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5. 根据下列条件，分别求二次函数的表达式。
（1）已知二次函数的图象经过点$(-2,-1)$，且当$x=-1$时，函数有最大值2。
（2）已知二次函数图象的对称轴是直线$x=1$，与坐标轴交于点$(0,-1)$，$(-1,0)$。
（1）已知二次函数的图象经过点$(-2,-1)$，且当$x=-1$时，函数有最大值2。
（2）已知二次函数图象的对称轴是直线$x=1$，与坐标轴交于点$(0,-1)$，$(-1,0)$。
答案
（1）$y=-3x^2-6x-1$，或$y=-3(x+1)^2+2$。
（2）$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x-1$，或$y=\dfrac{1}{3}(x-1)^2-\dfrac{4}{3}$。
（2）$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x-1$，或$y=\dfrac{1}{3}(x-1)^2-\dfrac{4}{3}$。
解析
【分析】
（1）已知二次函数在x=-1时取最大值2，说明其顶点坐标为(-1,2)，优先选择顶点式设解析式，再将已知经过的点代入求解系数a，即可得到函数表达式。
（2）已知二次函数对称轴和两个图象上的点，可选择一般式设解析式，结合对称轴公式、两个点的坐标列方程组求解系数；也可根据对称轴设顶点式代入点求解，两种方法均能得到解析式，选择合适的形式可简化计算。
【解析】
（1）解：
∵二次函数当x=-1时有最大值2，
∴函数顶点坐标为$(-1,2)$，设二次函数解析式为$y=a(x+1)^2+2$（$a≠0$）。
将点$(-2,-1)$代入解析式得：
$\begin{aligned}-1&=a×(-2+1)^2+2\\-1&=a+2\\a&=-3\end{aligned}$
因此解析式为$y=-3(x+1)^2+2$，展开为一般式得$y=-3x^2-6x-1$。
（2）解：设二次函数一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），根据题意列条件：
① 对称轴为直线$x=1$，得$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$；
② 过点$(0,-1)$，代入得$c=-1$；
③ 过点$(-1,0)$，代入得$a-b+c=0$。
将$b=-2a$、$c=-1$代入$a-b+c=0$：
$\begin{aligned}a-(-2a)-1&=0\\3a&=1\\a&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
则$b=-2×\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$，因此解析式为$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-1$，化为顶点式得$y=\frac{1}{3}(x-1)^2-\frac{4}{3}$。
【答案】
（1）$y=-3x^2-6x-1$，或$y=-3(x+1)^2+2$。
（2）$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x-1$，或$y=\dfrac{1}{3}(x-1)^2-\dfrac{4}{3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，二次函数性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据已知条件灵活选择解析式形式，能有效降低计算量，需要熟练掌握二次函数顶点、对称轴等基础性质。
【难度系数】
0.8
（1）已知二次函数在x=-1时取最大值2，说明其顶点坐标为(-1,2)，优先选择顶点式设解析式，再将已知经过的点代入求解系数a，即可得到函数表达式。
（2）已知二次函数对称轴和两个图象上的点，可选择一般式设解析式，结合对称轴公式、两个点的坐标列方程组求解系数；也可根据对称轴设顶点式代入点求解，两种方法均能得到解析式，选择合适的形式可简化计算。
【解析】
（1）解：
∵二次函数当x=-1时有最大值2，
∴函数顶点坐标为$(-1,2)$，设二次函数解析式为$y=a(x+1)^2+2$（$a≠0$）。
将点$(-2,-1)$代入解析式得：
$\begin{aligned}-1&=a×(-2+1)^2+2\\-1&=a+2\\a&=-3\end{aligned}$
因此解析式为$y=-3(x+1)^2+2$，展开为一般式得$y=-3x^2-6x-1$。
（2）解：设二次函数一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），根据题意列条件：
① 对称轴为直线$x=1$，得$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$；
② 过点$(0,-1)$，代入得$c=-1$；
③ 过点$(-1,0)$，代入得$a-b+c=0$。
将$b=-2a$、$c=-1$代入$a-b+c=0$：
$\begin{aligned}a-(-2a)-1&=0\\3a&=1\\a&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
