登录
例1 如图，$\odot O$中弦AD与BC相交于点E，连结AB，CD，若$\frac{AB}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，则$△ ABE$与$△ CDE$的面积比为
$\frac{2}{3}$
。答案
$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
要求△ABE和△CDE的面积比，已知两条对应边的比值，首先考虑证明两个三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解。首先结合圆的性质找相等的角：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠A=∠C，∠B=∠D，再结合对顶角相等，即可证明两个三角形相似，最后代入边长比计算面积比即可。
【解析】
解：
∵在⊙O中，∠A和∠C都是弧BD所对的圆周角，
∴∠A=∠C，
同理，∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠D，
又
∵∠AEB=∠CED（对顶角相等），
∴△ABE∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
已知$\frac{AB}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ CDE}}=(\frac{AB}{CD})^2=(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^2=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于圆与相似结合的基础题型，解题的核心是熟练运用圆周角定理找到相等的角证明三角形相似，再结合相似三角形的性质计算面积比，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要求△ABE和△CDE的面积比，已知两条对应边的比值，首先考虑证明两个三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解。首先结合圆的性质找相等的角：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠A=∠C，∠B=∠D，再结合对顶角相等，即可证明两个三角形相似，最后代入边长比计算面积比即可。
【解析】
解：
∵在⊙O中，∠A和∠C都是弧BD所对的圆周角，
∴∠A=∠C，
同理，∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠D，
又
∵∠AEB=∠CED（对顶角相等），
∴△ABE∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
已知$\frac{AB}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ CDE}}=(\frac{AB}{CD})^2=(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^2=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于圆与相似结合的基础题型，解题的核心是熟练运用圆周角定理找到相等的角证明三角形相似，再结合相似三角形的性质计算面积比，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
变式1 如图,在$\odot O$中,两条弦AB,CD相交于点E,连结AD,BC,则下列说法中错误的是 (
A.$∠ A=∠ C$
B.$∠ B=∠ D$
C.$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BE}$
D.$\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{BE}$
变式1题图
变式2题图
C
)A.$∠ A=∠ C$
B.$∠ B=∠ D$
C.$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{BE}$
D.$\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{BE}$
变式1题图
变式2题图
答案
C
解析
【分析】
解决本题可按以下思路思考：第一步，先判断角相等的选项，根据圆周角定理中“同弧所对的圆周角相等”，可快速验证A、B选项是否正确；第二步，判断线段比例的选项，由已得的等角结合对顶角相等，可证得两条相交弦形成的△ADE与△CBE相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，对比C、D选项的比例式是否符合对应边关系，即可找出错误选项。
【解析】
解：①判断角相关选项：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等。
弧BD所对的圆周角为∠A和∠C，故∠A=∠C，A选项正确，不符合题意；
弧AC所对的圆周角为∠B和∠D，故∠B=∠D，B选项正确，不符合题意。
②判断比例相关选项：
在△ADE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠C\\∠D=∠B\end{array} $
∴△ADE∽△CBE（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{BE}=\frac{AD}{BC}$
因此D选项比例式成立，不符合题意；C选项的比例式不符合相似三角形对应边的比例关系，错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是圆中相似的基础题型，解题核心是结合圆周角定理快速找到相等的角，判定相似三角形，需特别注意相似三角形对应边的对应关系，避免对应边匹配错误。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路思考：第一步，先判断角相等的选项，根据圆周角定理中“同弧所对的圆周角相等”，可快速验证A、B选项是否正确；第二步，判断线段比例的选项，由已得的等角结合对顶角相等，可证得两条相交弦形成的△ADE与△CBE相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质，对比C、D选项的比例式是否符合对应边关系，即可找出错误选项。
