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8. 小明同学用计算机软件绘制二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的图象后，将其对称轴左侧的图象沿$x$轴翻折，组成图象$T$（如图所示）。若点$A_1(1.1,y_1)$，$A_2(1.2,y_2)$，$A_3(1.3,y_3)$，…，$A_{19}(2.9,y_{19})$，$A_{20}(3,y_{20})$都在图象$T$上，这20个点的横坐标从1.1开始依次增加0.1，则$y_1+y_2+y_3+\dots+y_{19}+y_{20}$的值是（
A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$
C
）。A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$
答案
C。提示:当$x=1.1$与$x=2.9$时,$y=\frac{1}{2}(1.1-2)^2=\frac{1}{2}(2.9-2)^2$。结合点关于$x$轴对称性的特点,所以$y_1$与$y_{19}$互为相反数,即$y_1+y_{19}=0$。同理,$y_2+y_{18}=0$,$y_3+y_{17}=0$,$\dots$,所以$y_1+y_2+y_3+\dots+y_{19}+y_{20}=y_{20}$。当$x=3$时,$y_{20}=\frac{1}{2}(3-2)^2=\frac{1}{2}$,所以选C。
解析
【分析】首先明确二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的对称轴为直线$x=2$，翻折后对称轴左侧（$x＜2$）的函数值与对称轴右侧（$x＞2$）到对称轴距离相等的点的函数值互为相反数。观察20个点的横坐标规律，发现除最后一个点（$x=3$）外，其余点可两两配对为到$x=2$距离相等的点，每对的函数值之和为0，因此只需计算$x=3$对应的函数值即可得到总和。
【解析】
1. 确定图象$T$的性质：二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的对称轴为直线$x=2$，翻折后，当$x≥2$时，图象$T$的解析式仍为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$；当$x＜2$时，图象沿$x$轴翻折，解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2$。
2. 对称点函数值关系：对任意$a＞0$，$x=2-a$（$x＜2$）对应的函数值为$y=-\frac{1}{2}a^2$，$x=2+a$（$x＞2$）对应的函数值为$y=\frac{1}{2}a^2$，二者互为相反数，和为0。
3. 配对求和：20个点的横坐标依次为$1.1,1.2,\dots,1.9,2,2.1,\dots,2.9,3$：
$y_1$（$x=1.1$）与$y_{19}$（$x=2.9$）和为0，$y_2$（$x=1.2$）与$y_{18}$（$x=2.8$）和为0，……，$y_9$（$x=1.9$）与$y_{11}$（$x=2.1$）和为0；
$x=2$时，$y_{10}=\frac{1}{2}(2-2)^2=0$；
仅剩$y_{20}$（$x=3$），代入解析式得$y_{20}=\frac{1}{2}(3-2)^2=\frac{1}{2}$。
4. 总和计算：$y_1+y_2+\dots+y_{20}=0+0+\dots+0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】C
【知识点】二次函数的对称性，翻折的性质，函数值计算
【点评】本题解题核心是利用二次函数翻折后的对称性，将函数值两两配对抵消，无需逐一计算每个点的函数值，能有效简化运算，考查学生对函数图象变换规律的应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 确定图象$T$的性质：二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的对称轴为直线$x=2$，翻折后，当$x≥2$时，图象$T$的解析式仍为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$；当$x＜2$时，图象沿$x$轴翻折，解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2$。
2. 对称点函数值关系：对任意$a＞0$，$x=2-a$（$x＜2$）对应的函数值为$y=-\frac{1}{2}a^2$，$x=2+a$（$x＞2$）对应的函数值为$y=\frac{1}{2}a^2$，二者互为相反数，和为0。
3. 配对求和：20个点的横坐标依次为$1.1,1.2,\dots,1.9,2,2.1,\dots,2.9,3$：
$y_1$（$x=1.1$）与$y_{19}$（$x=2.9$）和为0，$y_2$（$x=1.2$）与$y_{18}$（$x=2.8$）和为0，……，$y_9$（$x=1.9$）与$y_{11}$（$x=2.1$）和为0；
