登录
5. 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点$F$，$OE⊥ AC$于点$E$，若$OE=3$，$OB=5$，则$OF$的长是
$\frac{7}{5}$
。答案
$\frac{7}{5}$
解析
【分析】
解题时先从已知的半径长度入手，首先OB是⊙O的半径，可得到OA等半径长度均为5；再结合OE⊥AC的条件，在Rt△AEO中用勾股定理求出AE的长，利用垂径定理得到AC的总长度；接着观察到△AEO和△AFC都是直角三角形且有公共角∠A，可判定两三角形相似，通过相似三角形的对应边成比例求出AF的长度，最后用AF减去半径AO的长度即可得到OF的长。
【解析】
解：
∵OB是⊙O的半径，OB=5，
∴OA=OC=5，⊙O直径AB=10。
∵OE⊥AC，根据垂径定理，E为AC中点，即AC=2AE。
在Rt△AEO中，OE=3，OA=5，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴AC=2×4=8。
∵CD⊥AB，
∴∠AFC=∠AEO=90°，
又
∵∠A是△AEO和△AFC的公共角，
∴△AEO∽△AFC（AA相似判定）。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{AE}{AF}=\frac{AO}{AC}$，代入AE=4，AO=5，AC=8，
即$\frac{4}{AF}=\frac{5}{8}$，解得$AF=\frac{32}{5}$。
又
∵AO=5=$\frac{25}{5}$，
∴$OF=AF-AO=\frac{32}{5}-\frac{25}{5}=\frac{7}{5}$。
【答案】
$\frac{7}{5}$
【知识点】
垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的基础综合题，解题的核心是找到公共角构造相似三角形，结合圆的性质求出对应线段长度，需要熟练掌握圆的基本性质和相似三角形的判定规则。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的半径长度入手，首先OB是⊙O的半径，可得到OA等半径长度均为5；再结合OE⊥AC的条件，在Rt△AEO中用勾股定理求出AE的长，利用垂径定理得到AC的总长度；接着观察到△AEO和△AFC都是直角三角形且有公共角∠A，可判定两三角形相似，通过相似三角形的对应边成比例求出AF的长度，最后用AF减去半径AO的长度即可得到OF的长。
【解析】
解：
∵OB是⊙O的半径，OB=5，
∴OA=OC=5，⊙O直径AB=10。
∵OE⊥AC，根据垂径定理，E为AC中点，即AC=2AE。
在Rt△AEO中，OE=3，OA=5，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∴AC=2×4=8。
∵CD⊥AB，
∴∠AFC=∠AEO=90°，
又
∵∠A是△AEO和△AFC的公共角，
∴△AEO∽△AFC（AA相似判定）。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{AE}{AF}=\frac{AO}{AC}$，代入AE=4，AO=5，AC=8，
即$\frac{4}{AF}=\frac{5}{8}$，解得$AF=\frac{32}{5}$。
又
∵AO=5=$\frac{25}{5}$，
∴$OF=AF-AO=\frac{32}{5}-\frac{25}{5}=\frac{7}{5}$。
【答案】
$\frac{7}{5}$
【知识点】
垂径定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的基础综合题，解题的核心是找到公共角构造相似三角形，结合圆的性质求出对应线段长度，需要熟练掌握圆的基本性质和相似三角形的判定规则。
【难度系数】
0.6
6. 如图，BC为半圆O的直径，A是半圆上的一点，D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，AC与BD相交于点E。若$AB=AC$，$BE=8$，则CD的长为
4
。答案
4
解析
【分析】
解题时首先利用直径所对圆周角为直角，得到∠BAC=∠BDC=90°；结合AB=AC可知△ABC为等腰直角三角形，再由等弧对等圆周角，得BD平分∠ABC。接下来通过延长BA、CD交于点F构造全等三角形：先利用角平分线+垂直证明△BDF≌△BDC，得到CF=2CD；再证明△ABE≌△ACF，得到BE=CF，即可推出CD与BE的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：延长BA、CD交于点F。
∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°，
∵D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠ABD=∠DBC=∠ACD=22.5°，
在△BDF和△BDC中：
$\begin{cases}∠DBF=∠DBC \\BD=BD \\∠BDF=∠BDC=90°\end{cases}$
∴△BDF≌△BDC（ASA），
∴CD=DF，即CF=2CD，
在△ABE和△ACF中：
