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10. 如图，AB为$\odot O$的直径，D为弧BC的中点，$DE ⊥ AB$于点E，BC交DE于点F，交AD于点G。求证：
(1)$GF=DF$。
(2)$BE· AB=AD· DG$。
(1)$GF=DF$。
(2)$BE· AB=AD· DG$。
答案
证明:(1)因为D为弧BC的中点,所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$,
所以$∠DAB=∠CBD$。
因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ADB=90°$,
所以$∠CBD+∠DGF=90°$。
因为$DE⊥AB$,所以$∠DAB+∠GDF=90°$,
所以$∠DGF=∠GDF$,所以$GF=DF$。
(2)因为$∠ADB=90°,DE⊥AB$,
所以$∠DEB=∠ADB=90°$。
因为$∠DBE=∠ABD$,所以$△ ADB ∽ △ DEB$,
所以$\frac{BD}{BE}=\frac{AB}{BD}$,所以$BD^2=BE· AB$。
因为$∠DAB=∠CBD$,$∠GDB=∠BDA$,
所以$△ GDB ∽ △ BDA$,
所以$\frac{DB}{AD}=\frac{GD}{BD}$,所以$BD^2=AD· GD$。
所以$BE· AB=AD· DG$。
所以$∠DAB=∠CBD$。
因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ADB=90°$,
所以$∠CBD+∠DGF=90°$。
因为$DE⊥AB$,所以$∠DAB+∠GDF=90°$,
所以$∠DGF=∠GDF$,所以$GF=DF$。
(2)因为$∠ADB=90°,DE⊥AB$,
所以$∠DEB=∠ADB=90°$。
因为$∠DBE=∠ABD$,所以$△ ADB ∽ △ DEB$,
所以$\frac{BD}{BE}=\frac{AB}{BD}$,所以$BD^2=BE· AB$。
因为$∠DAB=∠CBD$,$∠GDB=∠BDA$,
所以$△ GDB ∽ △ BDA$,
所以$\frac{DB}{AD}=\frac{GD}{BD}$,所以$BD^2=AD· GD$。
所以$BE· AB=AD· DG$。
解析
【分析】
(1) 要证明两条线段相等，可优先考虑证明两条线段所对的角相等，得到等腰三角形即可得证。首先根据弧中点的性质可得等弧所对的圆周角相等，推出∠DAB=∠CBD；再结合直径所对圆周角为直角、DE⊥AB的垂直关系，利用同角的余角相等推导得到∠DGF=∠GDF，即可证得GF=DF。
(2) 要证明等积式，通常可转化为证明比例式，借助相似三角形或者公共中间量推导。先通过两组角对应相等证明△ADB∽△DEB，得到BD²=BE·AB；再通过两组角对应相等证明△GDB∽△BDA，得到BD²=AD·DG，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
(1)
∵D为弧BC的中点，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠DAB=∠CBD。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CBD+∠DGF=90°。
∵DE⊥AB，
∴∠DAB+∠GDF=90°，
∴∠DGF=∠GDF，
∴GF=DF。
(2)
∵∠ADB=90°，DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ADB=90°。
又
∵∠DBE=∠ABD，
∴△ADB∽△DEB，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{AB}{BD}$，即$BD^2=BE· AB$。
∵∠DAB=∠CBD，∠GDB=∠BDA，
∴△GDB∽△BDA，
∴$\frac{DB}{AD}=\frac{GD}{BD}$，即$BD^2=AD· GD$。
∴$BE· AB=AD· DG$。
【答案】
(1) $GF=DF$得证；
(2) $BE· AB=AD· DG$得证，证明过程如上。
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆的综合基础证明题，考查了圆的性质与三角形知识点的结合应用，解题的关键是熟练掌握等弧对等角、直径的性质，以及等积式证明中常用的相似转化、中间量代换的方法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明两条线段相等，可优先考虑证明两条线段所对的角相等，得到等腰三角形即可得证。首先根据弧中点的性质可得等弧所对的圆周角相等，推出∠DAB=∠CBD；再结合直径所对圆周角为直角、DE⊥AB的垂直关系，利用同角的余角相等推导得到∠DGF=∠GDF，即可证得GF=DF。
(2) 要证明等积式，通常可转化为证明比例式，借助相似三角形或者公共中间量推导。先通过两组角对应相等证明△ADB∽△DEB，得到BD²=BE·AB；再通过两组角对应相等证明△GDB∽△BDA，得到BD²=AD·DG，最后通过等量代换即可证得结论。
【解析】
(1)
