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9. 如图，D，E分别是$△ ABC$的边AB，BC上的点，且$DE// AC$，连结AE，CD，相交于点O，若$S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:9$，$△ BDE$的面积为3，则$△ ABC$的面积为（
A.9
B.18
C.27
D.45
C
）A.9
B.18
C.27
D.45
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先由$DE// AC$可得$△ DOE∽△ COA$，结合二者的面积比可求出相似比，得到$DE$与$AC$的比值；再由$DE// AC$证明$△ BDE∽△ BAC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知$△ BDE$的面积即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
1. 证明$△ DOE∽△ COA$：
$\because DE// AC$，$\therefore ∠ EDO=∠ ACO$，$∠ DEO=∠ CAO$，
$\therefore △ DOE∽△ COA$。
2. 求相似比：
已知$S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:9$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得两三角形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，即$\frac{DE}{AC}=\frac{1}{3}$。
3. 证明$△ BDE∽△ BAC$：
$\because DE// AC$，$\therefore ∠ BDE=∠ BAC$，$∠ BED=∠ BCA$，
$\therefore △ BDE∽△ BAC$。
4. 计算$△ ABC$的面积：
$△ BDE$与$△ BAC$的相似比为$\frac{DE}{AC}=\frac{1}{3}$，则二者的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
$\because S_{△ BDE}=3$，$\therefore S_{△ ABC}=3×9=27$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的面积性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用类题目，核心是通过平行线推导相似三角形，再利用面积比与相似比的关系求解，解题时要注意两组相似三角形共用$DE$与$AC$的相似比，理清关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先由$DE// AC$可得$△ DOE∽△ COA$，结合二者的面积比可求出相似比，得到$DE$与$AC$的比值；再由$DE// AC$证明$△ BDE∽△ BAC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知$△ BDE$的面积即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
1. 证明$△ DOE∽△ COA$：
$\because DE// AC$，$\therefore ∠ EDO=∠ ACO$，$∠ DEO=∠ CAO$，
$\therefore △ DOE∽△ COA$。
2. 求相似比：
已知$S_{△ DOE}:S_{△ COA}=1:9$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得两三角形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，即$\frac{DE}{AC}=\frac{1}{3}$。
3. 证明$△ BDE∽△ BAC$：
$\because DE// AC$，$\therefore ∠ BDE=∠ BAC$，$∠ BED=∠ BCA$，
$\therefore △ BDE∽△ BAC$。
4. 计算$△ ABC$的面积：
$△ BDE$与$△ BAC$的相似比为$\frac{DE}{AC}=\frac{1}{3}$，则二者的面积比为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
$\because S_{△ BDE}=3$，$\therefore S_{△ ABC}=3×9=27$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的面积性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用类题目，核心是通过平行线推导相似三角形，再利用面积比与相似比的关系求解，解题时要注意两组相似三角形共用$DE$与$AC$的相似比，理清关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$D,E,F,G$为$△ ABC$两边上的点，且$DE// FG// BC$，若$DE,FG$将$△ ABC$的面积三等分，则下列结论正确的是（
A.$\frac{DE}{FG}=\frac{1}{4}$
B.$\frac{DF}{FB}=\frac{EG}{GC}=1$
C.$\frac{AD}{FB}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
D.$\frac{AD}{DB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
C
）A.$\frac{DE}{FG}=\frac{1}{4}$
B.$\frac{DF}{FB}=\frac{EG}{GC}=1$
C.$\frac{AD}{FB}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
D.$\frac{AD}{DB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
10. C
解析
【分析】
首先根据DE//FG//BC可判定△ADE∽△AFG∽△ABC，结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，先由面积三等分的条件求出三组相似三角形的相似比，再设参数表示出各相关线段的长度，最后逐一计算各选项的比值判断正误即可。
【解析】
∵DE//FG//BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC。
已知DE、FG将△ABC的面积三等分，设$S_{△ ADE}=k$，则$S_{△ AFG}=2k$，$S_{△ ABC}=3k$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ AFG}}=(\frac{AD}{AF})^2=(\frac{DE}{FG})^2=\frac{1}{2}$，即$\frac{DE}{FG}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，故A选项错误；
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{1}{3}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
