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9. 如图，$△ ACD$的三个顶点均在$1×4$的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与$△ ACD$相似（不全等），则这个格点三角形可以是
$△ ECA$(答案不唯一)
。（写出一个即可）答案
9. $△ ECA$(答案不唯一)
解析
【分析】
要构造与△ACD相似且不全等的格点三角形，首先利用相似三角形的判定定理（三边成比例的两个三角形相似），第一步先通过勾股定理计算△ACD的三边长，得到三边的比值；第二步在网格中寻找其他格点组成的三角形，使其三边比值与△ACD的三边比值相等，且边长和△ACD的边长不相等（保证不全等）即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
先计算△ACD的三边长：
$CD=1$，
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
因此△ACD的三边之比为$CD:AC:AD=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
以△ECA为例，计算其三边长：
$EC=2$，
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ECA的三边之比为$AC:EC:AE=\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ACD的三边比相等。
根据三边成比例的两个三角形相似，可得△ACD∽△ECA，且两个三角形边长不相等，不全等，符合要求。
【答案】
△ECA（答案不唯一）
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的构造，解题的核心是先求出已知三角形的三边比例，再利用勾股定理验证待选三角形的三边比例是否与之匹配，熟悉网格中线段长度的计算方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
要构造与△ACD相似且不全等的格点三角形，首先利用相似三角形的判定定理（三边成比例的两个三角形相似），第一步先通过勾股定理计算△ACD的三边长，得到三边的比值；第二步在网格中寻找其他格点组成的三角形，使其三边比值与△ACD的三边比值相等，且边长和△ACD的边长不相等（保证不全等）即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
先计算△ACD的三边长：
$CD=1$，
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
因此△ACD的三边之比为$CD:AC:AD=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
以△ECA为例，计算其三边长：
$EC=2$，
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△ECA的三边之比为$AC:EC:AE=\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ACD的三边比相等。
根据三边成比例的两个三角形相似，可得△ACD∽△ECA，且两个三角形边长不相等，不全等，符合要求。
【答案】
△ECA（答案不唯一）
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的构造，解题的核心是先求出已知三角形的三边比例，再利用勾股定理验证待选三角形的三边比例是否与之匹配，熟悉网格中线段长度的计算方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.6
10. 如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AEFG，使点E落在边BC上，且D恰好是FG的中点。若$\frac{AB}{AD}=\frac{4}{5}$，则$\frac{BE}{CE}$的值为
$\frac{8}{17}$
。答案
10. $\frac{8}{17}$ 【解析】因为将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AEFG，
所以$∠ BAD=∠ EAG,AB=AE,AD=AG$，
所以$∠ BAE=∠ DAG,\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AG}$，
所以$△ BAE∽△ DAG$，
所以$\frac{BE}{DG}=\frac{AB}{AD}=\frac{4}{5}$。
设$BE=4k(k＞0)$,则$DG=5k$。
因为D为GF的中点，
所以$GF=10k=AE=AB$，
所以$\frac{10k}{AD}=\frac{4}{5}$，
所以$AD=\frac{25}{2}k=BC$，
所以$CE=BC-BE=\frac{17}{2}k$，
所以$\frac{BE}{CE}=\frac{8}{17}$。
所以$∠ BAD=∠ EAG,AB=AE,AD=AG$，
所以$∠ BAE=∠ DAG,\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AG}$，
所以$△ BAE∽△ DAG$，
所以$\frac{BE}{DG}=\frac{AB}{AD}=\frac{4}{5}$。
设$BE=4k(k＞0)$,则$DG=5k$。
因为D为GF的中点，
所以$GF=10k=AE=AB$，
所以$\frac{10k}{AD}=\frac{4}{5}$，
所以$AD=\frac{25}{2}k=BC$，
所以$CE=BC-BE=\frac{17}{2}k$，
所以$\frac{BE}{CE}=\frac{8}{17}$。
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等，进而推导得到两组对应边成比例且夹角相等，证明△BAE与△DAG相似，得到BE与DG的比值；再结合D是FG中点的条件，以及平行四边形对边相等的性质，得到AB、BC的长度表达式，最后通过作差得到CE的长度，即可求出BE与CE的比值，计算时可以采用设参数的方法简化比值计算过程。
【解析】