$\begin{cases}∠BAE=∠CAF=90° \\AB=AC \\∠ABE=∠ACF\end{cases}$
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，
∴BE=2CD，
∵BE=8，
∴CD=$\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题，解题核心是通过构造辅助线将待求线段与已知线段通过全等三角形建立联系，需要熟练掌握圆的基本性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用直径所对圆周角为直角，得到∠BAC=∠BDC=90°；结合AB=AC可知△ABC为等腰直角三角形，再由等弧对等圆周角，得BD平分∠ABC。接下来通过延长BA、CD交于点F构造全等三角形：先利用角平分线+垂直证明△BDF≌△BDC，得到CF=2CD；再证明△ABE≌△ACF，得到BE=CF，即可推出CD与BE的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：延长BA、CD交于点F。
∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°，
∵D为$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠ABD=∠DBC=∠ACD=22.5°，
在△BDF和△BDC中：
$\begin{cases}∠DBF=∠DBC \\BD=BD \\∠BDF=∠BDC=90°\end{cases}$
∴△BDF≌△BDC（ASA），
∴CD=DF，即CF=2CD，
在△ABE和△ACF中：
$\begin{cases}∠BAE=∠CAF=90° \\AB=AC \\∠ABE=∠ACF\end{cases}$
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，
∴BE=2CD，
∵BE=8，
∴CD=$\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题，解题核心是通过构造辅助线将待求线段与已知线段通过全等三角形建立联系，需要熟练掌握圆的基本性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】
0.6
7. 如图,这是一张以点O为圆心,AB为直径的圆形纸片,点C在$\odot O$上,将该圆形纸片沿直线CO对折,点B落在$\odot O$上的点D处(不与点A重合),连结CD,与直径AB交于点E,连结BC,AD,OD,AC。若$OD // AC$,则$\frac{BC}{AD}=$
$\sqrt{3}$
。答案
$\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：第一步，结合折叠性质、同圆半径相等的等腰三角形性质、平行线的内错角相等，得到三个相等的角；第二步，利用直径所对圆周角为直角，算出每个角为30°，得到特殊角；第三步，通过特殊直角三角形边角关系、等边三角形的判定，分别用半径表示出BC和AD的长度，最后计算比值即可。
【解析】
解：设⊙O的半径为$r$，则$AB=2r$，$OA=OC=OD=r$。
1. 由折叠性质可得：$∠ DCO=∠ BCO$。
又$\because OC=OD$，$\therefore ∠ ODC=∠ DCO$，即$∠ ODC=∠ BCO$。
$\because OD// AC$，$\therefore ∠ ACD=∠ ODC$（两直线平行，内错角相等）。
综上可得$∠ ACD=∠ DCO=∠ BCO$。
2. $\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对圆周角为直角）。
$\therefore ∠ ACD=∠ DCO=∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ACB=30°$。
3. 在$Rt△ ACB$中，$∠ B=∠ BCO=30°$，
$\therefore BC=AB· \cos30°=2r×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}r$。
4. $\because ∠ ACO=∠ ACD+∠ DCO=60°$，$OA=OC$，
$\therefore △ OAC$是等边三角形，$∠ OAC=60°$。
$\because OD// AC$，$\therefore ∠ AOD=∠ OAC=60°$，
又$\because OA=OD$，$\therefore △ AOD$是等边三角形，$AD=OA=r$。
5. 计算比值：$\frac{BC}{AD}=\frac{\sqrt{3}r}{r}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
圆的基本性质，折叠的性质，特殊三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了圆、折叠、平行线、特殊三角形的相关知识，解题的核心是通过角的等量代换推出30°的特殊角，进而用半径表示所求线段的长度，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题可按以下思路逐步推导：第一步，结合折叠性质、同圆半径相等的等腰三角形性质、平行线的内错角相等，得到三个相等的角；第二步，利用直径所对圆周角为直角，算出每个角为30°，得到特殊角；第三步，通过特殊直角三角形边角关系、等边三角形的判定，分别用半径表示出BC和AD的长度，最后计算比值即可。