【解析】
解：①判断角相关选项：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等。
弧BD所对的圆周角为∠A和∠C，故∠A=∠C，A选项正确，不符合题意；
弧AC所对的圆周角为∠B和∠D，故∠B=∠D，B选项正确，不符合题意。
②判断比例相关选项：
在△ADE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠C\\∠D=∠B\end{array} $
∴△ADE∽△CBE（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{BE}=\frac{AD}{BC}$
因此D选项比例式成立，不符合题意；C选项的比例式不符合相似三角形对应边的比例关系，错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是圆中相似的基础题型，解题核心是结合圆周角定理快速找到相等的角，判定相似三角形，需特别注意相似三角形对应边的对应关系，避免对应边匹配错误。
【难度系数】
0.7
变式2 如图，C，D是圆上的两点，∠ACB=90°，D刚好为$\overset{\frown}{BC}$的中点，AD，BC相交于点E。若CE=3，BE=5，则AB的长为（
A.12
B.10
C.8
D.6
B
）A.12
B.10
C.8
D.6
答案
B
解析
【分析】
首先，由∠ACB=90°结合圆周角定理的推论，可判断AB是圆的直径，进而得直径所对的圆周角∠ADB=90°；再根据D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，可得等弧对应的圆周角相等，即AD平分∠CAB。接着利用角平分线的性质，过E作AB的垂线构造全等三角形，将AC与AB的未知部分关联，最后在Rt△ACB中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
1. 判定AB为直径
∵∠ACB=90°，且为圆周角，
∴AB是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
2. 证明AD为角平分线
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠CAD=∠BAD（等弧所对的圆周角相等），即AD平分∠CAB。
3. 构造辅助线求线段关系
过E作EF⊥AB于点F，
∵AD平分∠CAB，EC⊥AC，EF⊥AB，
∴CE=EF=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△BEF中，BE=5，EF=3，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
在Rt△ACE和Rt△AFE中：
$\begin{cases} AE=AE \\ CE=EF \end{cases}$
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），故AC=AF。
设AC=AF=x，则AB=AF+BF=x+4，又BC=CE+BE=3+5=8。
4. 勾股定理列方程求解
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入得$x^2+8^2=(x+4)^2$，
展开化简：$x^2+64=x^2+8x+16$，解得x=6，
∴AB=6+4=10。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题核心是通过角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将分散的线段关系集中到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，是圆与三角形结合的常见考法。
【难度系数】
0.6
首先，由∠ACB=90°结合圆周角定理的推论，可判断AB是圆的直径，进而得直径所对的圆周角∠ADB=90°；再根据D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，可得等弧对应的圆周角相等，即AD平分∠CAB。接着利用角平分线的性质，过E作AB的垂线构造全等三角形，将AC与AB的未知部分关联，最后在Rt△ACB中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
1. 判定AB为直径
∵∠ACB=90°，且为圆周角，
∴AB是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
2. 证明AD为角平分线
∵D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠CAD=∠BAD（等弧所对的圆周角相等），即AD平分∠CAB。
3. 构造辅助线求线段关系
过E作EF⊥AB于点F，
∵AD平分∠CAB，EC⊥AC，EF⊥AB，
∴CE=EF=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△BEF中，BE=5，EF=3，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
在Rt△ACE和Rt△AFE中：
$\begin{cases} AE=AE \\ CE=EF \end{cases}$
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），故AC=AF。
设AC=AF=x，则AB=AF+BF=x+4，又BC=CE+BE=3+5=8。
4. 勾股定理列方程求解
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入得$x^2+8^2=(x+4)^2$，
展开化简：$x^2+64=x^2+8x+16$，解得x=6，