$x=2$时，$y_{10}=\frac{1}{2}(2-2)^2=0$；
仅剩$y_{20}$（$x=3$），代入解析式得$y_{20}=\frac{1}{2}(3-2)^2=\frac{1}{2}$。
4. 总和计算：$y_1+y_2+\dots+y_{20}=0+0+\dots+0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】C
【知识点】二次函数的对称性，翻折的性质，函数值计算
【点评】本题解题核心是利用二次函数翻折后的对称性，将函数值两两配对抵消，无需逐一计算每个点的函数值，能有效简化运算，考查学生对函数图象变换规律的应用能力。
【难度系数】0.7
9. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,1),点B的坐标为(3,9),由线段AB与二次函数$y=x^2(-1≤x≤3)$图象的一部分组成了图形C。若图形C上一点P向右平移1个单位,再向上平移1个单位后,仍在图形C上,则满足条件的点P的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B。提示:设直线AB的表达式为$y=kx+b$,由$\begin{cases}-k+b=1,\\3k+b=9,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=3,\end{cases}$所以直线AB的表达式为$y=2x+3$。设点$P$的坐标为$(x,y)$,则平移后的点$P'$的坐标为$(x+1,y+1)$。因为$-1≤ x≤3$,点$P'$仍在图形$C$上,所以$-1≤ x+1≤3$,得$-2≤ x≤2$,所以符合要求的$x$取值范围为$-1≤ x≤2$。分四种情况考虑:
①点$P$在直线$AB$上,得$y=2x+3$。点$P'(x+1,y+1)$也在直线$AB$上,得$y+1=2(x+1)+3$,所以$2x+3+1=2(x+1)+3$,无解。所以这种情况没有符合要求的点$P$。
②点$P$在直线$AB$上,得$y=2x+3$。点$P'(x+1,y+1)$在二次函数$y=x^2(-1≤ x≤3)$的图象上,得$y+1=(x+1)^2$,所以$2x+3+1=(x+1)^2$,解得$x=\pm\sqrt{3}$。因为$-1≤ x≤2$,所以只有$x=\sqrt{3}$符合题意,所以符合要求的点$P$的坐标为$(\sqrt{3},2\sqrt{3}+3)$。
③点$P$在二次函数$y=x^2(-1≤ x≤3)$的图象上,得$y=x^2$。点$P'(x+1,y+1)$在直线$AB$上,得$y+1=2(x+1)+3$,所以$x^2+1=2x+5$,解得$x_1=\sqrt{5}+1$,$x_2=-\sqrt{5}+1$。因为$-1≤ x≤2$,所以$x_1=\sqrt{5}+1$,$x_2=-\sqrt{5}+1$都不符合题意,所以这种情况没有符合要求的点$P$。
④点$P$在二次函数$y=x^2(-1≤ x≤3)$的图象上,得$y=x^2$。点$P'(x+1,y+1)$也在二次函数$y=x^2(-1≤ x≤3)$的图象上,得$y+1=(x+1)^2$,所以$x^2+1=(x+1)^2$,解得$x=0$。因为$-1≤ x≤2$,所以$x=0$符合题意,所以符合要求的点$P$的坐标是$(0,0)$。
综上所述,共有2个满足条件的点$P$,答案选B。
①点$P$在直线$AB$上,得$y=2x+3$。点$P'(x+1,y+1)$也在直线$AB$上,得$y+1=2(x+1)+3$,所以$2x+3+1=2(x+1)+3$,无解。所以这种情况没有符合要求的点$P$。
②点$P$在直线$AB$上,得$y=2x+3$。点$P'(x+1,y+1)$在二次函数$y=x^2(-1≤ x≤3)$的图象上,得$y+1=(x+1)^2$,所以$2x+3+1=(x+1)^2$,解得$x=\pm\sqrt{3}$。因为$-1≤ x≤2$,所以只有$x=\sqrt{3}$符合题意,所以符合要求的点$P$的坐标为$(\sqrt{3},2\sqrt{3}+3)$。
③点$P$在二次函数$y=x^2(-1≤ x≤3)$的图象上,得$y=x^2$。点$P'(x+1,y+1)$在直线$AB$上,得$y+1=2(x+1)+3$,所以$x^2+1=2x+5$,解得$x_1=\sqrt{5}+1$,$x_2=-\sqrt{5}+1$。因为$-1≤ x≤2$,所以$x_1=\sqrt{5}+1$,$x_2=-\sqrt{5}+1$都不符合题意,所以这种情况没有符合要求的点$P$。
④点$P$在二次函数$y=x^2(-1≤ x≤3)$的图象上,得$y=x^2$。点$P'(x+1,y+1)$也在二次函数$y=x^2(-1≤ x≤3)$的图象上,得$y+1=(x+1)^2$,所以$x^2+1=(x+1)^2$,解得$x=0$。因为$-1≤ x≤2$,所以$x=0$符合题意,所以符合要求的点$P$的坐标是$(0,0)$。
综上所述,共有2个满足条件的点$P$,答案选B。
