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1. 若两个相似三角形的相似比为$1:3$，则这两个三角形的周长之比为（
A.$1:3$
B.$3:1$
C.$1:9$
D.$9:1$
A
）A.$1:3$
B.$3:1$
C.$1:9$
D.$9:1$
答案
1. A
解析
【分析】
拿到这道题首先明确考点是相似三角形的性质，我们需要回忆相似比和周长比的对应关系：相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。题目已经直接给出相似比为1:3，求周长比直接对应性质推导即可，注意不要和面积比的规律混淆。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比。
已知两个相似三角形的相似比为$1:3$，因此这两个三角形的周长之比等于相似比$1:3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记相似三角形周长比与相似比的对应关系，答题时注意区分周长比和面积比的不同规律，避免混淆失分。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确考点是相似三角形的性质，我们需要回忆相似比和周长比的对应关系：相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。题目已经直接给出相似比为1:3，求周长比直接对应性质推导即可，注意不要和面积比的规律混淆。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比。
已知两个相似三角形的相似比为$1:3$，因此这两个三角形的周长之比等于相似比$1:3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记相似三角形周长比与相似比的对应关系，答题时注意区分周长比和面积比的不同规律，避免混淆失分。
【难度系数】
0.9
2. 若两个相似三角形的面积之比是1：9，则它们对应边的中线之比为（
A.1：9
B.3：1
C.1：3
D.1：81
C
）A.1：9
B.3：1
C.1：3
D.1：81
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应中线的比等于相似比。我们可以先根据已知的面积比求出两个三角形的相似比，再利用对应中线比与相似比的关系，即可得出中线之比。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$k^2=\frac{1}{9}$
由于相似比为正数，因此$k=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，即两个三角形的相似比为$1:3$。
又因为相似三角形对应边的中线之比等于相似比，所以它们对应边的中线之比为$1:3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形面积比性质、相似三角形对应中线性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，核心是区分清楚相似比、面积比、对应线段比三者的关系，不要混淆平方关系和等量关系，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应中线的比等于相似比。我们可以先根据已知的面积比求出两个三角形的相似比，再利用对应中线比与相似比的关系，即可得出中线之比。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$k^2=\frac{1}{9}$
由于相似比为正数，因此$k=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，即两个三角形的相似比为$1:3$。
又因为相似三角形对应边的中线之比等于相似比，所以它们对应边的中线之比为$1:3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形面积比性质、相似三角形对应中线性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，核心是区分清楚相似比、面积比、对应线段比三者的关系，不要混淆平方关系和等量关系，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连结AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 (
A.$3:4$
B.$9:16$
C.$9:1$
D.$3:1$
B
)A.$3:4$
B.$9:16$
C.$9:1$
D.$3:1$
答案
3. B
解析
【分析】
要求△DEF与△BAF的面积比，首先结合平行四边形的性质判断两个三角形的关系：平行四边形对边平行且相等，可得DC//AB、DC=AB，由此可证△DEF和△BAF相似；接下来根据DE:EC=3:1求出对应边DE与AB的比，即两个三角形的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出面积比值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB。
∵DE:EC=3:1，
∴DE:DC=3:(3+1)=3:4，
∴DE:AB=3:4。
∵DC//AB，
∴∠EDF=∠ABF，∠DEF=∠BAF，
∴△DEF∽△BAF，相似比为$\frac{DE}{AB}=\frac{3}{4}$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BAF}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，即面积比为9:16。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是先结合平行四边形的平行性质证明三角形相似，再准确找到相似比，牢记相似三角形面积比为相似比的平方即可快速求解，注意不要混淆面积比和周长比的规律。
【难度系数】
0.7
要求△DEF与△BAF的面积比，首先结合平行四边形的性质判断两个三角形的关系：平行四边形对边平行且相等，可得DC//AB、DC=AB，由此可证△DEF和△BAF相似；接下来根据DE:EC=3:1求出对应边DE与AB的比，即两个三角形的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出面积比值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB。
∵DE:EC=3:1，
∴DE:DC=3:(3+1)=3:4，
∴DE:AB=3:4。
∵DC//AB，
∴∠EDF=∠ABF，∠DEF=∠BAF，