∴AB=6+4=10。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题核心是通过角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将分散的线段关系集中到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，是圆与三角形结合的常见考法。
【难度系数】
0.6
变式3 如图,在$\odot O$中,直径AB与弦CD相交于点E,连结AC,BD。
(1)求证:$△ AEC ∽ △ DEB$。
(2)连结AD,若$AD=3,∠ C=30°$,求$\odot O$的半径。
(1)求证:$△ AEC ∽ △ DEB$。
(2)连结AD,若$AD=3,∠ C=30°$,求$\odot O$的半径。
答案
解:(1)证明: 因为$∠C = ∠B, ∠AEC=∠DEB$。所以$△ AEC ∽ △ DEB$。
(2)因为$∠C=∠B,∠C=30°$,所以$∠B=30°$。
因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ADB=90°$,
所以$∠DAB=60°$。
连结OD(图略),则$OD=OA$,
所以$△ OAD$为等边三角形,所以$OA=AD=3$。
所以$\odot O$的半径为3。
(2)因为$∠C=∠B,∠C=30°$,所以$∠B=30°$。
因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ADB=90°$,
所以$∠DAB=60°$。
连结OD(图略),则$OD=OA$,
所以$△ OAD$为等边三角形,所以$OA=AD=3$。
所以$\odot O$的半径为3。
解析
【分析】
(1) 要证明$△ AEC ∽ △ DEB$，可通过找两组对应角相等完成：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得到$∠ C=∠ B$，再结合两个三角形的对顶角$∠ AEC=∠ DEB$，利用两角对应相等的判定定理即可证得相似。
(2) 求$\odot O$的半径，首先利用圆周角定理将$∠ C$转化为$∠ B$，再结合直径所对的圆周角是直角，得到$△ ADB$是直角三角形，算出$∠ DAB$的度数，连接$OD$后可判定$△ OAD$为等边三角形，进而得到半径与$AD$的等量关系，求出半径长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ C = ∠ B$，
又$\because ∠ AEC$与$∠ DEB$是对顶角，$\therefore ∠ AEC=∠ DEB$，
根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ AEC ∽ △ DEB$。
(2) 解：
由圆周角定理得$∠ C=∠ B$，已知$∠ C=30°$，$\therefore ∠ B=30°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，$\therefore ∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ADB$中，$∠ DAB=90°-∠ B=60°$，
连接$OD$，$\because OD=OA$（均为$\odot O$的半径），且$∠ DAB=60°$，
$\therefore △ OAD$为等边三角形，$\therefore OA=AD=3$，
即$\odot O$的半径为3。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\odot O$的半径为$\boxed{3}$
【知识点】
相似三角形判定，圆周角定理，等边三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查圆的基本性质、相似三角形的判定以及特殊三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理，灵活进行角的等量转换。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$△ AEC ∽ △ DEB$，可通过找两组对应角相等完成：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得到$∠ C=∠ B$，再结合两个三角形的对顶角$∠ AEC=∠ DEB$，利用两角对应相等的判定定理即可证得相似。
(2) 求$\odot O$的半径，首先利用圆周角定理将$∠ C$转化为$∠ B$，再结合直径所对的圆周角是直角，得到$△ ADB$是直角三角形，算出$∠ DAB$的度数，连接$OD$后可判定$△ OAD$为等边三角形，进而得到半径与$AD$的等量关系，求出半径长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ C = ∠ B$，
又$\because ∠ AEC$与$∠ DEB$是对顶角，$\therefore ∠ AEC=∠ DEB$，
根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ AEC ∽ △ DEB$。
(2) 解：
由圆周角定理得$∠ C=∠ B$，已知$∠ C=30°$，$\therefore ∠ B=30°$，
$\because AB$是$\odot O$的直径，直径所对的圆周角为直角，$\therefore ∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ADB$中，$∠ DAB=90°-∠ B=60°$，
连接$OD$，$\because OD=OA$（均为$\odot O$的半径），且$∠ DAB=60°$，
$\therefore △ OAD$为等边三角形，$\therefore OA=AD=3$，
即$\odot O$的半径为3。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\odot O$的半径为$\boxed{3}$
【知识点】
