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变式1 如图,在以 BC 为直径的半圆中,A 为弧 BC 上一点,$AC=\sqrt{3},AB=4$,D 为 BC 上一点,$∠ CAD=30°$,则 AD 的长为 (
A.$\dfrac{9}{5}$
B.$\dfrac{8}{5}$
C.$\dfrac{7}{5}$
D.$\dfrac{6}{5}$
变式1题图 变式2题图
B
)A.$\dfrac{9}{5}$
B.$\dfrac{8}{5}$
C.$\dfrac{7}{5}$
D.$\dfrac{6}{5}$
变式1题图 变式2题图
答案
B
【解析】如图,过点D作$DH⊥AC$于点H,取AD的中点E,连结HE,则$HE=\frac{1}{2}AD=AE=DE$。
因为$∠HAD=30°$,所以$∠AHE=30°$,
所以$∠EHD=60°$,所以$△ DEH$为等边三角形。
设$DH=x$,则$AD=2x$,$AH=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$,
所以$CH=\sqrt{3}-\sqrt{3}x$。
因为BC为直径,所以$∠BAC=90°$,
所以$∠BAC=∠DHC$。
又$∠ACB=∠HCD$,所以$△ CDH ∽ △ CBA$,
所以$\frac{DH}{AB}=\frac{CH}{CA}$,即$\frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}$,解得$x=\frac{4}{5}$,
所以$AD=2x=\frac{8}{5}$。
解析
【分析】
解题时首先根据BC是半圆直径，联想到直径所对的圆周角为直角，得到∠BAC=90°；已知∠CAD=30°，要计算AD的长度，可通过作DH⊥AC构造含30°角的直角三角形，建立AD与DH、AH的数量关系；再结合公共角∠C可证△CDH与△CBA相似，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解，即可算出AD的长。
【解析】
如图，过点D作$DH⊥AC$于点H，取AD的中点E，连结HE，则$HE=\frac{1}{2}AD=AE=DE$。
因为$∠HAD=30°$，所以$∠AHE=30°$，
所以$∠EHD=60°$，因此$△ DEH$为等边三角形。
设$DH=x$，则$AD=2x$，由勾股定理得$AH=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$，
所以$CH=AC-AH=\sqrt{3}-\sqrt{3}x$。
因为BC为直径，所以$∠BAC=90°$，即$∠BAC=∠DHC=90°$。
又$∠ACB=∠HCD$，所以$△ CDH ∽ △ CBA$，
根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{DH}{AB}=\frac{CH}{CA}$，代入数据得$\frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}$，
化简右侧得$\frac{x}{4}=1-x$，解得$x=\frac{4}{5}$，
所以$AD=2x=2×\frac{4}{5}=\frac{8}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；含30°角的直角三角形性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与几何计算结合的常规题型，解题关键是合理构造辅助线，将特殊角、相似三角形的性质结合起来，通过设未知数列方程求解，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据BC是半圆直径，联想到直径所对的圆周角为直角，得到∠BAC=90°；已知∠CAD=30°，要计算AD的长度，可通过作DH⊥AC构造含30°角的直角三角形，建立AD与DH、AH的数量关系；再结合公共角∠C可证△CDH与△CBA相似，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解，即可算出AD的长。
【解析】
如图，过点D作$DH⊥AC$于点H，取AD的中点E，连结HE，则$HE=\frac{1}{2}AD=AE=DE$。
因为$∠HAD=30°$，所以$∠AHE=30°$，
所以$∠EHD=60°$，因此$△ DEH$为等边三角形。
设$DH=x$，则$AD=2x$，由勾股定理得$AH=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$，
所以$CH=AC-AH=\sqrt{3}-\sqrt{3}x$。
因为BC为直径，所以$∠BAC=90°$，即$∠BAC=∠DHC=90°$。
又$∠ACB=∠HCD$，所以$△ CDH ∽ △ CBA$，
根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{DH}{AB}=\frac{CH}{CA}$，代入数据得$\frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}$，
化简右侧得$\frac{x}{4}=1-x$，解得$x=\frac{4}{5}$，
