登录
8. 如图,小明的爸爸在相距4 m的两棵树的等高位置处拴了一根绳子,绳子自然下垂,形状近似呈抛物线。已知身高1.5 m的小明站在距离其中一棵树1 m的地方,头顶刚好触到绳子。按图示建立直角坐标系。
(1) 求二次函数的表达式和自变量的取值范围。
(2) 求绳子最低点离地面的距离。
(1) 求二次函数的表达式和自变量的取值范围。
(2) 求绳子最低点离地面的距离。
答案
（1）由题意，设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+2.5$，则
$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=2,\\a+b+2.5=1.5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3},\\b=-\dfrac{4}{3}。\end{cases}$
所以二次函数的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{2}(0≤ x≤4)$。
（2）当$x=2$时，$y=\dfrac{7}{6}$。绳子最低点离地面的距离为$\dfrac{7}{6}\ \mathrm{m}$。
$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=2,\\a+b+2.5=1.5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{3},\\b=-\dfrac{4}{3}。\end{cases}$
所以二次函数的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{2}(0≤ x≤4)$。
（2）当$x=2$时，$y=\dfrac{7}{6}$。绳子最低点离地面的距离为$\dfrac{7}{6}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先从题目和图像提取关键信息：①绳子两端固定在等高位置，对应点为$(0,2.5)$和$(4,2.5)$，因此抛物线对称轴为直线$x=2$；②小明头顶触绳时位置为$x=1,y=1.5$，即抛物线过点$(1,1.5)$。
第(1)问：抛物线与y轴交点为$(0,2.5)$，设一般式时可直接确定常数项为2.5，结合对称轴公式和已知点坐标列方程组求解$a、b$，再根据绳子的范围确定自变量取值。
第(2)问：抛物线开口向上，顶点就是最低点，将顶点横坐标$x=2$代入函数表达式，即可求出最低点离地面的距离。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线过点$(0,2.5)$，两棵树相距4m，因此抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$；小明距左侧树1m时头顶触绳，因此抛物线还过点$(1,1.5)$。
设二次函数表达式为$y=ax^2+bx+c$，将$(0,2.5)$代入得$c=2.5=\frac{5}{2}$，因此表达式可写为$y=ax^2+bx+\frac{5}{2}$。
结合对称轴公式和点$(1,1.5)$列方程组：
$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=2\\a+b+\dfrac{5}{2}=1.5\end{cases}$
整理第二个方程得$a+b=-1$，由第一个方程得$b=-4a$，代入$a+b=-1$解得$a=\frac{1}{3}$，则$b=-\frac{4}{3}$。
因此二次函数表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{2}$，自变量$x$的取值范围是绳子所在的区间$0≤ x≤4$。
(2) 因为$a=\frac{1}{3}＞0$，抛物线开口向上，顶点为最低点，顶点横坐标为对称轴$x=2$，将$x=2$代入函数表达式：
$y=\dfrac{1}{3}×2^2-\dfrac{4}{3}×2+\dfrac{5}{2}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{7}{6}$
即绳子最低点离地面的距离为$\frac{7}{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{2}(0≤ x≤4)$
(2) $\dfrac{7}{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 二次函数解析式确定
2. 二次函数顶点性质
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是从题干和图像中提取有效坐标信息，将实际问题转化为二次函数问题求解，能够很好地锻炼学生的建模能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先从题目和图像提取关键信息：①绳子两端固定在等高位置，对应点为$(0,2.5)$和$(4,2.5)$，因此抛物线对称轴为直线$x=2$；②小明头顶触绳时位置为$x=1,y=1.5$，即抛物线过点$(1,1.5)$。
第(1)问：抛物线与y轴交点为$(0,2.5)$，设一般式时可直接确定常数项为2.5，结合对称轴公式和已知点坐标列方程组求解$a、b$，再根据绳子的范围确定自变量取值。
