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5. 在平面直角坐标系中，已知直线$y=x-5$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$。将二次函数$y=x^2$的图象平移，得到抛物线$C$，使抛物线$C$经过点$A$，$B$。
（1）求抛物线$C$的函数表达式。
（2）写出抛物线$C$的顶点坐标和对称轴。
（3）写出将二次函数$y=x^2$的图象平移得抛物线$C$的平移过程。
（1）求抛物线$C$的函数表达式。
（2）写出抛物线$C$的顶点坐标和对称轴。
（3）写出将二次函数$y=x^2$的图象平移得抛物线$C$的平移过程。
答案
(1) 抛物线$C$的函数表达式为$y=x^2-4x-5$。
(2) 抛物线$C$的顶点坐标为$(2,-9)$,对称轴为直线$x=2$。
(3) 将二次函数$y=x^2$的图象先向右平移2个单位,再向下平移9个单位,得抛物线$C$。
(2) 抛物线$C$的顶点坐标为$(2,-9)$,对称轴为直线$x=2$。
(3) 将二次函数$y=x^2$的图象先向右平移2个单位,再向下平移9个单位,得抛物线$C$。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先求直线与坐标轴的交点A、B的坐标：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，代入直线解析式即可求出A、B坐标。2. 求抛物线C的解析式：二次函数图象平移时二次项系数不变，所以可设平移后抛物线解析式为$y=x^2+bx+c$，再将A、B两点坐标代入，求解得到b、c的值即可。3. 求顶点坐标和对称轴：可将一般式通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点坐标和对称轴，也可使用顶点坐标公式计算。4. 确定平移过程：对比原二次函数$y=x^2$的顶点(0,0)和抛物线C的顶点坐标，按照“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到平移方法。
【解析】
（1）先求点A、B的坐标：
对于直线$y=x-5$，令$y=0$，得$x-5=0$，解得$x=5$，
∴点A坐标为$(5,0)$；
令$x=0$，得$y=0-5=-5$，
∴点B坐标为$(0,-5)$。
∵抛物线C是由$y=x^2$平移得到的，
∴抛物线C的二次项系数为1，设其解析式为$y=x^2+bx+c$。
将$A(5,0)$、$B(0,-5)$代入解析式得：
$\begin{cases}25+5b+c=0 \\ c=-5\end{cases}$
把$c=-5$代入第一个方程，得$25+5b-5=0$，解得$b=-4$。
∴抛物线C的函数表达式为$y=x^2-4x-5$。
（2）将抛物线C的一般式配方为顶点式：
$y=x^2-4x-5 = (x^2-4x+4)-4-5 = (x-2)^2-9$
∴抛物线C的顶点坐标为$(2,-9)$，对称轴为直线$x=2$。
（3）二次函数$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线C的顶点坐标为$(2,-9)$。
根据平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，可得平移过程为：将二次函数$y=x^2$的图象先向右平移2个单位，再向下平移9个单位，即可得到抛物线C。
【答案】
(1) $y=x^2-4x-5$
(2) 顶点坐标为$(2,-9)$，对称轴为直线$x=2$
(3) 将二次函数$y=x^2$的图象先向右平移2个单位，再向下平移9个单位，得抛物线$C$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题围绕二次函数的平移性质展开考查，解题核心是抓住平移前后二次项系数不变的特点，结合待定系数法求解析式，通过配方法得到顶点式后即可快速确定顶点、对称轴和平移路径，属于二次函数的基础常考题，熟练掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 先求直线与坐标轴的交点A、B的坐标：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，代入直线解析式即可求出A、B坐标。2. 求抛物线C的解析式：二次函数图象平移时二次项系数不变，所以可设平移后抛物线解析式为$y=x^2+bx+c$，再将A、B两点坐标代入，求解得到b、c的值即可。3. 求顶点坐标和对称轴：可将一般式通过配方法转化为顶点式，直接得到顶点坐标和对称轴，也可使用顶点坐标公式计算。4. 确定平移过程：对比原二次函数$y=x^2$的顶点(0,0)和抛物线C的顶点坐标，按照“左加右减，上加下减”的平移规律即可得到平移方法。
【解析】
（1）先求点A、B的坐标：
对于直线$y=x-5$，令$y=0$，得$x-5=0$，解得$x=5$，
∴点A坐标为$(5,0)$；
令$x=0$，得$y=0-5=-5$，
∴点B坐标为$(0,-5)$。
∵抛物线C是由$y=x^2$平移得到的，
∴抛物线C的二次项系数为1，设其解析式为$y=x^2+bx+c$。
将$A(5,0)$、$B(0,-5)$代入解析式得：