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据点的平移规则，确定平移后点的坐标特征，先推导点P横坐标的取值范围；再求出线段AB对应的一次函数解析式，由于图形C由线段AB和抛物线段两部分组成，因此需要分四类讨论点P和平移后点$P'$的位置：①两点都在直线AB上、②P在直线AB上、$P'$在抛物线上、③P在抛物线上、$P'$在直线AB上、④两点都在抛物线上；针对每类情况列方程求解，再验证解是否在横坐标的取值范围内，统计符合条件的解的个数即可得到答案。
【解析】
1. 求直线AB的解析式：
设直线AB的表达式为$y=kx+b$，将$A(-1,1)$、$B(3,9)$代入得方程组：
$\begin{cases}-k+b=1\\3k+b=9\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=3\end{cases}$，即线段AB的解析式为$y=2x+3$（$-1≤ x≤3$）。
2. 确定x的取值范围：
设点P的坐标为$(x,y)$，平移后点$P'$的坐标为$(x+1,y+1)$。
因为P在图形C上，所以$-1≤ x≤3$；$P'$也在图形C上，所以$-1≤ x+1≤3$，即$-2≤ x≤2$。
综上可得x的取值范围为$\boldsymbol{-1≤ x≤2}$。
3. 分类讨论：
① 若P、$P'$都在直线AB上：
代入解析式得$2x+3+1=2(x+1)+3$，化简得$4=5$，无解，此类无符合条件的点。
② 若P在直线AB上，$P'$在抛物线$y=x^2$上：
代入得$2x+3+1=(x+1)^2$，整理得$x^2=3$，解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$。
结合$-1≤ x≤2$，仅$x=\sqrt{3}$符合要求，得到1个符合条件的点。
③ 若P在抛物线$y=x^2$上，$P'$在直线AB上：
代入得$x^2+1=2(x+1)+3$，整理得$x^2-2x-4=0$，解得$x=1\pm\sqrt{5}$。
$1+\sqrt{5}\approx3.24＞2$，$1-\sqrt{5}\approx-1.24＜-1$，均不符合x的范围，此类无符合条件的点。
④ 若P、$P'$都在抛物线$y=x^2$上：
代入得$x^2+1=(x+1)^2$，解得$x=0$，符合$-1≤ x≤2$，得到1个符合条件的点。
4. 统计符合条件的点共有2个。
【答案】
B
【知识点】
点的平移规律，一次函数解析式求解，二次函数的性质
【点评】
本题是一次函数、二次函数与平移结合的综合题，解题核心是根据图形C的组成合理分类讨论，求解后要注意结合自变量的取值范围验证解的合理性，避免出现增解。
【难度系数】
0.4
解题思路如下：首先根据点的平移规则，确定平移后点的坐标特征，先推导点P横坐标的取值范围；再求出线段AB对应的一次函数解析式，由于图形C由线段AB和抛物线段两部分组成，因此需要分四类讨论点P和平移后点$P'$的位置：①两点都在直线AB上、②P在直线AB上、$P'$在抛物线上、③P在抛物线上、$P'$在直线AB上、④两点都在抛物线上；针对每类情况列方程求解，再验证解是否在横坐标的取值范围内，统计符合条件的解的个数即可得到答案。
【解析】
1. 求直线AB的解析式：
设直线AB的表达式为$y=kx+b$，将$A(-1,1)$、$B(3,9)$代入得方程组：
$\begin{cases}-k+b=1\\3k+b=9\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2\\b=3\end{cases}$，即线段AB的解析式为$y=2x+3$（$-1≤ x≤3$）。
2. 确定x的取值范围：
设点P的坐标为$(x,y)$，平移后点$P'$的坐标为$(x+1,y+1)$。
因为P在图形C上，所以$-1≤ x≤3$；$P'$也在图形C上，所以$-1≤ x+1≤3$，即$-2≤ x≤2$。
综上可得x的取值范围为$\boldsymbol{-1≤ x≤2}$。
3. 分类讨论：
① 若P、$P'$都在直线AB上：
代入解析式得$2x+3+1=2(x+1)+3$，化简得$4=5$，无解，此类无符合条件的点。
② 若P在直线AB上，$P'$在抛物线$y=x^2$上：
代入得$2x+3+1=(x+1)^2$，整理得$x^2=3$，解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$。
结合$-1≤ x≤2$，仅$x=\sqrt{3}$符合要求，得到1个符合条件的点。
③ 若P在抛物线$y=x^2$上，$P'$在直线AB上：
代入得$x^2+1=2(x+1)+3$，整理得$x^2-2x-4=0$，解得$x=1\pm\sqrt{5}$。
$1+\sqrt{5}\approx3.24＞2$，$1-\sqrt{5}\approx-1.24＜-1$，均不符合x的范围，此类无符合条件的点。
④ 若P、$P'$都在抛物线$y=x^2$上：
代入得$x^2+1=(x+1)^2$，解得$x=0$，符合$-1≤ x≤2$，得到1个符合条件的点。
4. 统计符合条件的点共有2个。
【答案】
B
【知识点】
点的平移规律，一次函数解析式求解，二次函数的性质
【点评】
本题是一次函数、二次函数与平移结合的综合题，解题核心是根据图形C的组成合理分类讨论，求解后要注意结合自变量的取值范围验证解的合理性，避免出现增解。
【难度系数】
0.4