设$AD=x$，则$AF=\sqrt{2}x$，$AB=\sqrt{3}x$，
则$DF=AF-AD=(\sqrt{2}-1)x$，$FB=AB-AF=(\sqrt{3}-\sqrt{2})x$，$DB=AB-AD=(\sqrt{3}-1)x$。
B选项：$\frac{DF}{FB}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{6}+2-\sqrt{3}-\sqrt{2}≠1$，故B选项错误；
C选项：$\frac{AD}{FB}=\frac{x}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})x}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$（分母有理化可得），故C选项正确；
D选项：$\frac{AD}{DB}=\frac{x}{(\sqrt{3}-1)x}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}≠\frac{\sqrt{2}}{2}$，故D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形面积比性质，比例线段计算
【点评】
本题核心是利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解线段比例，解题时通过设参数表示各线段长度可简化计算，要注意分母有理化的正确运用，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
首先根据DE//FG//BC可判定△ADE∽△AFG∽△ABC，结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，先由面积三等分的条件求出三组相似三角形的相似比，再设参数表示出各相关线段的长度，最后逐一计算各选项的比值判断正误即可。
【解析】
∵DE//FG//BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC。
已知DE、FG将△ABC的面积三等分，设$S_{△ ADE}=k$，则$S_{△ AFG}=2k$，$S_{△ ABC}=3k$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ AFG}}=(\frac{AD}{AF})^2=(\frac{DE}{FG})^2=\frac{1}{2}$，即$\frac{DE}{FG}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，故A选项错误；
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{1}{3}$，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
设$AD=x$，则$AF=\sqrt{2}x$，$AB=\sqrt{3}x$，
则$DF=AF-AD=(\sqrt{2}-1)x$，$FB=AB-AF=(\sqrt{3}-\sqrt{2})x$，$DB=AB-AD=(\sqrt{3}-1)x$。
B选项：$\frac{DF}{FB}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{6}+2-\sqrt{3}-\sqrt{2}≠1$，故B选项错误；
C选项：$\frac{AD}{FB}=\frac{x}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})x}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$（分母有理化可得），故C选项正确；
D选项：$\frac{AD}{DB}=\frac{x}{(\sqrt{3}-1)x}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}≠\frac{\sqrt{2}}{2}$，故D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形面积比性质，比例线段计算
【点评】
本题核心是利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解线段比例，解题时通过设参数表示各线段长度可简化计算，要注意分母有理化的正确运用，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=6$,$AD=9$,$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$,交$DC$的延长线于点$F$,$BG⊥ AE$,垂足为$G$,若$BG=4$,则$△ CEF$的面积是
$2\sqrt{5}$
。答案
11. $2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形的性质和角平分线的定义，推导出△ABE为等腰三角形，求出EC的长度；再根据AB//CF判定△ABE与△FCE相似，得到二者的相似比和面积比；接下来利用勾股定理求出等腰△ABE底边AE的长度，计算出△ABE的面积，最后根据面积比即可求出△CEF的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DC，AB=CD=6，AD=BC=9，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=6，
∴EC=BC-BE=9-6=3，
∵AB//DF，
∴△ABE∽△FCE，相似比$k=BE:EC=6:3=2:1$，
∴相似三角形面积比为$k^2=4:1$，即$S_{△ ABE}:S_{△ CEF}=4:1$，
∵BG⊥AE，△ABE为等腰三角形，
∴G为AE中点（等腰三角形三线合一），
在Rt△ABG中，AB=6，BG=4，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴$AE=2AG=4\sqrt{5}$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × AE × BG=\frac{1}{2} × 4\sqrt{5} × 4=8\sqrt{5}$，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{4}S_{△ ABE}=\frac{1}{4} × 8\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了平行四边形、等腰三角形、相似三角形的多个知识点，解题的核心是先通过角平分线和平行线推出等腰三角形得到线段比，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方计算，解题时要注意不要搞反相似比的对应关系。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用平行四边形的性质和角平分线的定义，推导出△ABE为等腰三角形，求出EC的长度；再根据AB//CF判定△ABE与△FCE相似，得到二者的相似比和面积比；接下来利用勾股定理求出等腰△ABE底边AE的长度，计算出△ABE的面积，最后根据面积比即可求出△CEF的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DC，AB=CD=6，AD=BC=9，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=6，