∴△DEF∽△BAF，相似比为$\frac{DE}{AB}=\frac{3}{4}$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BAF}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，即面积比为9:16。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是先结合平行四边形的平行性质证明三角形相似，再准确找到相似比，牢记相似三角形面积比为相似比的平方即可快速求解，注意不要混淆面积比和周长比的规律。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是边AB,AC上的点,$△ ADE ∽ △ ABC$,且相似比为$3:5$,则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{四边形DBCE}}=$ (
A.$\frac{9}{16}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{9}{25}$
D.$\frac{3}{5}$
A
)A.$\frac{9}{16}$
B.$\frac{9}{4}$
C.$\frac{9}{25}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的面积相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。本题已知△ADE与△ABC的相似比，先据此求出两个三角形的面积比，再用大三角形△ABC的面积减去小三角形△ADE的面积，即可得到四边形DBCE的面积，最后计算△ADE与四边形DBCE的面积比值即可，注意不要误将两个三角形的面积比当成最终结果。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，相似比为$3:5$
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$
设$S_{△ ADE}=9k$（$k＞0$），则$S_{△ ABC}=25k$
∴$S_{四边形DBCE}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=25k-9k=16k$
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{四边形DBCE}}=\frac{9k}{16k}=\frac{9}{16}$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形面积性质，面积和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，易错点是容易忽略所求为小三角形与四边形的面积比，直接错选两个三角形的面积比对应的选项，解题时需仔细审题，明确所求对象。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆相似三角形的面积相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。本题已知△ADE与△ABC的相似比，先据此求出两个三角形的面积比，再用大三角形△ABC的面积减去小三角形△ADE的面积，即可得到四边形DBCE的面积，最后计算△ADE与四边形DBCE的面积比值即可，注意不要误将两个三角形的面积比当成最终结果。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，相似比为$3:5$
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$
设$S_{△ ADE}=9k$（$k＞0$），则$S_{△ ABC}=25k$
∴$S_{四边形DBCE}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=25k-9k=16k$
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{四边形DBCE}}=\frac{9k}{16k}=\frac{9}{16}$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形面积性质，面积和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，易错点是容易忽略所求为小三角形与四边形的面积比，直接错选两个三角形的面积比对应的选项，解题时需仔细审题，明确所求对象。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$OA:OD=7:5$，$∠ A=α$，$∠ B=β$，$△ OAB ∽ △ ODC$，$△ OAB$与$△ OCD$的面积分别是$S_1$和$S_2$，$△ OAB$与$△ OCD$的周长分别是$C_1$，
和$C_2$，则一定成立的等式是（
A.$\dfrac{OB}{CD}=\dfrac{7}{5}$
B.$\dfrac{α}{β}=\dfrac{7}{5}$
C.$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{7}{5}$
D.$\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{7}{5}$
和$C_2$，则一定成立的等式是（
D
）A.$\dfrac{OB}{CD}=\dfrac{7}{5}$
B.$\dfrac{α}{β}=\dfrac{7}{5}$
C.$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{7}{5}$
D.$\dfrac{C_1}{C_2}=\dfrac{7}{5}$
答案
5. D
解析
【分析】
首先根据已知△OAB∽△ODC，明确相似三角形的对应顶点，确定相似比为OA:OD=7:5，再结合相似三角形的性质逐一分析选项：相似三角形对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此判断每个选项的正误。
【解析】
已知△OAB∽△ODC，相似比为$OA:OD=7:5$。
选项A：相似三角形对应边成比例，OB的对应边为OC，CD的对应边为AB，故$\frac{OB}{OC}=\frac{7}{5}$，而非$\frac{OB}{CD}=\frac{7}{5}$，A错误；
选项B：相似三角形对应角相等，故∠A=∠D=α，∠B=∠C=β，α与β不存在固定比值$\frac{7}{5}$，B错误；
选项C：相似三角形面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_1}{S_2}=(\frac{7}{5})^2=\frac{49}{25}$，C错误；