第(2)问：抛物线开口向上，顶点就是最低点，将顶点横坐标$x=2$代入函数表达式，即可求出最低点离地面的距离。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线过点$(0,2.5)$，两棵树相距4m，因此抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$；小明距左侧树1m时头顶触绳，因此抛物线还过点$(1,1.5)$。
设二次函数表达式为$y=ax^2+bx+c$，将$(0,2.5)$代入得$c=2.5=\frac{5}{2}$，因此表达式可写为$y=ax^2+bx+\frac{5}{2}$。
结合对称轴公式和点$(1,1.5)$列方程组：
$\begin{cases}-\dfrac{b}{2a}=2\\a+b+\dfrac{5}{2}=1.5\end{cases}$
整理第二个方程得$a+b=-1$，由第一个方程得$b=-4a$，代入$a+b=-1$解得$a=\frac{1}{3}$，则$b=-\frac{4}{3}$。
因此二次函数表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{2}$，自变量$x$的取值范围是绳子所在的区间$0≤ x≤4$。
(2) 因为$a=\frac{1}{3}＞0$，抛物线开口向上，顶点为最低点，顶点横坐标为对称轴$x=2$，将$x=2$代入函数表达式：
$y=\dfrac{1}{3}×2^2-\dfrac{4}{3}×2+\dfrac{5}{2}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{7}{6}$
即绳子最低点离地面的距离为$\frac{7}{6}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{2}(0≤ x≤4)$
(2) $\dfrac{7}{6}\ \mathrm{m}$
【知识点】
1. 二次函数解析式确定
2. 二次函数顶点性质
3. 二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是从题干和图像中提取有效坐标信息，将实际问题转化为二次函数问题求解，能够很好地锻炼学生的建模能力。
【难度系数】
0.7
9. 已知二次函数 $y=ax^2+bx-c$。
（1）若$a=2,b=4,c=6$，求该二次函数的图象与$x$轴的交点坐标。
（2）若$a=2,b=4$，当$-2＜x＜1$时，二次函数的图象与$x$轴有且只有一个交点，求$c$的取值范围。
（1）若$a=2,b=4,c=6$，求该二次函数的图象与$x$轴的交点坐标。
（2）若$a=2,b=4$，当$-2＜x＜1$时，二次函数的图象与$x$轴有且只有一个交点，求$c$的取值范围。
答案
（1）当$a=2,b=4,c=6$时，$y=2x^2+4x-6$。
当$y=0$时，则有$2x^2+4x-6=0$，解得$x_1=-3,x_2=1$。
所以该二次函数的图象与$x$轴的交点坐标为$(-3,0),(1,0)$。
（2）当$a=2,b=4$时，$y=2x^2+4x-c$。
因为二次函数的图象与$x$轴有交点，所以$4^2-4×2×(-c)=16+8c≥0$，即$c≥-2$。
①若二次函数的图象与$x$轴只有一个交点，则$16+8c=0$，解得$c=-2$。所以$y=2x^2+4x+2=2(x+1)^2$，与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$。因为$-2＜-1＜1$，所以$c=-2$符合题意。
②若二次函数的图象与$x$轴有两个交点，其中只有一个交点的横坐标满足$-2＜x＜1$。
，抛物线的对称轴为直线$x=-1$。当$x=-2$时，$y=-c$；
当$x=1$时，$y=6-c$。
由$\begin{cases}-c＜0,\\6-c＞0,\end{cases}$得$0＜c＜6$。
若二次函数的图象经过点$(-2,0)$，则$2×(-2)^2+4×(-2)-c=0$，所以$c=0$。即$y=2x^2+4x$。当$y=0$时，$2x^2+4x=0$，解得$x_1=-2,x_2=0$，这个二次函数的图象与$x$轴的交点坐标为$(-2,0),(0,0)$。此时，只有一个交点$(0,0)$的横坐标满足$-2＜x＜1$，所以$c=0$符合题意。
若二次函数的图象经过点$(1,0)$，则$2×1^2+4×1-c=0$，所以$c=6$。即$y=2x^2+4x-6$。当$y=0$时，$2x^2+4x-6=0$，解得$x_1=-3,x_2=1$，这个二次函数的图象与$x$轴的交点坐标为$(-3,0),(1,0)$。没有一个交点的横坐标满足$-2＜x＜1$，所以$c=6$不符合题意。
综上所述，$c$的取值范围为$c=-2$或$0≤ c＜6$。
解析
【分析】
（1）求二次函数与x轴的交点坐标，只需令y=0，将二次函数转化为一元二次方程求解，方程的根即为交点的横坐标，结合纵坐标为0即可得到交点坐标。
（2）本问是限定区间内二次函数与x轴交点个数问题，解题时先代入a、b得到函数解析式，首先根据交点存在性由判别式Δ≥0确定c的初步范围，再分两类讨论：①函数与x轴仅有1个交点（Δ=0），判断交点横坐标是否在区间(-2,1)内；②函数与x轴有2个交点，仅有1个在区间内，结合抛物线对称轴，通过区间端点的函数值符号列不等式，再单独验证端点处函数值为0的特殊情况（因区间为开区间，需判断是否符合要求），最后综合所有情况得到c的取值范围。
