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16. 某工厂生产一批零件，规定零件的长度允许有0.1 cm的误差。现检验员随机抽查了5个零件，超过规定长度的厘米数记为正，不足规定长度的厘米数记为负，检查结果如下表：
（1）上述哪些零件是合格产品（即在规定误差范围内）？
（2）在合格的产品中，几号零件长度的误差最小？为什么？
（1）上述哪些零件是合格产品（即在规定误差范围内）？
（2）在合格的产品中，几号零件长度的误差最小？为什么？
答案
(1) 因为合格零件的长度允许有 0.1 cm 的误差,所以第①件、第③件、第⑤件是合格产品。
(2) 在合格产品中,因为$|-0.04|＜|+0.05|＜|-0.09|$,绝对值越小,零件的误差越小,所以⑤号零件长度的误差最小。
(2) 在合格产品中,因为$|-0.04|＜|+0.05|＜|-0.09|$,绝对值越小,零件的误差越小,所以⑤号零件长度的误差最小。
解析
【分析】
解题时先明确正负数的含义：这里正数表示超过规定长度，负数表示不足规定长度，允许误差0.1cm意味着零件长度与规定长度的偏差的绝对值不超过0.1cm即为合格。
（1）判断合格产品：先求出每个零件记录数据的绝对值，再和0.1cm比较，绝对值≤0.1的就是合格产品；
（2）判断误差最小的合格产品：误差大小和偏差的绝对值正相关，绝对值越小说明和规定长度的偏差越小，误差就越小，只需比较合格产品对应数据的绝对值大小即可。
【解析】
（1）分别计算5个零件记录数据的绝对值：
$|-0.09|=0.09＜0.1$，符合误差要求；
$|+0.13|=0.13＞0.1$，不符合误差要求；
$|+0.05|=0.05＜0.1$，符合误差要求；
$|-0.12|=0.12＞0.1$，不符合误差要求；
$|-0.04|=0.04＜0.1$，符合误差要求。
因此编号1、3、5的零件是合格产品。
（2）将合格产品的数据的绝对值进行排序：
$|-0.04|=0.04$，$|+0.05|=0.05$，$|-0.09|=0.09$，可得$0.04＜0.05＜0.09$，即$|-0.04|＜|+0.05|＜|-0.09|$。
因为绝对值表示实际长度和规定长度的偏差大小，绝对值越小误差越小，所以5号零件长度的误差最小。
【答案】
(1) 第1件、第3件、第5件是合格产品。
(2) 5号零件长度的误差最小，因为$|-0.04|＜|+0.05|＜|-0.09|$，绝对值越小，零件的误差越小。
【知识点】
正负数的实际应用；绝对值的意义
【点评】
本题结合生产实际考查正负数和绝对值的应用，解题的核心是理解偏差的绝对值越小，零件越接近标准要求，这类题型贴合生活场景，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先明确正负数的含义：这里正数表示超过规定长度，负数表示不足规定长度，允许误差0.1cm意味着零件长度与规定长度的偏差的绝对值不超过0.1cm即为合格。
（1）判断合格产品：先求出每个零件记录数据的绝对值，再和0.1cm比较，绝对值≤0.1的就是合格产品；
（2）判断误差最小的合格产品：误差大小和偏差的绝对值正相关，绝对值越小说明和规定长度的偏差越小，误差就越小，只需比较合格产品对应数据的绝对值大小即可。
【解析】
（1）分别计算5个零件记录数据的绝对值：
$|-0.09|=0.09＜0.1$，符合误差要求；
$|+0.13|=0.13＞0.1$，不符合误差要求；
$|+0.05|=0.05＜0.1$，符合误差要求；
$|-0.12|=0.12＞0.1$，不符合误差要求；
$|-0.04|=0.04＜0.1$，符合误差要求。
因此编号1、3、5的零件是合格产品。
（2）将合格产品的数据的绝对值进行排序：
$|-0.04|=0.04$，$|+0.05|=0.05$，$|-0.09|=0.09$，可得$0.04＜0.05＜0.09$，即$|-0.04|＜|+0.05|＜|-0.09|$。
因为绝对值表示实际长度和规定长度的偏差大小，绝对值越小误差越小，所以5号零件长度的误差最小。
【答案】
(1) 第1件、第3件、第5件是合格产品。