选项D：相似三角形周长比等于相似比，故$\frac{C_1}{C_2}=\frac{7}{5}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形对应角相等；相似三角形周长比等于相似比；相似三角形面积比等于相似比的平方
【点评】
本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是准确识别相似三角形的对应关系，牢记周长比、面积比与相似比的对应规律，避免混淆二者的性质。
【难度系数】
0.8
首先根据已知△OAB∽△ODC，明确相似三角形的对应顶点，确定相似比为OA:OD=7:5，再结合相似三角形的性质逐一分析选项：相似三角形对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此判断每个选项的正误。
【解析】
已知△OAB∽△ODC，相似比为$OA:OD=7:5$。
选项A：相似三角形对应边成比例，OB的对应边为OC，CD的对应边为AB，故$\frac{OB}{OC}=\frac{7}{5}$，而非$\frac{OB}{CD}=\frac{7}{5}$，A错误；
选项B：相似三角形对应角相等，故∠A=∠D=α，∠B=∠C=β，α与β不存在固定比值$\frac{7}{5}$，B错误；
选项C：相似三角形面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_1}{S_2}=(\frac{7}{5})^2=\frac{49}{25}$，C错误；
选项D：相似三角形周长比等于相似比，故$\frac{C_1}{C_2}=\frac{7}{5}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形对应角相等；相似三角形周长比等于相似比；相似三角形面积比等于相似比的平方
【点评】
本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是准确识别相似三角形的对应关系，牢记周长比、面积比与相似比的对应规律，避免混淆二者的性质。
【难度系数】
0.8
6. 若两个相似三角形的对应边上的高线长之比为$1:\sqrt{3}$，则两三角形的面积之比为
1:3
。答案
6. 1:3
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的相关性质：首先相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比，其次相似三角形的面积比等于相似比的平方。我们可以先通过题目给出的对应高线之比确定两三角形的相似比，再利用面积比和相似比的关系计算出面积比即可。
【解析】
解：
∵相似三角形对应边上的高线之比等于相似比，已知两个相似三角形对应边上的高线长之比为$1:\sqrt{3}$，
∴这两个相似三角形的相似比$k=1:\sqrt{3}$。
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两三角形的面积比为$k^2=1^2:(\sqrt{3})^2=1:3$。
【答案】
$1:3$
【知识点】
相似三角形对应线段性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形性质的直接应用，解题的关键是明确相似比与对应高线比、面积比的关系，注意避免混淆面积比和相似比的关系，误将面积比等同于相似比。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相似三角形的相关性质：首先相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比，其次相似三角形的面积比等于相似比的平方。我们可以先通过题目给出的对应高线之比确定两三角形的相似比，再利用面积比和相似比的关系计算出面积比即可。
【解析】
解：
∵相似三角形对应边上的高线之比等于相似比，已知两个相似三角形对应边上的高线长之比为$1:\sqrt{3}$，
∴这两个相似三角形的相似比$k=1:\sqrt{3}$。
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴两三角形的面积比为$k^2=1^2:(\sqrt{3})^2=1:3$。
【答案】
$1:3$
【知识点】
相似三角形对应线段性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形性质的直接应用，解题的关键是明确相似比与对应高线比、面积比的关系，注意避免混淆面积比和相似比的关系，误将面积比等同于相似比。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B。若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为
3a
。答案
7. 3a
解析
【分析】
解题时首先观察已知角的关系，发现∠CAD=∠B，且△ACD和△BCA有公共角∠C，可先通过两角对应相等判定两个三角形相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△ABC的面积；最后用△ABC的面积减去△ADC的面积，即可得到△ABD的面积。
【解析】
在△ACD和△BCA中：
$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ C\quad(\mathrm{公共角})\\∠ CAD=∠ B\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ACD ∽ △ BCA$（两角对应相等，两三角形相似）
∴相似比$k=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCA}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
已知$S_{△ ADC}=a$，代入得$S_{△ BCA}=4a$
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=4a - a=3a$
【答案】
3a
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形面积的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，核心是找到相等的角证明三角形相似，再利用相似三角形面积和相似比的关系求解，解题时注意不要混淆相似比和面积比的倍数关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知角的关系，发现∠CAD=∠B，且△ACD和△BCA有公共角∠C，可先通过两角对应相等判定两个三角形相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△ABC的面积；最后用△ABC的面积减去△ADC的面积，即可得到△ABD的面积。