【解析】
（1）当$a=2,b=4,c=6$时，二次函数解析式为$y=2x^2+4x-6$。
令$y=0$，可得方程$2x^2+4x-6=0$，化简得$x^2+2x-3=0$，因式分解解得$x_1=-3,x_2=1$。
因此该二次函数图象与x轴的交点坐标为$(-3,0)$、$(1,0)$。
（2）当$a=2,b=4$时，二次函数解析式为$y=2x^2+4x-c$。
二次函数图象与x轴有交点，则判别式$\Delta=4^2-4×2×(-c)=16+8c≥0$，解得$c≥-2$。
① 若二次函数与x轴仅有一个交点，此时$\Delta=16+8c=0$，解得$c=-2$。
代入得函数为$y=2x^2+4x+2=2(x+1)^2$，与x轴交点为$(-1,0)$，横坐标$-1$满足$-2＜-1＜1$，符合题意。
② 若二次函数与x轴有两个交点，其中只有一个交点的横坐标满足$-2＜x＜1$。
该抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=2×(-2)^2+4×(-2)-c=-c$；
当$x=1$时，$y=2×1^2+4×1-c=6-c$。
仅有一个交点在区间内时，两端点函数值异号，即$\begin{cases}-c＜0\\6-c＞0\end{cases}$，解得$0＜c＜6$。
验证端点特殊情况：
若图象过$(-2,0)$，代入得$c=0$，此时函数为$y=2x^2+4x$，与x轴交点为$(-2,0)$、$(0,0)$，仅$(0,0)$满足$-2＜x＜1$，符合题意，故$c=0$可取。
若图象过$(1,0)$，代入得$c=6$，此时函数为$y=2x^2+4x-6$，与x轴交点为$(-3,0)$、$(1,0)$，无交点满足$-2＜x＜1$，不符合题意，故$c=6$不可取。
综上，$c$的取值范围为$c=-2$或$0≤ c＜6$。
【答案】
（1）$(-3,0),(1,0)$
（2）$c=-2$或$0≤ c＜6$
【知识点】
二次函数与x轴交点；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数与x轴交点的相关问题，解题时需结合方程思想与分类讨论思想，注意不要遗漏顶点在x轴上、区间端点处函数值为0的特殊情况，培养严谨的逻辑思维。
【难度系数】
0.6
（1）求二次函数与x轴的交点坐标，只需令y=0，将二次函数转化为一元二次方程求解，方程的根即为交点的横坐标，结合纵坐标为0即可得到交点坐标。
（2）本问是限定区间内二次函数与x轴交点个数问题，解题时先代入a、b得到函数解析式，首先根据交点存在性由判别式Δ≥0确定c的初步范围，再分两类讨论：①函数与x轴仅有1个交点（Δ=0），判断交点横坐标是否在区间(-2,1)内；②函数与x轴有2个交点，仅有1个在区间内，结合抛物线对称轴，通过区间端点的函数值符号列不等式，再单独验证端点处函数值为0的特殊情况（因区间为开区间，需判断是否符合要求），最后综合所有情况得到c的取值范围。
【解析】
（1）当$a=2,b=4,c=6$时，二次函数解析式为$y=2x^2+4x-6$。
令$y=0$，可得方程$2x^2+4x-6=0$，化简得$x^2+2x-3=0$，因式分解解得$x_1=-3,x_2=1$。
因此该二次函数图象与x轴的交点坐标为$(-3,0)$、$(1,0)$。
（2）当$a=2,b=4$时，二次函数解析式为$y=2x^2+4x-c$。
二次函数图象与x轴有交点，则判别式$\Delta=4^2-4×2×(-c)=16+8c≥0$，解得$c≥-2$。
① 若二次函数与x轴仅有一个交点，此时$\Delta=16+8c=0$，解得$c=-2$。
代入得函数为$y=2x^2+4x+2=2(x+1)^2$，与x轴交点为$(-1,0)$，横坐标$-1$满足$-2＜-1＜1$，符合题意。
② 若二次函数与x轴有两个交点，其中只有一个交点的横坐标满足$-2＜x＜1$。
该抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=2×(-2)^2+4×(-2)-c=-c$；
当$x=1$时，$y=2×1^2+4×1-c=6-c$。
仅有一个交点在区间内时，两端点函数值异号，即$\begin{cases}-c＜0\\6-c＞0\end{cases}$，解得$0＜c＜6$。
验证端点特殊情况：
若图象过$(-2,0)$，代入得$c=0$，此时函数为$y=2x^2+4x$，与x轴交点为$(-2,0)$、$(0,0)$，仅$(0,0)$满足$-2＜x＜1$，符合题意，故$c=0$可取。
若图象过$(1,0)$，代入得$c=6$，此时函数为$y=2x^2+4x-6$，与x轴交点为$(-3,0)$、$(1,0)$，无交点满足$-2＜x＜1$，不符合题意，故$c=6$不可取。
综上，$c$的取值范围为$c=-2$或$0≤ c＜6$。
【答案】
（1）$(-3,0),(1,0)$
（2）$c=-2$或$0≤ c＜6$
【知识点】
二次函数与x轴交点；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数与x轴交点的相关问题，解题时需结合方程思想与分类讨论思想，注意不要遗漏顶点在x轴上、区间端点处函数值为0的特殊情况，培养严谨的逻辑思维。
【难度系数】
0.6