所以$AD=2x=2×\frac{4}{5}=\frac{8}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；含30°角的直角三角形性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与几何计算结合的常规题型，解题关键是合理构造辅助线，将特殊角、相似三角形的性质结合起来，通过设未知数列方程求解，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
变式2 如图,OA是$\odot O$的半径,弦$BC⊥OA$,E是$\odot O$上一点,AE交BC于点D,$AD=1,ED=2$,则AB的长是
$\sqrt{3}$
。答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件“弦$BC⊥OA$”入手，首先联想到垂径定理，可得到等弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再根据圆周角定理，由等弧推出对应圆周角相等，得到一组等角；结合公共角即可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形的边的比例关系代入数值计算即可求出AB的长度。
【解析】
1. 已知$BC⊥OA$，OA是$\odot O$的半径，根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；
2. 根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，因此$∠ ABD=∠ AEB$；
3. 在$△ ABD$和$△ AEB$中：$\begin{cases}∠ BAD=∠ EAB（公共角）\\∠ ABD=∠ AEB\end{cases}$，因此$△ ABD ∽ △ AEB$（AA相似判定）；
4. 由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，即$AB^2=AD· AE$；
5. 已知$AD=1$，$ED=2$，因此$AE=AD+ED=1+2=3$，代入得$AB^2=1×3=3$，又AB为线段长度，故$AB=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆中常见的线段计算类题型，核心是将圆的基本性质和相似三角形结合求解，解题关键是通过垂径定理得到等角，进而构造相似三角形建立边长关系，熟练掌握相关性质的灵活运用即可快速求解。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件“弦$BC⊥OA$”入手，首先联想到垂径定理，可得到等弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；再根据圆周角定理，由等弧推出对应圆周角相等，得到一组等角；结合公共角即可证明两个三角形相似，最后利用相似三角形的边的比例关系代入数值计算即可求出AB的长度。
【解析】
1. 已知$BC⊥OA$，OA是$\odot O$的半径，根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$；
2. 根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，因此$∠ ABD=∠ AEB$；
3. 在$△ ABD$和$△ AEB$中：$\begin{cases}∠ BAD=∠ EAB（公共角）\\∠ ABD=∠ AEB\end{cases}$，因此$△ ABD ∽ △ AEB$（AA相似判定）；
4. 由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，即$AB^2=AD· AE$；
5. 已知$AD=1$，$ED=2$，因此$AE=AD+ED=1+2=3$，代入得$AB^2=1×3=3$，又AB为线段长度，故$AB=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆中常见的线段计算类题型，核心是将圆的基本性质和相似三角形结合求解，解题关键是通过垂径定理得到等角，进而构造相似三角形建立边长关系，熟练掌握相关性质的灵活运用即可快速求解。
【难度系数】
0.6
变式3 如图,等边三角形ABC内接于$\odot O$,D为劣弧AC上一点,连结CD并延长,交BA的延长线于点E,连结BD。若$\frac{BD}{CD}=\frac{7}{5}$,等边三角形ABC的边长为7,则AE的长为 (
A.$\frac{13}{5}$
B.3
C.$\frac{14}{5}$
D.$\frac{11}{4}$
C
)A.$\frac{13}{5}$
B.3
C.$\frac{14}{5}$
D.$\frac{11}{4}$
答案
C
解析
【分析】
解题首先结合等边三角形性质和圆周角定理，通过截长补短构造全等三角形，推导出BD、CD、AD的数量关系，得到AD与CD的比值；再利用圆内接四边形的性质和公共角，证明两组相似三角形，最后结合相似三角形对应边成比例的性质，消去参数即可求出AE的长度。
【解析】
1. 已知等边$△ ABC$内接于$\odot O$，因此$AB=BC=AC=7$，$∠ BAC=∠ ACB=60°$。