∴EC=BC-BE=9-6=3，
∵AB//DF，
∴△ABE∽△FCE，相似比$k=BE:EC=6:3=2:1$，
∴相似三角形面积比为$k^2=4:1$，即$S_{△ ABE}:S_{△ CEF}=4:1$，
∵BG⊥AE，△ABE为等腰三角形，
∴G为AE中点（等腰三角形三线合一），
在Rt△ABG中，AB=6，BG=4，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴$AE=2AG=4\sqrt{5}$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × AE × BG=\frac{1}{2} × 4\sqrt{5} × 4=8\sqrt{5}$，
∴$S_{△ CEF}=\frac{1}{4}S_{△ ABE}=\frac{1}{4} × 8\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题综合了平行四边形、等腰三角形、相似三角形的多个知识点，解题的核心是先通过角平分线和平行线推出等腰三角形得到线段比，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方计算，解题时要注意不要搞反相似比的对应关系。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E$是$BC$上的一点,且$BE:CE=1:2$,$AE$交$BD$于点$F$。
(1)求$\frac{BD}{DF}$的值。
(2)求$△ BEF$与$△ DAF$的周长之比和面积之比。
(1)求$\frac{BD}{DF}$的值。
(2)求$△ BEF$与$△ DAF$的周长之比和面积之比。
答案
12. 解:(1)在平行四边形$ABCD$中,$AD// BC$,
所以$∠ DAF=∠ BEF,∠ FDA=∠ FBE$,
所以$△ BEF∽△ DAF$,所以$\frac{BE}{AD}=\frac{BF}{DF}$。
又因为$BE:CE=1:2$,$AD=BC$,
所以$\frac{BE}{BC}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$,所以$\frac{BF}{DF}=\frac{1}{3}$,所以$\frac{BD}{DF}=\frac{4}{3}$。
(2)由(1)知$△ BEF∽△ DAF$,
所以$\frac{△ BEF的周长}{△ DAF的周长}=\frac{BF}{DF}=\frac{1}{3}$,$\frac{S_{△ BEF}}{S_{△ DAF}}=(\frac{BF}{DF})^2=\frac{1}{9}$。
所以$∠ DAF=∠ BEF,∠ FDA=∠ FBE$,
所以$△ BEF∽△ DAF$,所以$\frac{BE}{AD}=\frac{BF}{DF}$。
又因为$BE:CE=1:2$,$AD=BC$,
所以$\frac{BE}{BC}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$,所以$\frac{BF}{DF}=\frac{1}{3}$,所以$\frac{BD}{DF}=\frac{4}{3}$。
(2)由(1)知$△ BEF∽△ DAF$,
所以$\frac{△ BEF的周长}{△ DAF的周长}=\frac{BF}{DF}=\frac{1}{3}$,$\frac{S_{△ BEF}}{S_{△ DAF}}=(\frac{BF}{DF})^2=\frac{1}{9}$。
解析
【分析】
解决本题可按以下思路推导：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，通过平行线的内错角相等证明△BEF和△DAF相似；再结合已知的BE:CE=1:2求出两个三角形的相似比；第一问将BD转化为BF与DF的和，结合相似三角形对应边成比例的性质即可求出BD与DF的比值；第二问直接利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的性质求解即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BEF，∠FDA=∠FBE，
∴△BEF∽△DAF，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BF}{DF}$。
∵BE:CE=1:2，
∴BE:BC=1:(1+2)=1:3，
又
∵AD=BC，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$，即$\frac{BF}{DF}=\frac{1}{3}$，
设BF=k，则DF=3k，BD=BF+DF=4k，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}$。
(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，相似比为$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{△BEF的周长}{△DAF的周长}=\frac{1}{3}$，$\frac{S_{△BEF}}{S_{△DAF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
(1)$\frac{4}{3}$；(2)周长之比为$1:3$，面积之比为$1:9$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是借助平行四边形的平行性质判定三角形相似，得到对应相似比后结合相似三角形的周长、面积与相似比的关系计算结果，是相似章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路推导：首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，通过平行线的内错角相等证明△BEF和△DAF相似；再结合已知的BE:CE=1:2求出两个三角形的相似比；第一问将BD转化为BF与DF的和，结合相似三角形对应边成比例的性质即可求出BD与DF的比值；第二问直接利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的性质求解即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BEF，∠FDA=∠FBE，
∴△BEF∽△DAF，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BF}{DF}$。
∵BE:CE=1:2，
∴BE:BC=1:(1+2)=1:3，
又
∵AD=BC，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$，即$\frac{BF}{DF}=\frac{1}{3}$，
设BF=k，则DF=3k，BD=BF+DF=4k，
∴$\frac{BD}{DF}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}$。
(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，相似比为$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{△BEF的周长}{△DAF的周长}=\frac{1}{3}$，$\frac{S_{△BEF}}{S_{△DAF}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