∵D为弧BC的中点，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠DAB=∠CBD。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CBD+∠DGF=90°。
∵DE⊥AB，
∴∠DAB+∠GDF=90°，
∴∠DGF=∠GDF，
∴GF=DF。
(2)
∵∠ADB=90°，DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ADB=90°。
又
∵∠DBE=∠ABD，
∴△ADB∽△DEB，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{AB}{BD}$，即$BD^2=BE· AB$。
∵∠DAB=∠CBD，∠GDB=∠BDA，
∴△GDB∽△BDA，
∴$\frac{DB}{AD}=\frac{GD}{BD}$，即$BD^2=AD· GD$。
∴$BE· AB=AD· DG$。
【答案】
(1) $GF=DF$得证；
(2) $BE· AB=AD· DG$得证，证明过程如上。
【知识点】
圆周角定理；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆的综合基础证明题，考查了圆的性质与三角形知识点的结合应用，解题的关键是熟练掌握等弧对等角、直径的性质，以及等积式证明中常用的相似转化、中间量代换的方法。
【难度系数】
0.7
11. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径的半圆交$AC$，$BC$于点$D$，$E$，连结$AE$，$BD$，$AE$与$BD$相交于点$F$，$BF=5$，$CE=2\sqrt{5}$。
(1)求证：①$CE=BE$。
②$△ BEF ∽ △ BDC$。
(2)求$DF$的长。
(3)求$AB$的长。
(1)求证：①$CE=BE$。
②$△ BEF ∽ △ BDC$。
(2)求$DF$的长。
(3)求$AB$的长。
答案
解:(1)证明:①因为AB是直径,
所以$∠AEB=∠ADB=90°$。
又因为$AB=AC$,
所以$BE=EC=2\sqrt{5}$。
②因为$∠BEF=∠BDC=90°$,$∠EBF=∠CBD$,
所以$△ BEF ∽ △ BDC$。
(2)因为$△ BEF ∽ △ BDC$,
所以$\frac{BF}{BC}=\frac{BE}{BD}$,
所以$\frac{5}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{BD}$,
所以$BD=8$,
所以$DF=8-BF=3$。
(3)因为$BF=5$,$BE=2\sqrt{5}$,
所以$EF=\sqrt{BF^2-BE^2}=\sqrt{25-20}=\sqrt{5}$。
因为$AB=AC$,$∠AEB=90°$,
所以$∠CAE=∠BAE$。
又因为$∠CAE=∠DBC$,
所以$∠DBC=∠BAE$。
又因为$∠AEB=∠FEB$,
所以$△ BEF ∽ △ AEB$,
所以$\frac{BF}{AB}=\frac{EF}{BE}$,
所以$\frac{5}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$,
所以$AB=10$。
所以$∠AEB=∠ADB=90°$。
又因为$AB=AC$,
所以$BE=EC=2\sqrt{5}$。
②因为$∠BEF=∠BDC=90°$,$∠EBF=∠CBD$,
所以$△ BEF ∽ △ BDC$。
(2)因为$△ BEF ∽ △ BDC$,
所以$\frac{BF}{BC}=\frac{BE}{BD}$,
所以$\frac{5}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{BD}$,
所以$BD=8$,
所以$DF=8-BF=3$。
(3)因为$BF=5$,$BE=2\sqrt{5}$,
所以$EF=\sqrt{BF^2-BE^2}=\sqrt{25-20}=\sqrt{5}$。
因为$AB=AC$,$∠AEB=90°$,
所以$∠CAE=∠BAE$。
又因为$∠CAE=∠DBC$,
所以$∠DBC=∠BAE$。
又因为$∠AEB=∠FEB$,
所以$△ BEF ∽ △ AEB$,
所以$\frac{BF}{AB}=\frac{EF}{BE}$,
所以$\frac{5}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$,
所以$AB=10$。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 对于(1)的两个证明：①首先由AB是直径，根据直径所对圆周角为直角得到AE⊥BC，再结合AB=AC的等腰三角形三线合一性质，即可证CE=BE；②要证三角形相似，先找到两个对应角相等：∠BEF和∠BDC都是直角，再加上公共角∠EBF=∠CBD，即可证相似。2. 对于(2)求DF：DF=BD-BF，BF已知，故需先求BD，利用(1)中得到的相似三角形对应边成比例，代入已知的BF、BC（BC=2CE）、BE的长度，即可算出BD，进而得DF。3. 对于(3)求AB：先在Rt△BEF中用勾股定理算出EF，再利用等腰三角形三线合一得AE是角平分线，结合圆周角的等量关系证△BEF∽△AEB，再利用对应边成比例即可算出AB的长度。
【解析】
(1)证明：
①
∵AB是半圆的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，即AE⊥BC，