2. 在$BD$上截取$BF=CD$，由同弧$AD$所对圆周角相等得$∠ ABF=∠ ACD$，结合$AB=AC$、$BF=CD$，可证$△ ABF≌△ ACD(\mathrm{SAS})$，因此$AF=AD$，$∠ BAF=∠ CAD$，进一步得$∠ FAD=∠ BAC=60°$，即$△ AFD$为等边三角形，$FD=AD$，故$BD=BF+FD=CD+AD$。
3. 由$\frac{BD}{CD}=\frac{7}{5}$，设$BD=7k$，$CD=5k$，则$AD=BD-CD=2k$。
4. 圆内接四边形$ABCD$的外角等于内对角，得$∠ EAD=∠ BCD$，结合公共角$∠ E$，可证$△ EAD∽△ ECB$，因此$\frac{ED}{EB}=\frac{AD}{BC}$，代入$EB=AE+7$、$AD=2k$、$BC=7$，得$\frac{ED}{AE+7}=\frac{2k}{7}$①。
5. 同弧$AB$所对圆周角相等得$∠ BDC=∠ BAC=60°$，因此$∠ EDB=180°-∠ BDC=120°$，又$∠ EAC=180°-∠ BAC=120°$，即$∠ EAC=∠ EDB$，结合公共角$∠ E$，可证$△ EAC∽△ EDB$，因此$\frac{AE}{ED}=\frac{AC}{BD}=\frac{7}{7k}=\frac{1}{k}$，变形得$k=\frac{ED}{AE}$②。
6. 将②代入①，约去不为0的$ED$，得$\frac{1}{AE+7}=\frac{2}{7AE}$，交叉相乘解得$7AE=2(AE+7)$，即$AE=\frac{14}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合考查圆的性质与相似三角形的应用，解题的核心是通过构造全等三角形得到线段和的关系，再结合相似三角形的比例性质消参求解，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题首先结合等边三角形性质和圆周角定理，通过截长补短构造全等三角形，推导出BD、CD、AD的数量关系，得到AD与CD的比值；再利用圆内接四边形的性质和公共角，证明两组相似三角形，最后结合相似三角形对应边成比例的性质，消去参数即可求出AE的长度。
【解析】
1. 已知等边$△ ABC$内接于$\odot O$，因此$AB=BC=AC=7$，$∠ BAC=∠ ACB=60°$。
2. 在$BD$上截取$BF=CD$，由同弧$AD$所对圆周角相等得$∠ ABF=∠ ACD$，结合$AB=AC$、$BF=CD$，可证$△ ABF≌△ ACD(\mathrm{SAS})$，因此$AF=AD$，$∠ BAF=∠ CAD$，进一步得$∠ FAD=∠ BAC=60°$，即$△ AFD$为等边三角形，$FD=AD$，故$BD=BF+FD=CD+AD$。
3. 由$\frac{BD}{CD}=\frac{7}{5}$，设$BD=7k$，$CD=5k$，则$AD=BD-CD=2k$。
4. 圆内接四边形$ABCD$的外角等于内对角，得$∠ EAD=∠ BCD$，结合公共角$∠ E$，可证$△ EAD∽△ ECB$，因此$\frac{ED}{EB}=\frac{AD}{BC}$，代入$EB=AE+7$、$AD=2k$、$BC=7$，得$\frac{ED}{AE+7}=\frac{2k}{7}$①。
5. 同弧$AB$所对圆周角相等得$∠ BDC=∠ BAC=60°$，因此$∠ EDB=180°-∠ BDC=120°$，又$∠ EAC=180°-∠ BAC=120°$，即$∠ EAC=∠ EDB$，结合公共角$∠ E$，可证$△ EAC∽△ EDB$，因此$\frac{AE}{ED}=\frac{AC}{BD}=\frac{7}{7k}=\frac{1}{k}$，变形得$k=\frac{ED}{AE}$②。
6. 将②代入①，约去不为0的$ED$，得$\frac{1}{AE+7}=\frac{2}{7AE}$，交叉相乘解得$7AE=2(AE+7)$，即$AE=\frac{14}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合考查圆的性质与相似三角形的应用，解题的核心是通过构造全等三角形得到线段和的关系，再结合相似三角形的比例性质消参求解，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
1. 如图，$\odot O$的两条弦$AB$，$CD$相交于点$P$，测得$PC=2$，$PA=3$，要计算线段$AD$的长，还需测量（
A.线段$BC$
B.线段$PB$
C.线段$PD$
D.线段$BD$
A
）A.线段$BC$
B.线段$PB$
C.线段$PD$
D.线段$BD$
答案
A
解析
【分析】
要计算AD的长，首先结合圆的性质寻找与AD相关的相似三角形：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得到两组相等的角，证明△APD与△CPB相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的PA、PC长度，即可判断需要测量的线段。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角$∠ ADP = ∠ CBP$；