【解析】
在△ACD和△BCA中：
$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ C\quad(\mathrm{公共角})\\∠ CAD=∠ B\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ACD ∽ △ BCA$（两角对应相等，两三角形相似）
∴相似比$k=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ BCA}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
已知$S_{△ ADC}=a$，代入得$S_{△ BCA}=4a$
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=4a - a=3a$
【答案】
3a
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形面积的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，核心是找到相等的角证明三角形相似，再利用相似三角形面积和相似比的关系求解，解题时注意不要混淆相似比和面积比的倍数关系。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AB与CD相交于点O，$△ OBD ∽ △ OAC$，$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$，$OB=6$，$S_{△ AOC}=50$，求：
(1)AO的长。
(2)$S_{△ BOD}$的值。
(1)AO的长。
(2)$S_{△ BOD}$的值。
答案
8. 解:(1)因为$△ OBD∽△ OAC$,所以$\frac{BO}{AO}=\frac{DO}{CO}=\frac{3}{5}$。
因为$BO=6$,所以$AO=10$。
(2)因为$△ OBD∽△ OAC$,$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$,所以$\frac{S_{△ BOD}}{S_{△ AOC}}=\frac{9}{25}$。
因为$S_{△ AOC}=50$,所以$S_{△ BOD}=18$。
因为$BO=6$,所以$AO=10$。
(2)因为$△ OBD∽△ OAC$,$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$,所以$\frac{S_{△ BOD}}{S_{△ AOC}}=\frac{9}{25}$。
因为$S_{△ AOC}=50$,所以$S_{△ BOD}=18$。
解析
【分析】
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：(1)要求AO的长，已知△OBD∽△OAC，根据相似三角形的对应边成比例，可得对应边的比值等于相似比，结合已知的$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$和OB的长度，即可通过比例关系求解AO；(2)要求△BOD的面积，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出两个三角形的面积比，再结合已知的△AOC的面积，即可求出△BOD的面积。
【解析】
(1) 因为$△ OBD ∽ △ OAC$，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{BO}{AO}=\frac{DO}{CO}=\frac{3}{5}$。
已知$OB=6$，代入比例式得$\frac{6}{AO}=\frac{3}{5}$，交叉相乘计算得$3AO=30$，解得$AO=10$。
(2) 因为$△ OBD ∽ △ OAC$，相似比为$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{△ BOD}}{S_{△ AOC}}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$。
已知$S_{△ AOC}=50$，代入得$\frac{S_{△ BOD}}{50}=\frac{9}{25}$，计算得$S_{△ BOD}=50×\frac{9}{25}=18$。
【答案】
(1) $AO=10$；(2) $S_{△ BOD}=18$
【知识点】
1. 相似三角形对应边成比例 2. 相似三角形面积比等于相似比的平方
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确找到相似三角形的对应边，牢记相似比和面积比的关系，避免出现面积比等于相似比的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：(1)要求AO的长，已知△OBD∽△OAC，根据相似三角形的对应边成比例，可得对应边的比值等于相似比，结合已知的$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$和OB的长度，即可通过比例关系求解AO；(2)要求△BOD的面积，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出两个三角形的面积比，再结合已知的△AOC的面积，即可求出△BOD的面积。
【解析】
(1) 因为$△ OBD ∽ △ OAC$，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{BO}{AO}=\frac{DO}{CO}=\frac{3}{5}$。
已知$OB=6$，代入比例式得$\frac{6}{AO}=\frac{3}{5}$，交叉相乘计算得$3AO=30$，解得$AO=10$。
(2) 因为$△ OBD ∽ △ OAC$，相似比为$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{△ BOD}}{S_{△ AOC}}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$。
已知$S_{△ AOC}=50$，代入得$\frac{S_{△ BOD}}{50}=\frac{9}{25}$，计算得$S_{△ BOD}=50×\frac{9}{25}=18$。
【答案】
(1) $AO=10$；(2) $S_{△ BOD}=18$
【知识点】
1. 相似三角形对应边成比例 2. 相似三角形面积比等于相似比的平方
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确找到相似三角形的对应边，牢记相似比和面积比的关系，避免出现面积比等于相似比的错误。
【难度系数】
0.8