$\begin{cases}25+5b+c=0 \\ c=-5\end{cases}$
把$c=-5$代入第一个方程，得$25+5b-5=0$，解得$b=-4$。
∴抛物线C的函数表达式为$y=x^2-4x-5$。
（2）将抛物线C的一般式配方为顶点式：
$y=x^2-4x-5 = (x^2-4x+4)-4-5 = (x-2)^2-9$
∴抛物线C的顶点坐标为$(2,-9)$，对称轴为直线$x=2$。
（3）二次函数$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线C的顶点坐标为$(2,-9)$。
根据平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，可得平移过程为：将二次函数$y=x^2$的图象先向右平移2个单位，再向下平移9个单位，即可得到抛物线C。
【答案】
(1) $y=x^2-4x-5$
(2) 顶点坐标为$(2,-9)$，对称轴为直线$x=2$
(3) 将二次函数$y=x^2$的图象先向右平移2个单位，再向下平移9个单位，得抛物线$C$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题围绕二次函数的平移性质展开考查，解题核心是抓住平移前后二次项系数不变的特点，结合待定系数法求解析式，通过配方法得到顶点式后即可快速确定顶点、对称轴和平移路径，属于二次函数的基础常考题，熟练掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 通过平移,要使二次函数$y=(x+1)^2 -4$的图象变换为二次函数$y=(x-1)^2 -1$的图象,下列平移正确的是(
A.把函数图象向左平移2个单位,向下平移3个单位
B.把函数图象向右平移2个单位,向上平移3个单位
C.把函数图象向左平移2个单位,向上平移3个单位
D.把函数图象向右平移2个单位,向下平移3个单位
BC
)。A.把函数图象向左平移2个单位,向下平移3个单位
B.把函数图象向右平移2个单位,向上平移3个单位
C.把函数图象向左平移2个单位,向上平移3个单位
D.把函数图象向右平移2个单位,向下平移3个单位
答案
BC。提示:$y=(x+1)^2-4$的顶点坐标是$(-1,-4)$,$y=(x-1)^2-1$的顶点坐标是$(1,-1)$。从顶点坐标变化情况可知,将二次函数$y=(x+1)^2-4$的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位可得二次函数$y=(x-1)^2-1$的图象。
解析
【分析】二次函数平移时不会改变开口方向和大小，仅顶点位置发生变化，因此我们可以通过对比两个函数的顶点坐标变化确定平移方式。解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，分别求出两个函数的顶点；再根据点的平移规律（横坐标右移加、左移减，纵坐标上移加、下移减）判断平移的方向和距离，且上下平移与左右平移的先后顺序不影响最终平移结果。
【解析】
1. 求两个二次函数的顶点坐标：
对于原函数$y=(x+1)^2-4$，可变形为$y=[x-(-1)]^2+(-4)$，因此它的顶点坐标为$(-1,-4)$；
对于目标函数$y=(x-1)^2-1$，其顶点坐标为$(1,-1)$。
2. 分析顶点的平移规律：
横坐标从$-1$变为$1$，变化量为$1-(-1)=2$，即横坐标增加2，对应图象向右平移2个单位；
纵坐标从$-4$变为$-1$，变化量为$-1-(-4)=3$，即纵坐标增加3，对应图象向上平移3个单位。
由于左右平移和上下平移互不干扰，只要满足向右平移2个单位、向上平移3个单位的要求，无论平移顺序如何都可得到目标图象，因此对应选项正确。
【答案】BC
【知识点】二次函数顶点式；二次函数图象平移
【点评】本题核心考查二次函数图象的平移规律，将图象平移转化为顶点的平移来分析，比直接套用“左加右减、上加下减”的规律更直观，不容易出错，同时要注意上下平移和左右平移的顺序不影响最终结果。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 求两个二次函数的顶点坐标：
对于原函数$y=(x+1)^2-4$，可变形为$y=[x-(-1)]^2+(-4)$，因此它的顶点坐标为$(-1,-4)$；
对于目标函数$y=(x-1)^2-1$，其顶点坐标为$(1,-1)$。
2. 分析顶点的平移规律：
横坐标从$-1$变为$1$，变化量为$1-(-1)=2$，即横坐标增加2，对应图象向右平移2个单位；
纵坐标从$-4$变为$-1$，变化量为$-1-(-4)=3$，即纵坐标增加3，对应图象向上平移3个单位。
由于左右平移和上下平移互不干扰，只要满足向右平移2个单位、向上平移3个单位的要求，无论平移顺序如何都可得到目标图象，因此对应选项正确。
【答案】BC
【知识点】二次函数顶点式；二次函数图象平移
【点评】本题核心考查二次函数图象的平移规律，将图象平移转化为顶点的平移来分析，比直接套用“左加右减、上加下减”的规律更直观，不容易出错，同时要注意上下平移和左右平移的顺序不影响最终结果。
【难度系数】0.7
7. 已知某抛物线C与抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2 -3$的形状和开口方向都相同，且顶点坐标为$(-2,4)$。