2. 对顶角相等，$∠ APD = ∠ CPB$；
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ APD ∽ △ CPB$。
由相似三角形对应边成比例，得：$\frac{AD}{CB} = \frac{PA}{PC}$。
已知$PC=2$，$PA=3$，代入得$\frac{AD}{BC} = \frac{3}{2}$，即$AD = \frac{3}{2}BC$。
因此只需测量线段$BC$的长度，即可求出$AD$的长。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的基础题型，解题的核心是利用圆周角定理找到相等的角，证明三角形相似，再通过相似的性质推导未知边与已知边的关系，即可快速判断所需条件。
【难度系数】
0.8
要计算AD的长，首先结合圆的性质寻找与AD相关的相似三角形：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得到两组相等的角，证明△APD与△CPB相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的PA、PC长度，即可判断需要测量的线段。
【解析】
在$\odot O$中：
1. 同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角$∠ ADP = ∠ CBP$；
2. 对顶角相等，$∠ APD = ∠ CPB$；
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ APD ∽ △ CPB$。
由相似三角形对应边成比例，得：$\frac{AD}{CB} = \frac{PA}{PC}$。
已知$PC=2$，$PA=3$，代入得$\frac{AD}{BC} = \frac{3}{2}$，即$AD = \frac{3}{2}BC$。
因此只需测量线段$BC$的长度，即可求出$AD$的长。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的基础题型，解题的核心是利用圆周角定理找到相等的角，证明三角形相似，再通过相似的性质推导未知边与已知边的关系，即可快速判断所需条件。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$\odot O$的两条弦$AB$，$CD$相交于点$E$，$AC$与$DB$的延长线交于点$P$，下列结论中成立的是（
A.$CE · CD = BE · BA$
B.$CE · AE = BE · DE$
C.$PC · CA = PB · BD$
D.$PC · PA = PB · PD$
D
）A.$CE · CD = BE · BA$
B.$CE · AE = BE · DE$
C.$PC · CA = PB · BD$
D.$PC · PA = PB · PD$
答案
D
解析
【分析】
这道题属于圆中的相似问题，解题时可结合圆的性质、相似三角形判定逐一验证选项：首先回忆圆中常见的相似模型，对于共顶点P的两条割线，可先证明含公共角∠P的两个三角形相似，再通过相似三角形对应边成比例推导边的乘积关系，同时结合相交弦定理排除错误选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 验证选项B：根据相交弦定理，圆内两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等，即$CE· DE=BE· AE$，和选项B表达式不符，故B错误。
2. 证明△PCD∽△PBA：
∵ 四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴ ∠PCD=∠PBA（圆内接四边形的外角等于内对角），
又
∵ ∠P是△PCD和△PBA的公共角，
∴ △PCD∽△PBA（两角分别相等的两个三角形相似），
由相似三角形对应边成比例可得$\frac{PC}{PB}=\frac{PD}{PA}$，交叉相乘得$PC· PA=PB· PD$，因此D选项成立，C选项表达式不符合推导结果，故C错误。
3. 选项A无对应的定理或相似关系支撑，不成立，故A错误。
【答案】
D
【知识点】
圆周角性质；相似三角形判定与性质；割线定理
【点评】
本题是圆与相似结合的基础题型，解题核心是通过圆的性质找到等角，进而证明三角形相似得到线段比例关系，掌握圆的基本性质和相似判定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这道题属于圆中的相似问题，解题时可结合圆的性质、相似三角形判定逐一验证选项：首先回忆圆中常见的相似模型，对于共顶点P的两条割线，可先证明含公共角∠P的两个三角形相似，再通过相似三角形对应边成比例推导边的乘积关系，同时结合相交弦定理排除错误选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 验证选项B：根据相交弦定理，圆内两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等，即$CE· DE=BE· AE$，和选项B表达式不符，故B错误。
2. 证明△PCD∽△PBA：
