对称轴的距离：$|-1-(-1)|=0$；
2. 点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$|3-(-1)|=4$；
3. 点$(\frac{1}{2},y_3)$到对称轴的距离：$|\frac{1}{2}-(-1)|=\frac{3}{2}$。
因为$4＞\frac{3}{2}＞0$，所以$y_2＞y_3＞y_1$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质，函数值比较，二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都需要熟练掌握，直接代入法不容易出错，性质判断法解题效率更高，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴等核心性质，能快速解决这类函数值比较问题。
【难度系数】
0.8
要比较三个函数值的大小，有两种常用解题思路：一是直接将各点横坐标代入函数解析式，计算出对应的y值后直接比较大小，思路直白易理解；二是利用二次函数的性质解题，先确定二次函数的开口方向和对称轴，开口向上的二次函数，图象上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，只需计算三个点到对称轴的距离即可比较大小，该方法计算量更小、解题更快。
【解析】
方法一：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入函数$y=x^2+2x+4$计算对应函数值：
1. 当$x=-1$时，$y_1=(-1)^2+2×(-1)+4=1-2+4=3$；
2. 当$x=3$时，$y_2=3^2+2×3+4=9+6+4=19$；
3. 当$x=\frac{1}{2}$时，$y_3=(\frac{1}{2})^2+2×\frac{1}{2}+4=\frac{1}{4}+1+4=5.25$。
因为$19＞5.25＞3$，所以$y_2＞y_3＞y_1$。
方法二：性质判断法
先将二次函数解析式配方得：$y=x^2+2x+4=(x+1)^2+3$，
由此可知：该二次函数二次项系数$a=1＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
开口向上的二次函数中，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应函数值越大，计算三个点到对称轴$x=-1$的距离：
1. 点$(-1,y_1)$到对称轴的距离：$|-1-(-1)|=0$；
2. 点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$|3-(-1)|=4$；
3. 点$(\frac{1}{2},y_3)$到对称轴的距离：$|\frac{1}{2}-(-1)|=\frac{3}{2}$。
因为$4＞\frac{3}{2}＞0$，所以$y_2＞y_3＞y_1$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质，函数值比较，二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都需要熟练掌握，直接代入法不容易出错，性质判断法解题效率更高，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴等核心性质，能快速解决这类函数值比较问题。
【难度系数】
0.8
3. 下列函数中,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小的是(
A.$y=x-1$
B.$y=-x^2$
C.$y=-x^2+5$
D.$y=x^2-5$
D
)。A.$y=x-1$
B.$y=-x^2$
C.$y=-x^2+5$
D.$y=x^2-5$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查不同函数在x＜0区间的增减性判断，解题思路如下：首先明确一次函数、二次函数的增减性判断规则：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的增减性由$k$的符号决定；二次函数$y=ax²+bx+c$（$a≠0$）的增减性由开口方向和对称轴共同决定，需分对称轴左右两侧讨论。接下来逐个分析四个选项的函数类型，对应规则判断x＜0时y随x的变化情况，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 函数$y=x-1$是一次函数，$k=1＞0$，因此在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时也符合该规律，不符合题意，排除；
B. 函数$y=-x^2$是二次函数，$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$x=0$（y轴），开口向下的二次函数在对称轴左侧（$x＜0$）时$y$随$x$的增大而增大，不符合题意，排除；
C. 函数$y=-x^2+5$是二次函数，$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$x=0$，同理在$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，不符合题意，排除；
D. 函数$y=x^2-5$是二次函数，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为$x=0$，开口向上的二次函数在对称轴左侧（$x＜0$）时$y$随$x$的增大而减小，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质、二次函数的增减性、二次函数的图像性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握不同函数增减性的判断方法，其中二次函数的增减性需要结合开口方向和对称轴分区间讨论，易错点是混淆二次函数开口方向不同时，对称轴两侧的增减性规律。
【难度系数】
0.7
本题考查不同函数在x＜0区间的增减性判断，解题思路如下：首先明确一次函数、二次函数的增减性判断规则：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的增减性由$k$的符号决定；二次函数$y=ax²+bx+c$（$a≠0$）的增减性由开口方向和对称轴共同决定，需分对称轴左右两侧讨论。接下来逐个分析四个选项的函数类型，对应规则判断x＜0时y随x的变化情况，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 函数$y=x-1$是一次函数，$k=1＞0$，因此在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大，当$x＜0$时也符合该规律，不符合题意，排除；
B. 函数$y=-x^2$是二次函数，$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$x=0$（y轴），开口向下的二次函数在对称轴左侧（$x＜0$）时$y$随$x$的增大而增大，不符合题意，排除；
C. 函数$y=-x^2+5$是二次函数，$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$x=0$，同理在$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大，不符合题意，排除；
D. 函数$y=x^2-5$是二次函数，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为$x=0$，开口向上的二次函数在对称轴左侧（$x＜0$）时$y$随$x$的增大而减小，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质、二次函数的增减性、二次函数的图像性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握不同函数增减性的判断方法，其中二次函数的增减性需要结合开口方向和对称轴分区间讨论，易错点是混淆二次函数开口方向不同时，对称轴两侧的增减性规律。