【解析】
解：设⊙O的半径为$r$，则$AB=2r$，$OA=OC=OD=r$。
1. 由折叠性质可得：$∠ DCO=∠ BCO$。
又$\because OC=OD$，$\therefore ∠ ODC=∠ DCO$，即$∠ ODC=∠ BCO$。
$\because OD// AC$，$\therefore ∠ ACD=∠ ODC$（两直线平行，内错角相等）。
综上可得$∠ ACD=∠ DCO=∠ BCO$。
2. $\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对圆周角为直角）。
$\therefore ∠ ACD=∠ DCO=∠ BCO=\frac{1}{3}∠ ACB=30°$。
3. 在$Rt△ ACB$中，$∠ B=∠ BCO=30°$，
$\therefore BC=AB· \cos30°=2r×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}r$。
4. $\because ∠ ACO=∠ ACD+∠ DCO=60°$，$OA=OC$，
$\therefore △ OAC$是等边三角形，$∠ OAC=60°$。
$\because OD// AC$，$\therefore ∠ AOD=∠ OAC=60°$，
又$\because OA=OD$，$\therefore △ AOD$是等边三角形，$AD=OA=r$。
5. 计算比值：$\frac{BC}{AD}=\frac{\sqrt{3}r}{r}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
圆的基本性质，折叠的性质，特殊三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了圆、折叠、平行线、特殊三角形的相关知识，解题的核心是通过角的等量代换推出30°的特殊角，进而用半径表示所求线段的长度，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
8. 如图，延长弦DB，EC，交于圆外一点A，连结CD，BE。
(1)证明：$△ ACD ∽ △ ABE$。
(2)若$AB=5$，$AC=6$，$AD=12$，求AE。
(1)证明：$△ ACD ∽ △ ABE$。
(2)若$AB=5$，$AC=6$，$AD=12$，求AE。
答案
解:(1)证明:因为$∠D$和$∠E$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角,
所以$∠D=∠E$。
因为$∠A=∠A$,所以$△ ACD ∽ △ ABE$。
(2)由(1)知$△ ACD ∽ △ ABE$,所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$。
因为$AB=5,AC=6,AD=12$,
所以$AE=\frac{AB· AD}{AC}=\frac{5×12}{6}=10$,
所以AE的长为10。
所以$∠D=∠E$。
因为$∠A=∠A$,所以$△ ACD ∽ △ ABE$。
(2)由(1)知$△ ACD ∽ △ ABE$,所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$。
因为$AB=5,AC=6,AD=12$,
所以$AE=\frac{AB· AD}{AC}=\frac{5×12}{6}=10$,
所以AE的长为10。
解析
【分析】
(1)要证明△ACD∽△ABE，首先观察两个三角形有公共角∠A，只需再找到一组相等的对应角即可完成证明；结合圆的性质，同弧所对的圆周角相等，∠D和∠E均为弧BC所对的圆周角，因此∠D=∠E，即可通过两角分别相等判定两个三角形相似。
(2)利用第一问得到的相似结论，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的线段长度即可求解AE的长。
【解析】
(1)证明：
∵∠D和∠E是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠D=∠E。
又
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ACD ∽ △ABE。
(2)解：由(1)知△ACD ∽ △ABE，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$
将$AB=5,AC=6,AD=12$代入上式：
$AE=\frac{AB· AD}{AC}=\frac{5×12}{6}=10$
【答案】
(1)△ACD∽△ABE得证；
(2)AE的长为10。
【知识点】
1.圆周角定理
2.相似三角形的判定
3.相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似结合的基础题型，解题核心是利用同弧所对圆周角相等得到等角，进而证明三角形相似，再结合相似性质求解线段长度，掌握相关基础定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ACD∽△ABE，首先观察两个三角形有公共角∠A，只需再找到一组相等的对应角即可完成证明；结合圆的性质，同弧所对的圆周角相等，∠D和∠E均为弧BC所对的圆周角，因此∠D=∠E，即可通过两角分别相等判定两个三角形相似。