又
∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，AE是底边BC上的高，
∴根据等腰三角形三线合一，BE=EC=2√5，即CE=BE得证。
②由①可知∠BEF=∠BDC=90°，
又
∵∠EBF=∠CBD（公共角），
∴△BEF∽△BDC（两角对应相等，两三角形相似）。
(2)解：由△BEF∽△BDC，得对应边成比例：$\frac{BF}{BC}=\frac{BE}{BD}$，
已知CE=2√5，故BC=BE+CE=4√5，BF=5，BE=2√5，代入得：
$\frac{5}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{BD}$，
解得BD=8，
∴DF=BD-BF=8-5=3。
(3)解：在Rt△BEF中，BF=5，BE=2√5，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{BF^2-BE^2}=\sqrt{25-20}=\sqrt{5}$，
∵AB=AC，∠AEB=90°，根据等腰三角形三线合一，AE平分∠BAC，即∠CAE=∠BAE，
又
∵∠CAE=∠DBC（同弧DE所对的圆周角相等），
∴∠DBC=∠BAE，即∠EBF=∠BAE，
又
∵∠BEF=∠AEB=90°，
∴△BEF∽△AEB（两角对应相等，两三角形相似），
得对应边成比例：$\frac{BF}{AB}=\frac{EF}{BE}$，
代入数值：$\frac{5}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$，
解得AB=10。
【答案】
(1)①CE=BE得证；②△BEF∽△BDC得证；
(2)DF的长为3；
(3)AB的长为10。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合典型题，解题的切入点是直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形性质逐步推导角的等量关系，找到相似三角形是求解未知线段的核心，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 对于(1)的两个证明：①首先由AB是直径，根据直径所对圆周角为直角得到AE⊥BC，再结合AB=AC的等腰三角形三线合一性质，即可证CE=BE；②要证三角形相似，先找到两个对应角相等：∠BEF和∠BDC都是直角，再加上公共角∠EBF=∠CBD，即可证相似。2. 对于(2)求DF：DF=BD-BF，BF已知，故需先求BD，利用(1)中得到的相似三角形对应边成比例，代入已知的BF、BC（BC=2CE）、BE的长度，即可算出BD，进而得DF。3. 对于(3)求AB：先在Rt△BEF中用勾股定理算出EF，再利用等腰三角形三线合一得AE是角平分线，结合圆周角的等量关系证△BEF∽△AEB，再利用对应边成比例即可算出AB的长度。
【解析】
(1)证明：
①
∵AB是半圆的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，即AE⊥BC，
又
∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，AE是底边BC上的高，
∴根据等腰三角形三线合一，BE=EC=2√5，即CE=BE得证。
②由①可知∠BEF=∠BDC=90°，
又
∵∠EBF=∠CBD（公共角），
∴△BEF∽△BDC（两角对应相等，两三角形相似）。
(2)解：由△BEF∽△BDC，得对应边成比例：$\frac{BF}{BC}=\frac{BE}{BD}$，
已知CE=2√5，故BC=BE+CE=4√5，BF=5，BE=2√5，代入得：
$\frac{5}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{BD}$，
解得BD=8，
∴DF=BD-BF=8-5=3。
(3)解：在Rt△BEF中，BF=5，BE=2√5，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{BF^2-BE^2}=\sqrt{25-20}=\sqrt{5}$，
∵AB=AC，∠AEB=90°，根据等腰三角形三线合一，AE平分∠BAC，即∠CAE=∠BAE，
又
∵∠CAE=∠DBC（同弧DE所对的圆周角相等），
∴∠DBC=∠BAE，即∠EBF=∠BAE，
又
∵∠BEF=∠AEB=90°，
∴△BEF∽△AEB（两角对应相等，两三角形相似），
得对应边成比例：$\frac{BF}{AB}=\frac{EF}{BE}$，
代入数值：$\frac{5}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$，
解得AB=10。
【答案】
(1)①CE=BE得证；②△BEF∽△BDC得证；
(2)DF的长为3；
(3)AB的长为10。
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合典型题，解题的切入点是直径所对圆周角为直角的性质，结合等腰三角形性质逐步推导角的等量关系，找到相似三角形是求解未知线段的核心，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