【难度系数】
0.7
4. 已知二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2 - x - 4$。
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出该函数的大致图象。
（2）当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小？求出函数的最大值或最小值。
（1）求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标，并画出该函数的大致图象。
（2）当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而增大？当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小？求出函数的最大值或最小值。
答案
（1）顶点坐标是$(1,-\dfrac{9}{2})$，对称轴是直线$x=1$，与$x$轴交于点$(4,0),(-2,0)$，与$y$轴交于点$(0,-4)$。图象略。
（2）当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小。当$x=1$时，$y_{最小}=-\dfrac{9}{2}$。
（2）当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小。当$x=1$时，$y_{最小}=-\dfrac{9}{2}$。
解析
【分析】
本题考查二次函数基础性质的应用，解题思路如下：1. 求顶点坐标和对称轴：可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标和对称轴，也可使用顶点坐标公式计算；2. 求图象与坐标轴交点：与y轴交点令x=0代入解析式计算y值即可，与x轴交点令y=0，解对应的一元二次方程得到x的值即为交点横坐标；3. 判断增减性和最值：根据二次项系数a的正负判断开口方向，结合对称轴即可确定增减区间，开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值。
【解析】
（1）先将函数解析式配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}x^2 -x -4\\&=\frac{1}{2}(x^2 -2x) -4\\&=\frac{1}{2}(x^2 -2x +1 -1) -4\\&=\frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{1}{2} -4\\&=\frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{9}{2}\end{aligned}$
因此函数图象的顶点坐标为$(1,-\frac{9}{2})$，对称轴为直线$x=1$。
求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=-4$，即与y轴交点为$(0,-4)$。
求与x轴交点：令$y=0$，得$\frac{1}{2}x^2 -x -4=0$，整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$，即与x轴交点为$(4,0)$和$(-2,0)$。
大致图象可先描出顶点、与坐标轴的3个交点，再用平滑曲线顺次连接即可（图象略）。
（2）由二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，可知抛物线开口向上，结合对称轴为直线$x=1$可得：
当$x≥1$时，y随x的增大而增大；当$x≤1$时，y随x的增大而减小。
因为抛物线开口向上，所以顶点为函数的最小值点，即当$x=1$时，y有最小值$-\frac{9}{2}$。
【答案】
（1）顶点坐标是$(1,-\dfrac{9}{2})$，对称轴是直线$x=1$，与$x$轴交于点$(4,0),(-2,0)$，与$y$轴交于点$(0,-4)$。图象略。
（2）当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小。当$x=1$时，$y_{最小}=-\dfrac{9}{2}$。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点求法，二次函数的增减性与最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，主要考查对二次函数基本性质的掌握，熟练运用配方法转化解析式、结合开口方向和对称轴分析函数增减性与最值是解题的核心，对巩固二次函数基础知识点有较好的作用。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数基础性质的应用，解题思路如下：1. 求顶点坐标和对称轴：可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标和对称轴，也可使用顶点坐标公式计算；2. 求图象与坐标轴交点：与y轴交点令x=0代入解析式计算y值即可，与x轴交点令y=0，解对应的一元二次方程得到x的值即为交点横坐标；3. 判断增减性和最值：根据二次项系数a的正负判断开口方向，结合对称轴即可确定增减区间，开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值。
【解析】
（1）先将函数解析式配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}x^2 -x -4\\&=\frac{1}{2}(x^2 -2x) -4\\&=\frac{1}{2}(x^2 -2x +1 -1) -4\\&=\frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{1}{2} -4\\&=\frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{9}{2}\end{aligned}$
因此函数图象的顶点坐标为$(1,-\frac{9}{2})$，对称轴为直线$x=1$。
求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=-4$，即与y轴交点为$(0,-4)$。
求与x轴交点：令$y=0$，得$\frac{1}{2}x^2 -x -4=0$，整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$，即与x轴交点为$(4,0)$和$(-2,0)$。
大致图象可先描出顶点、与坐标轴的3个交点，再用平滑曲线顺次连接即可（图象略）。
（2）由二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，可知抛物线开口向上，结合对称轴为直线$x=1$可得：
当$x≥1$时，y随x的增大而增大；当$x≤1$时，y随x的增大而减小。
因为抛物线开口向上，所以顶点为函数的最小值点，即当$x=1$时，y有最小值$-\frac{9}{2}$。
【答案】
（1）顶点坐标是$(1,-\dfrac{9}{2})$，对称轴是直线$x=1$，与$x$轴交于点$(4,0),(-2,0)$，与$y$轴交于点$(0,-4)$。图象略。
（2）当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小。当$x=1$时，$y_{最小}=-\dfrac{9}{2}$。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点求法，二次函数的增减性与最值
【点评】
本题属于二次函数基础题型，主要考查对二次函数基本性质的掌握，熟练运用配方法转化解析式、结合开口方向和对称轴分析函数增减性与最值是解题的核心，对巩固二次函数基础知识点有较好的作用。
【难度系数】
0.8