∵ 四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴ ∠PCD=∠PBA（圆内接四边形的外角等于内对角），
又
∵ ∠P是△PCD和△PBA的公共角，
∴ △PCD∽△PBA（两角分别相等的两个三角形相似），
由相似三角形对应边成比例可得$\frac{PC}{PB}=\frac{PD}{PA}$，交叉相乘得$PC· PA=PB· PD$，因此D选项成立，C选项表达式不符合推导结果，故C错误。
3. 选项A无对应的定理或相似关系支撑，不成立，故A错误。
【答案】
D
【知识点】
圆周角性质；相似三角形判定与性质；割线定理
【点评】
本题是圆与相似结合的基础题型，解题核心是通过圆的性质找到等角，进而证明三角形相似得到线段比例关系，掌握圆的基本性质和相似判定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$∠ BAC$的平分线分别交$\odot O$，$BC$于点$D$，$E$，连结$BD$，则图中的相似三角形有 （
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
）A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
C
解析
【分析】
要找出图中的相似三角形，优先用两角对应相等的相似判定方法，因为圆的性质可推出多组等角，解题思路如下：1. 先根据角平分线性质得到∠BAD=∠CAD；2. 结合圆周角定理（同弧所对的圆周角相等）推导更多等角；3. 再结合公共角、对顶角相等的性质，逐一验证对应角相等，即可找出所有相似三角形。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
① 同弧AB所对的圆周角相等，
∴∠ADB=∠ACB，又∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△AEC（两角对应相等，两三角形相似）；
② 同弧CD所对的圆周角相等，
∴∠CAD=∠CBD，结合∠BAD=∠CAD得∠BAD=∠CBD，又∠ADB=∠EDB（公共角），
∴△ABD∽△BED（两角对应相等，两三角形相似）；
③ 由∠CAD=∠CBD得∠CAE=∠DBE，又∠AEC=∠BED（对顶角相等），
∴△AEC∽△BED（两角对应相等，两三角形相似）。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定；角平分线的性质
【点评】
本题核心是结合圆的性质找等角来判定相似，解题时要注意不要漏找由公共角、对顶角推导的相似对，熟练掌握圆周角定理和相似判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要找出图中的相似三角形，优先用两角对应相等的相似判定方法，因为圆的性质可推出多组等角，解题思路如下：1. 先根据角平分线性质得到∠BAD=∠CAD；2. 结合圆周角定理（同弧所对的圆周角相等）推导更多等角；3. 再结合公共角、对顶角相等的性质，逐一验证对应角相等，即可找出所有相似三角形。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
① 同弧AB所对的圆周角相等，
∴∠ADB=∠ACB，又∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△AEC（两角对应相等，两三角形相似）；
② 同弧CD所对的圆周角相等，
∴∠CAD=∠CBD，结合∠BAD=∠CAD得∠BAD=∠CBD，又∠ADB=∠EDB（公共角），
∴△ABD∽△BED（两角对应相等，两三角形相似）；
③ 由∠CAD=∠CBD得∠CAE=∠DBE，又∠AEC=∠BED（对顶角相等），
∴△AEC∽△BED（两角对应相等，两三角形相似）。
综上，共有3对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定；角平分线的性质
【点评】
本题核心是结合圆的性质找等角来判定相似，解题时要注意不要漏找由公共角、对顶角推导的相似对，熟练掌握圆周角定理和相似判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 如图，以$△ ABC$的边$BC$为直径的半圆$O$分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$，连结$DE$，若$AD:BD=1:3$，$AE=DE=2$，则半圆$O$的半径长为（
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3$
D.$2\sqrt{3}$
B
）A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3$
D.$2\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：BC为半圆直径，可联想到直径所对圆周角为直角，连接BE得到直角三角形；其次圆内接四边形的外角等于内对角，结合公共角∠A可证明△ADE∽△ACB；再结合AE=DE的条件推导得到AB=BC，最后利用相似三角形的边的比例关系、勾股定理列方程求解即可。
【解析】
1. 连接BE，
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
2.