(2)利用第一问得到的相似结论，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的线段长度即可求解AE的长。
【解析】
(1)证明：
∵∠D和∠E是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴∠D=∠E。
又
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ACD ∽ △ABE。
(2)解：由(1)知△ACD ∽ △ABE，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AE}$
将$AB=5,AC=6,AD=12$代入上式：
$AE=\frac{AB· AD}{AC}=\frac{5×12}{6}=10$
【答案】
(1)△ACD∽△ABE得证；
(2)AE的长为10。
【知识点】
1.圆周角定理
2.相似三角形的判定
3.相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似结合的基础题型，解题核心是利用同弧所对圆周角相等得到等角，进而证明三角形相似，再结合相似性质求解线段长度，掌握相关基础定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,已知AC与$\odot O$交于B,C两点,AD过圆心O且与$\odot O$交于E,D两点,OB平分$∠ AOC$。
(1)求证:$△ ACD ∽ △ ABO$。
(2)作$EF ⊥ AD$交AC于点F,若$EF // OC$,$OC=3$,求EF的长。
(1)求证:$△ ACD ∽ △ ABO$。
(2)作$EF ⊥ AD$交AC于点F,若$EF // OC$,$OC=3$,求EF的长。
答案
解:(1)证明:连结CE(图略),
因为OB平分$∠AOC$,所以$∠BOE=\frac{1}{2}∠AOC$。
又因为CE所对圆心角是$∠EOC$,所对的圆周角是$∠D$,所以$∠D=\frac{1}{2}∠EOC$,
所以$∠D=∠BOE$。
又因为$∠A=∠A$,
所以$△ ACD ∽ △ ABO$。
(2)因为$EF⊥AD$,所以$∠OEF=90°$。
因为$EF// OC$,
所以$∠DOC=∠OEF=90°$。
因为$OC=OD=3$,
所以$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=3\sqrt{2}$。
因为$△ ACD ∽ △ ABO$,
所以$\frac{AD}{AO}=\frac{CD}{BO}$,所以$\frac{AE+6}{AE+3}=\frac{3\sqrt{2}}{3}$,
所以$AE=3\sqrt{2}$。因为$EF// OC$,
所以$△ AEF ∽ △ AOC$,
所以$\frac{AE}{AO}=\frac{EF}{OC}$,
所以$\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+3}=\frac{EF}{3}$,所以$EF=6-3\sqrt{2}$。
因为OB平分$∠AOC$,所以$∠BOE=\frac{1}{2}∠AOC$。
又因为CE所对圆心角是$∠EOC$,所对的圆周角是$∠D$,所以$∠D=\frac{1}{2}∠EOC$,
所以$∠D=∠BOE$。
又因为$∠A=∠A$,
所以$△ ACD ∽ △ ABO$。
(2)因为$EF⊥AD$,所以$∠OEF=90°$。
因为$EF// OC$,
所以$∠DOC=∠OEF=90°$。
因为$OC=OD=3$,
所以$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=3\sqrt{2}$。
因为$△ ACD ∽ △ ABO$,
所以$\frac{AD}{AO}=\frac{CD}{BO}$,所以$\frac{AE+6}{AE+3}=\frac{3\sqrt{2}}{3}$,
所以$AE=3\sqrt{2}$。因为$EF// OC$,
所以$△ AEF ∽ △ AOC$,
所以$\frac{AE}{AO}=\frac{EF}{OC}$,
所以$\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+3}=\frac{EF}{3}$,所以$EF=6-3\sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ACD∽△ABO，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需再找到一组对应角相等即可。已知OB平分∠AOC，可得∠AOB=½∠AOC；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠D=½∠AOC，由此得到∠D=∠AOB，即可证明相似。