则$b=-2×\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$，因此解析式为$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-1$，化为顶点式得$y=\frac{1}{3}(x-1)^2-\frac{4}{3}$。
【答案】
（1）$y=-3x^2-6x-1$，或$y=-3(x+1)^2+2$。
（2）$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}x-1$，或$y=\dfrac{1}{3}(x-1)^2-\dfrac{4}{3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，二次函数性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据已知条件灵活选择解析式形式，能有效降低计算量，需要熟练掌握二次函数顶点、对称轴等基础性质。
【难度系数】
0.8
6. 已知抛物线的对称轴是直线 $ x = 2 $，顶点在直线 $ y = x - 1 $ 上，并且经过点$ (3, -8) $。
（1）求这条抛物线的函数表达式。
（2）若点$ (1, y_1) $和$ (4, y_2) $都在这条抛物线上，试判断$ y_1, y_2 $的大小关系。
（1）求这条抛物线的函数表达式。
（2）若点$ (1, y_1) $和$ (4, y_2) $都在这条抛物线上，试判断$ y_1, y_2 $的大小关系。
答案
（1）由题意，得顶点坐标为$(2,1)$。设二次函数的表达式为$y=a(x-2)^2+1$，将$x=3,y=-8$代入，得$a=-9$，所以这条抛物线的表达式为$y=-9(x-2)^2+1$，即$y=-9x^2+36x-35$。
（2）当$x=1$时，$y_1=-8$；当$x=4$时，$y_2=-35$。所以$y_1＞y_2$。
（2）当$x=1$时，$y_1=-8$；当$x=4$时，$y_2=-35$。所以$y_1＞y_2$。
解析
【分析】
（1）要确定抛物线的函数表达式，首先利用顶点在对称轴上的性质，结合已知对称轴为x=2，可得顶点横坐标为2，再将x=2代入顶点所在直线y=x-1，即可求出顶点纵坐标，得到顶点坐标后选择顶点式设二次函数表达式，最后将已知点(3,-8)代入求出参数a，就能得到抛物线解析式，也可整理为一般式。
（2）比较y₁、y₂的大小有两种思路：一是直接将两个点的横坐标代入解析式，计算出y₁和y₂的具体数值后比较；二是利用二次函数的性质，先判断抛物线开口方向，再计算两个点到对称轴的距离，开口向下时离对称轴越近函数值越大，以此判断大小。
【解析】
（1）
∵抛物线的对称轴是直线$x=2$，顶点在对称轴上，
∴顶点的横坐标为2，
又
∵顶点在直线$y=x-1$上，将$x=2$代入直线方程，得$y=2-1=1$，
∴抛物线的顶点坐标为$(2,1)$，
设抛物线的函数表达式为顶点式$y=a(x-2)^2+1$（$a≠0$），
将点$(3,-8)$代入表达式，得：
$-8=a·(3-2)^2+1$
解得$a=-9$，
∴抛物线的表达式为$y=-9(x-2)^2+1$，整理为一般式：
$y=-9(x^2-4x+4)+1=-9x^2+36x-35$。
（2）将两个点的横坐标分别代入解析式计算：
当$x=1$时，$y_1=-9×(1-2)^2+1=-9×1+1=-8$；
当$x=4$时，$y_2=-9×(4-2)^2+1=-9×4+1=-35$；
∵$-8＞-35$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
（1）$y=-9x^2+36x-35$（或$y=-9(x-2)^2+1$）
（2）$y_1＞y_2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数基础常考题，解题核心是先根据已知条件确定顶点坐标，选择顶点式设解析式可大幅简化计算，比较函数值时，除直接代入计算外，利用二次函数增减性和对称性的方法在处理无具体坐标的点时更便捷。
【难度系数】
0.75
（1）要确定抛物线的函数表达式，首先利用顶点在对称轴上的性质，结合已知对称轴为x=2，可得顶点横坐标为2，再将x=2代入顶点所在直线y=x-1，即可求出顶点纵坐标，得到顶点坐标后选择顶点式设二次函数表达式，最后将已知点(3,-8)代入求出参数a，就能得到抛物线解析式，也可整理为一般式。
（2）比较y₁、y₂的大小有两种思路：一是直接将两个点的横坐标代入解析式，计算出y₁和y₂的具体数值后比较；二是利用二次函数的性质，先判断抛物线开口方向，再计算两个点到对称轴的距离，开口向下时离对称轴越近函数值越大，以此判断大小。
【解析】
（1）
∵抛物线的对称轴是直线$x=2$，顶点在对称轴上，
∴顶点的横坐标为2，
又
∵顶点在直线$y=x-1$上，将$x=2$代入直线方程，得$y=2-1=1$，
∴抛物线的顶点坐标为$(2,1)$，
设抛物线的函数表达式为顶点式$y=a(x-2)^2+1$（$a≠0$），
将点$(3,-8)$代入表达式，得：
$-8=a·(3-2)^2+1$
解得$a=-9$，
∴抛物线的表达式为$y=-9(x-2)^2+1$，整理为一般式：
$y=-9(x^2-4x+4)+1=-9x^2+36x-35$。
（2）将两个点的横坐标分别代入解析式计算：
当$x=1$时，$y_1=-9×(1-2)^2+1=-9×1+1=-8$；
当$x=4$时，$y_2=-9×(4-2)^2+1=-9×4+1=-35$；