相似三角形判定，圆周角定理，等边三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查圆的基本性质、相似三角形的判定以及特殊三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角相关定理，灵活进行角的等量转换。
【难度系数】
0.7
例2 如图，$\odot O$的弦$AB$，$CD$的延长线交于点$P$，连结$AC$，$BD$。
(1)求证：$△ PAC ∽ △ PDB$。
(2)若$PB＝3$，$PD＝4$，$AB＝7$，求$CD$的长。
(1)求证：$△ PAC ∽ △ PDB$。
(2)若$PB＝3$，$PD＝4$，$AB＝7$，求$CD$的长。
答案
解:(1)证明:因为四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形,
所以$∠A+∠BDC=180°$。
因为$∠BDC+∠PDB=180°$,所以$∠A=∠PDB$。
又$∠P=∠P$,所以$△ PAC ∽ △ PDB$。
(2)由(1)知$△ PAC ∽ △ PDB$,所以$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$,所以$\frac{10}{4}=\frac{PC}{3}$,
所以$PC=\frac{15}{2}$,所以$CD=PC-PD=\frac{7}{2}$。
所以$∠A+∠BDC=180°$。
因为$∠BDC+∠PDB=180°$,所以$∠A=∠PDB$。
又$∠P=∠P$,所以$△ PAC ∽ △ PDB$。
(2)由(1)知$△ PAC ∽ △ PDB$,所以$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$,所以$\frac{10}{4}=\frac{PC}{3}$,
所以$PC=\frac{15}{2}$,所以$CD=PC-PD=\frac{7}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑两角对应相等的判定定理。首先利用圆内接四边形的性质推导角相等：圆内接四边形的对角互补，结合平角的定义可得到∠A=∠PDB，再加上两个三角形共有的公共角∠P，即可满足相似的判定条件。
(2) 求CD的长度，可先通过相似三角形的性质得到对应边的比例关系。先计算出PA的长度，代入比例式求出PC的长度，再用PC减去已知的PD长度，即可得到CD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ A + ∠ BDC = 180°$，
又
∵ $∠ BDC + ∠ PDB = 180°$（平角的定义），
∴ $∠ A = ∠ PDB$，
在$△ PAC$和$△ PDB$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ PDB \\∠ P = ∠ P\end{cases}$
∴ $△ PAC ∽ △ PDB$（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：已知$PB=3$，$AB=7$，则$PA = AB + PB = 7+3=10$，
由(1)得$△ PAC ∽ △ PDB$，故对应边成比例：$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$，
将$PA=10$，$PD=4$，$PB=3$代入得：$\frac{10}{4}=\frac{PC}{3}$，
解得$PC=\frac{10×3}{4}=\frac{15}{2}$，
∴ $CD = PC - PD = \frac{15}{2} - 4 = \frac{7}{2}$。
【答案】
(1) $△ PAC ∽ △ PDB$，证明成立；
(2) $CD=\frac{7}{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的典型基础题，解题关键是熟练运用圆内接四边形的性质找到等角证明相似，再借助相似三角形的比例关系求解线段长度，侧重对基础定理的理解和应用考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明两个三角形相似，优先考虑两角对应相等的判定定理。首先利用圆内接四边形的性质推导角相等：圆内接四边形的对角互补，结合平角的定义可得到∠A=∠PDB，再加上两个三角形共有的公共角∠P，即可满足相似的判定条件。
(2) 求CD的长度，可先通过相似三角形的性质得到对应边的比例关系。先计算出PA的长度，代入比例式求出PC的长度，再用PC减去已知的PD长度，即可得到CD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ A + ∠ BDC = 180°$，
又
∵ $∠ BDC + ∠ PDB = 180°$（平角的定义），
∴ $∠ A = ∠ PDB$，
在$△ PAC$和$△ PDB$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ PDB \\∠ P = ∠ P\end{cases}$
∴ $△ PAC ∽ △ PDB$（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：已知$PB=3$，$AB=7$，则$PA = AB + PB = 7+3=10$，
由(1)得$△ PAC ∽ △ PDB$，故对应边成比例：$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$，
将$PA=10$，$PD=4$，$PB=3$代入得：$\frac{10}{4}=\frac{PC}{3}$，
解得$PC=\frac{10×3}{4}=\frac{15}{2}$，
∴ $CD = PC - PD = \frac{15}{2} - 4 = \frac{7}{2}$。
【答案】
(1) $△ PAC ∽ △ PDB$，证明成立；
(2) $CD=\frac{7}{2}$
【知识点】
圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的典型基础题，解题关键是熟练运用圆内接四边形的性质找到等角证明相似，再借助相似三角形的比例关系求解线段长度，侧重对基础定理的理解和应用考查。
【难度系数】
0.7