(1)$\frac{4}{3}$；(2)周长之比为$1:3$，面积之比为$1:9$
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是借助平行四边形的平行性质判定三角形相似，得到对应相似比后结合相似三角形的周长、面积与相似比的关系计算结果，是相似章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 如图，点 D，E 在线段 BC 上，$△ ADE$ 是等边三角形，且 $∠ BAC =120°$。
(1)求证:$△ ABD ∽ △ CAE$。
(2)若 $BD = 2$，$CE = 8$，求 $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ CAE}}$ 的值。
(1)求证:$△ ABD ∽ △ CAE$。
(2)若 $BD = 2$，$CE = 8$，求 $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ CAE}}$ 的值。
答案
13. 解:(1)证明:因为$△ ADE$是等边三角形,
所以$∠ ADE=∠ AED=∠ DAE=60°$,
所以$∠ BAD+∠ B=60°$。
因为$∠ BAC=120°$,所以$∠ BAD+∠ EAC=60°$。
所以$∠ B=∠ EAC$。
又$∠ ADB=∠ AEC$,所以$ABD∽△ CAE$。
(2)因为$ABD∽△ CAE$,
所以$\frac{BD}{AE}=\frac{AD}{CE}$,即$AD^2=BD· CE=16$,
解得$AE=AD=DE=4$,
所以$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ CAE}}=(\frac{BD}{AE})^2=(\frac{2}{4})^2=\frac{1}{4}$。
所以$∠ ADE=∠ AED=∠ DAE=60°$,
所以$∠ BAD+∠ B=60°$。
因为$∠ BAC=120°$,所以$∠ BAD+∠ EAC=60°$。
所以$∠ B=∠ EAC$。
又$∠ ADB=∠ AEC$,所以$ABD∽△ CAE$。
(2)因为$ABD∽△ CAE$,
所以$\frac{BD}{AE}=\frac{AD}{CE}$,即$AD^2=BD· CE=16$,
解得$AE=AD=DE=4$,
所以$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ CAE}}=(\frac{BD}{AE})^2=(\frac{2}{4})^2=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
(1)要证明△ABD∽△CAE，可通过两角对应相等的相似判定定理推导。首先利用等边三角形的性质得到60°内角，结合邻补角性质得到∠ADB=∠AEC=120°，再结合∠BAC=120°推导角的等量关系，得到另一组相等的对应角，即可完成相似证明。
(2)求相似三角形的面积比，可利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”的性质求解。先通过相似三角形对应边成比例的性质，结合已知线段长求出等边△ADE的边长，得到相似比后即可计算面积比值。
【解析】
(1)证明：
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴∠ADB=180°-∠ADE=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，即$\boldsymbol{∠ADB=∠AEC}$。
根据三角形外角的性质，△ABD中∠ADE=∠B+∠BAD=60°，
又
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，
∴$\boldsymbol{∠B=∠EAC}$，
∴△ABD∽△CAE（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2)解：由(1)得△ABD∽△CAE，根据相似三角形性质，对应边成比例：
$\frac{BD}{AE}=\frac{AD}{CE}$，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
∴$AD^2=BD·CE$，
代入BD=2，CE=8得：$AD^2=2×8=16$，解得AD=4（边长为正数），
∴AE=AD=4。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△CAE}}=(\frac{BD}{AE})^2=(\frac{2}{4})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)△ABD∽△CAE，证明成立；(2)$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是通过角度和差推导相等的对应角，结合相似三角形的判定、性质求解，熟练掌握等边三角形和相似三角形的相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABD∽△CAE，可通过两角对应相等的相似判定定理推导。首先利用等边三角形的性质得到60°内角，结合邻补角性质得到∠ADB=∠AEC=120°，再结合∠BAC=120°推导角的等量关系，得到另一组相等的对应角，即可完成相似证明。
(2)求相似三角形的面积比，可利用“相似三角形面积比等于相似比的平方”的性质求解。先通过相似三角形对应边成比例的性质，结合已知线段长求出等边△ADE的边长，得到相似比后即可计算面积比值。
【解析】
(1)证明：
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴∠ADB=180°-∠ADE=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，即$\boldsymbol{∠ADB=∠AEC}$。
根据三角形外角的性质，△ABD中∠ADE=∠B+∠BAD=60°，
又
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，
∴$\boldsymbol{∠B=∠EAC}$，
∴△ABD∽△CAE（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2)解：由(1)得△ABD∽△CAE，根据相似三角形性质，对应边成比例：
$\frac{BD}{AE}=\frac{AD}{CE}$，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，
∴$AD^2=BD·CE$，
代入BD=2，CE=8得：$AD^2=2×8=16$，解得AD=4（边长为正数），
∴AE=AD=4。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△CAE}}=(\frac{BD}{AE})^2=(\frac{2}{4})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)△ABD∽△CAE，证明成立；(2)$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是通过角度和差推导相等的对应角，结合相似三角形的判定、性质求解，熟练掌握等边三角形和相似三角形的相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