(2) 5号零件长度的误差最小，因为$|-0.04|＜|+0.05|＜|-0.09|$，绝对值越小，零件的误差越小。
【知识点】
正负数的实际应用；绝对值的意义
【点评】
本题结合生产实际考查正负数和绝对值的应用，解题的核心是理解偏差的绝对值越小，零件越接近标准要求，这类题型贴合生活场景，能很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
17. 数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是−1 和 5，点 P 到 A，B 两点的距离之和为 8，则点 P 表示的数是多少？
答案
$6$或$-2$。提示:因为 A,B 两点相距 6,$PA+PB=8＞6$,因此点 P 可能在 A,B的两侧,分两种情况讨论。
解析
【分析】
首先先计算数轴上A、B两点的距离：AB=5-(-1)=6，已知PA+PB=8＞6，说明点P不可能在A、B两点之间（若P在A、B之间，PA+PB的和恰好等于AB的长度6，不符合题意），因此需分两种情况讨论：①点P在点A的左侧；②点P在点B的右侧。设点P表示的数为x，根据两点距离的含义分别表示出PA、PB的长度，列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先计算A、B两点的距离：$AB=5-(-1)=6$，
$\because PA+PB=8＞6$，$\therefore$点P不在A、B两点之间，分两种情况讨论：
1. 当点P在点A的左侧时，设点P表示的数为$x$（$x＜-1$），
则$PA=-1-x$，$PB=5-x$，
由$PA+PB=8$列方程：
$(-1-x)+(5-x)=8$
化简得：$4-2x=8$
移项计算得：$-2x=4$，解得$x=-2$；
2. 当点P在点B的右侧时，设点P表示的数为$x$（$x＞5$），
则$PA=x-(-1)=x+1$，$PB=x-5$，
由$PA+PB=8$列方程：
$(x+1)+(x-5)=8$
化简得：$2x-4=8$
移项计算得：$2x=12$，解得$x=6$。
综上，点P表示的数为$-2$或$6$。
【答案】
$6$或$-2$
【知识点】
数轴两点距离计算；分类讨论思想；一元一次方程的应用
【点评】
本题考查数轴上两点距离的相关计算，解题的关键是先根据PA+PB的和与AB长度的大小关系判断点P的位置范围，再分类讨论求解，易错点是容易遗漏其中一种位置情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
首先先计算数轴上A、B两点的距离：AB=5-(-1)=6，已知PA+PB=8＞6，说明点P不可能在A、B两点之间（若P在A、B之间，PA+PB的和恰好等于AB的长度6，不符合题意），因此需分两种情况讨论：①点P在点A的左侧；②点P在点B的右侧。设点P表示的数为x，根据两点距离的含义分别表示出PA、PB的长度，列一元一次方程求解即可。
【解析】
首先计算A、B两点的距离：$AB=5-(-1)=6$，
$\because PA+PB=8＞6$，$\therefore$点P不在A、B两点之间，分两种情况讨论：
1. 当点P在点A的左侧时，设点P表示的数为$x$（$x＜-1$），
则$PA=-1-x$，$PB=5-x$，
由$PA+PB=8$列方程：
$(-1-x)+(5-x)=8$
化简得：$4-2x=8$
移项计算得：$-2x=4$，解得$x=-2$；
2. 当点P在点B的右侧时，设点P表示的数为$x$（$x＞5$），
则$PA=x-(-1)=x+1$，$PB=x-5$，
由$PA+PB=8$列方程：
$(x+1)+(x-5)=8$
化简得：$2x-4=8$
移项计算得：$2x=12$，解得$x=6$。
综上，点P表示的数为$-2$或$6$。
【答案】
$6$或$-2$
【知识点】
数轴两点距离计算；分类讨论思想；一元一次方程的应用
【点评】
本题考查数轴上两点距离的相关计算，解题的关键是先根据PA+PB的和与AB长度的大小关系判断点P的位置范围，再分类讨论求解，易错点是容易遗漏其中一种位置情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