∵$-8＞-35$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
（1）$y=-9x^2+36x-35$（或$y=-9(x-2)^2+1$）
（2）$y_1＞y_2$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数基础常考题，解题核心是先根据已知条件确定顶点坐标，选择顶点式设解析式可大幅简化计算，比较函数值时，除直接代入计算外，利用二次函数增减性和对称性的方法在处理无具体坐标的点时更便捷。
【难度系数】
0.75
7. (多选题)二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量$x$与函数$y$的对应值如下表所示：
下列说法正确的是(
A.函数图象的对称轴是直线$x=1$
B.函数图象的开口向上
C.函数图象与坐标轴有3个交点
D.当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小
下列说法正确的是(
ACD
)。A.函数图象的对称轴是直线$x=1$
B.函数图象的开口向上
C.函数图象与坐标轴有3个交点
D.当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
7. ACD
解析
【分析】
解题时先利用二次函数的对称性，找y值相等的两组x值确定对称轴，判断A选项；再代入表格中的点求出二次函数解析式，根据a的正负判断开口方向验证B选项；通过判别式判断与x轴的交点个数，结合与y轴的交点判断C选项；最后根据开口方向和对称轴分析函数增减性验证D选项。
【解析】
1. 判断选项A：观察表格可知，当x=0和x=2时，y的值均为-1，两点关于二次函数对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，故A正确。
2. 求二次函数解析式：将$(0,-1)$、$(1,1)$、$(-1,-7)$代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases}c=-1\\a+b+c=1\\a-b+c=-7\end{cases}$
把$c=-1$代入后两个方程，得$\begin{cases}a+b=2\\a-b=-6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-2\\b=4\end{cases}$，即函数解析式为$y=-2x^2+4x-1$。
3. 判断选项B：$a=-2＜0$，所以函数图象开口向下，故B错误。
4. 判断选项C：函数与y轴交点为$(0,-1)$，共1个；判别式$\Delta=b^2-4ac=4^2-4×(-2)×(-1)=8＞0$，所以函数与x轴有2个交点，因此图象与坐标轴共有3个交点，故C正确。
5. 判断选项D：函数开口向下，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＞1$时，y随x的增大而减小，所以$x＞2$时y也随x的增大而减小，故D正确。
综上，正确的选项为ACD。
【答案】
ACD
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的突破口是利用对称点快速确定对称轴，再结合解析式逐一验证各选项，需要学生熟练掌握二次函数开口、增减性、交点判断的方法。
【难度系数】
0.7
解题时先利用二次函数的对称性，找y值相等的两组x值确定对称轴，判断A选项；再代入表格中的点求出二次函数解析式，根据a的正负判断开口方向验证B选项；通过判别式判断与x轴的交点个数，结合与y轴的交点判断C选项；最后根据开口方向和对称轴分析函数增减性验证D选项。
【解析】
1. 判断选项A：观察表格可知，当x=0和x=2时，y的值均为-1，两点关于二次函数对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，故A正确。
2. 求二次函数解析式：将$(0,-1)$、$(1,1)$、$(-1,-7)$代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases}c=-1\\a+b+c=1\\a-b+c=-7\end{cases}$
把$c=-1$代入后两个方程，得$\begin{cases}a+b=2\\a-b=-6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-2\\b=4\end{cases}$，即函数解析式为$y=-2x^2+4x-1$。
3. 判断选项B：$a=-2＜0$，所以函数图象开口向下，故B错误。
4. 判断选项C：函数与y轴交点为$(0,-1)$，共1个；判别式$\Delta=b^2-4ac=4^2-4×(-2)×(-1)=8＞0$，所以函数与x轴有2个交点，因此图象与坐标轴共有3个交点，故C正确。
5. 判断选项D：函数开口向下，对称轴为直线$x=1$，因此当$x＞1$时，y随x的增大而减小，所以$x＞2$时y也随x的增大而减小，故D正确。
综上，正确的选项为ACD。
【答案】
ACD
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的突破口是利用对称点快速确定对称轴，再结合解析式逐一验证各选项，需要学生熟练掌握二次函数开口、增减性、交点判断的方法。
【难度系数】
0.7