（1）求抛物线C的函数表达式。
（2）给出一种平移方案，使抛物线C平移后经过原点。
（1）求抛物线C的函数表达式。
（2）给出一种平移方案，使抛物线C平移后经过原点。
答案
(1) $y=-\frac{1}{4}(x+2)^2+4$。
(2) 答案不唯一。如向左平移2个单位,或向右平移6个单位,或向下平移3个单位等。
(2) 答案不唯一。如向左平移2个单位,或向右平移6个单位,或向下平移3个单位等。
解析
【分析】
（1）求解抛物线C的解析式时，首先明确二次函数中二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状，两个抛物线形状、开口方向相同则$a$值相等，因此先确定抛物线C的$a=-\frac{1}{4}$；已知顶点坐标，选用二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标即可求出解析式。
（2）平移方案设计依据二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，只需让平移后的抛物线满足过原点$(0,0)$即可，答案不唯一，可通过调整上下或左右平移距离实现。
【解析】
（1）$\because$ 抛物线C与$y=-\dfrac{1}{4}x^2 -3$的形状、开口方向均相同，
$\therefore$ 抛物线C的二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}$。
设抛物线C的解析式为$y=a(x-h)^2+k$，已知顶点坐标为$(-2,4)$，即$h=-2$，$k=4$，代入得：
$y=-\dfrac{1}{4}[x-(-2)]^2+4$，化简得$y=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4$。
（2）示例方案：将抛物线C向下平移3个单位。
验证：平移后解析式为$y=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4-3=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+1$，将$(0,0)$代入，右边$=-\dfrac{1}{4}×(0+2)^2+1=0=$左边，符合要求。也可选择向左平移2个单位、向右平移6个单位等方案，均正确。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4$
(2) 答案不唯一，如向下平移3个单位（或向左平移2个单位、向右平移6个单位等）
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数平移规律
【点评】
本题考查二次函数的基础性质与平移应用，第一问是顶点式的常规应用，第二问为开放性问题，紧扣平移规律和函数过点的性质即可求解，整体考查内容偏基础。
【难度系数】
0.85
（1）求解抛物线C的解析式时，首先明确二次函数中二次项系数$a$决定抛物线的开口方向和形状，两个抛物线形状、开口方向相同则$a$值相等，因此先确定抛物线C的$a=-\frac{1}{4}$；已知顶点坐标，选用二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标即可求出解析式。
（2）平移方案设计依据二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，只需让平移后的抛物线满足过原点$(0,0)$即可，答案不唯一，可通过调整上下或左右平移距离实现。
【解析】
（1）$\because$ 抛物线C与$y=-\dfrac{1}{4}x^2 -3$的形状、开口方向均相同，
$\therefore$ 抛物线C的二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}$。
设抛物线C的解析式为$y=a(x-h)^2+k$，已知顶点坐标为$(-2,4)$，即$h=-2$，$k=4$，代入得：
$y=-\dfrac{1}{4}[x-(-2)]^2+4$，化简得$y=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4$。
（2）示例方案：将抛物线C向下平移3个单位。
验证：平移后解析式为$y=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4-3=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+1$，将$(0,0)$代入，右边$=-\dfrac{1}{4}×(0+2)^2+1=0=$左边，符合要求。也可选择向左平移2个单位、向右平移6个单位等方案，均正确。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{4}(x+2)^2+4$
(2) 答案不唯一，如向下平移3个单位（或向左平移2个单位、向右平移6个单位等）
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数平移规律
【点评】
本题考查二次函数的基础性质与平移应用，第一问是顶点式的常规应用，第二问为开放性问题，紧扣平移规律和函数过点的性质即可求解，整体考查内容偏基础。
【难度系数】
0.85