(2) 先根据EF⊥AD、EF//OC推出OC⊥AD，得到∠COD=90°，利用勾股定理求出CD的长度；再借助(1)中的相似三角形对应边成比例，求出AE的长度；最后根据EF//OC得到△AEF∽△AOC，利用对应边成比例即可求出EF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ OB平分∠AOC，
∴ ∠AOB = $\frac{1}{2}$∠AOC。
∵ 弧EC所对的圆周角是∠D，所对的圆心角是∠AOC，根据圆周角定理得∠D = $\frac{1}{2}$∠AOC。
∴ ∠D = ∠AOB。
又
∵ ∠A = ∠A（公共角），
∴ △ACD ∽ △ABO。
(2) 解：
∵ EF⊥AD，
∴ ∠AEF = 90°。
∵ EF//OC，
∴ ∠AOC = ∠AEF = 90°，即∠COD = 90°。
∵ OC=OD=3（都是$\odot O$的半径），
∴ 在Rt△COD中，由勾股定理得：$CD = \sqrt{OC^2 + OD^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$。
由(1)知△ACD∽△ABO，对应边成比例得：$\frac{AD}{AO}=\frac{CD}{BO}$。
其中$AD = AE + ED = AE + 2OC = AE + 6$，$AO = AE + EO = AE + OC = AE + 3$，$BO=OC=3$，代入得：
$\frac{AE + 6}{AE + 3}=\frac{3\sqrt{2}}{3}$，解得$AE = 3\sqrt{2}$。
又
∵ EF//OC，
∴ △AEF ∽ △AOC，
∴ $\frac{AE}{AO}=\frac{EF}{OC}$，
代入$AE=3\sqrt{2}$，$AO=3\sqrt{2} + 3$，$OC=3$，得：
$\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+3}=\frac{EF}{3}$，
化简得$EF = 6 - 3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) EF的长为$6-3\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是圆与相似的综合题，解题核心是通过角的关系找到相似三角形，需要灵活运用圆的基本性质、相似的判定与性质推导，同时考查基础的代数化简计算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△ACD∽△ABO，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需再找到一组对应角相等即可。已知OB平分∠AOC，可得∠AOB=½∠AOC；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠D=½∠AOC，由此得到∠D=∠AOB，即可证明相似。
(2) 先根据EF⊥AD、EF//OC推出OC⊥AD，得到∠COD=90°，利用勾股定理求出CD的长度；再借助(1)中的相似三角形对应边成比例，求出AE的长度；最后根据EF//OC得到△AEF∽△AOC，利用对应边成比例即可求出EF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ OB平分∠AOC，
∴ ∠AOB = $\frac{1}{2}$∠AOC。
∵ 弧EC所对的圆周角是∠D，所对的圆心角是∠AOC，根据圆周角定理得∠D = $\frac{1}{2}$∠AOC。
∴ ∠D = ∠AOB。
又
∵ ∠A = ∠A（公共角），
∴ △ACD ∽ △ABO。
(2) 解：
∵ EF⊥AD，
∴ ∠AEF = 90°。
∵ EF//OC，
∴ ∠AOC = ∠AEF = 90°，即∠COD = 90°。
∵ OC=OD=3（都是$\odot O$的半径），
∴ 在Rt△COD中，由勾股定理得：$CD = \sqrt{OC^2 + OD^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$。
由(1)知△ACD∽△ABO，对应边成比例得：$\frac{AD}{AO}=\frac{CD}{BO}$。
其中$AD = AE + ED = AE + 2OC = AE + 6$，$AO = AE + EO = AE + OC = AE + 3$，$BO=OC=3$，代入得：
$\frac{AE + 6}{AE + 3}=\frac{3\sqrt{2}}{3}$，解得$AE = 3\sqrt{2}$。
又
∵ EF//OC，
∴ △AEF ∽ △AOC，
∴ $\frac{AE}{AO}=\frac{EF}{OC}$，
代入$AE=3\sqrt{2}$，$AO=3\sqrt{2} + 3$，$OC=3$，得：
$\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+3}=\frac{EF}{3}$，
化简得$EF = 6 - 3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) EF的长为$6-3\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是圆与相似的综合题，解题核心是通过角的关系找到相似三角形，需要灵活运用圆的基本性质、相似的判定与性质推导，同时考查基础的代数化简计算能力。
【难度系数】
0.6