∵四边形BCED是圆内接四边形，
∴∠ADE=∠C（圆内接四边形外角等于内对角），又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）。
3. 由相似性质得$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，已知AE=DE=2，
∴AB=BC。
4. 设AD=x，
∵AD:BD=1:3，
∴BD=3x，AB=AD+BD=4x，即BC=4x。
5. 再由相似边的比例$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，代入得$\frac{x}{AC}=\frac{2}{4x}$，解得$AC=2x^2$，
∴$EC=AC-AE=2x^2-2$。
6. 在Rt△ABE中，由勾股定理得$BE^2=AB^2-AE^2=(4x)^2-2^2=16x^2-4$。
7. 在Rt△BEC中，$BE^2+EC^2=BC^2$，将$BE^2$、EC、BC代入得：
$16x^2-4+(2x^2-2)^2=(4x)^2$
展开化简得$4x^4-8x^2=0$，即$4x^2(x^2-2)=0$，
∵x＞0，
∴$x^2=2$，$x=\sqrt{2}$（负根舍去）。
8. 半圆直径$BC=4x=4\sqrt{2}$，
∴半径为$\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 相似三角形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型中档题，解题核心是利用圆的性质构造相似三角形，再结合勾股定理建立方程求解，能有效考查学生对几何综合知识的运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形特征：BC为半圆直径，可联想到直径所对圆周角为直角，连接BE得到直角三角形；其次圆内接四边形的外角等于内对角，结合公共角∠A可证明△ADE∽△ACB；再结合AE=DE的条件推导得到AB=BC，最后利用相似三角形的边的比例关系、勾股定理列方程求解即可。
【解析】
1. 连接BE，
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
2.
∵四边形BCED是圆内接四边形，
∴∠ADE=∠C（圆内接四边形外角等于内对角），又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）。
3. 由相似性质得$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，已知AE=DE=2，
∴AB=BC。
4. 设AD=x，
∵AD:BD=1:3，
∴BD=3x，AB=AD+BD=4x，即BC=4x。
5. 再由相似边的比例$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，代入得$\frac{x}{AC}=\frac{2}{4x}$，解得$AC=2x^2$，
∴$EC=AC-AE=2x^2-2$。
6. 在Rt△ABE中，由勾股定理得$BE^2=AB^2-AE^2=(4x)^2-2^2=16x^2-4$。
7. 在Rt△BEC中，$BE^2+EC^2=BC^2$，将$BE^2$、EC、BC代入得：
$16x^2-4+(2x^2-2)^2=(4x)^2$
展开化简得$4x^4-8x^2=0$，即$4x^2(x^2-2)=0$，
∵x＞0，
∴$x^2=2$，$x=\sqrt{2}$（负根舍去）。
8. 半圆直径$BC=4x=4\sqrt{2}$，
∴半径为$\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 相似三角形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型中档题，解题核心是利用圆的性质构造相似三角形，再结合勾股定理建立方程求解，能有效考查学生对几何综合知识的运用能力。
【难度系数】
0.6