∵ 将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AEFG，
∴ $∠ BAD=∠ EAG$，$AB=AE$，$AD=AG$，
∴ $∠ BAD - ∠ EAD = ∠ EAG - ∠ EAD$，即$∠ BAE=∠ DAG$，
又
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AG}$，
∴ $△ BAE ∽ △ DAG$，
∴ $\frac{BE}{DG}=\frac{AB}{AD}=\frac{4}{5}$。
设$BE=4k(k＞0)$，则$DG=5k$，
∵ D为GF的中点，
∴ $GF=2DG=10k$，
∵ 平行四边形AEFG中$GF=AE$，且$AE=AB$，
∴ $AB=10k$，
又
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{4}{5}$，
∴ $AD=\frac{5}{4}AB=\frac{5}{4}×10k=\frac{25}{2}k$，
∵ 平行四边形ABCD中$BC=AD$，
∴ $BC=\frac{25}{2}k$，
∴ $CE=BC-BE=\frac{25}{2}k - 4k=\frac{17}{2}k$，
∴ $\frac{BE}{CE}=\frac{4k}{\frac{17}{2}k}=\frac{8}{17}$。
【答案】
$\frac{8}{17}$
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【点评】
本题属于几何综合类的比值求解问题，将旋转、平行四边形、相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是通过旋转的边角关系找到相似三角形，利用参数法能有效简化比值类问题的计算，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解题时首先结合旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等，进而推导得到两组对应边成比例且夹角相等，证明△BAE与△DAG相似，得到BE与DG的比值；再结合D是FG中点的条件，以及平行四边形对边相等的性质，得到AB、BC的长度表达式，最后通过作差得到CE的长度，即可求出BE与CE的比值，计算时可以采用设参数的方法简化比值计算过程。
【解析】
∵ 将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AEFG，
∴ $∠ BAD=∠ EAG$，$AB=AE$，$AD=AG$，
∴ $∠ BAD - ∠ EAD = ∠ EAG - ∠ EAD$，即$∠ BAE=∠ DAG$，
又
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AG}$，
∴ $△ BAE ∽ △ DAG$，
∴ $\frac{BE}{DG}=\frac{AB}{AD}=\frac{4}{5}$。
设$BE=4k(k＞0)$，则$DG=5k$，
∵ D为GF的中点，
∴ $GF=2DG=10k$，
∵ 平行四边形AEFG中$GF=AE$，且$AE=AB$，
∴ $AB=10k$，
又
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{4}{5}$，
∴ $AD=\frac{5}{4}AB=\frac{5}{4}×10k=\frac{25}{2}k$，
∵ 平行四边形ABCD中$BC=AD$，
∴ $BC=\frac{25}{2}k$，
∴ $CE=BC-BE=\frac{25}{2}k - 4k=\frac{17}{2}k$，
∴ $\frac{BE}{CE}=\frac{4k}{\frac{17}{2}k}=\frac{8}{17}$。
【答案】
$\frac{8}{17}$
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【点评】
本题属于几何综合类的比值求解问题，将旋转、平行四边形、相似三角形的知识点结合考查，解题的核心是通过旋转的边角关系找到相似三角形，利用参数法能有效简化比值类问题的计算，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
三、解答题(共32分)
11. (15分)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠B=90°,∠C=75°,AD=2AB。
(1)尺规作图:在BC上求作一点E,使得∠AEC=150°。(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连结DE。求证:△ADE∽△DCE。
11. (15分)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠B=90°,∠C=75°,AD=2AB。
(1)尺规作图:在BC上求作一点E,使得∠AEC=150°。(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连结DE。求证:△ADE∽△DCE。
答案
11. 解:(1)如图1,点E即为所求的点。
因为$AD=AE,AD=2AB$，
所以$AE=2AB$。
因为$∠ B=90°$,所以$∠ AEB=30°$,所以$∠ AEC=150°$。
(2)证明:连结DE,如图2。
因为$∠ BAD=∠ B=90°$，
所以$AD// BC$，
所以$∠ DAE=∠ AEB=30°$。
由作图得,$AD=AE$，
所以$∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ DAE)=75°$。
因为$AD// BC$,所以$∠ DEC=∠ ADE=75°$。
又因为$∠ C=75°$，
所以$∠ ADE=∠ DCE,∠ AED=∠ DEC$，
所以$△ ADE∽△ DCE$。
解析
【分析】
(1) 要构造∠AEC=150°，先推导其邻补角∠AEB=30°，在Rt△ABE中，30°角所对直角边为斜边的一半，因此AE=2AB，结合已知AD=2AB，只需以A为圆心、AD长为半径画弧，与BC的交点即为所求点E。
(2) 证明三角形相似优先找两组对应角相等：首先由∠BAD和∠B均为90°得AD//BC，可推出内错角相等；再结合AD=AE计算△ADE的内角度数，结合已知∠C=75°，找到两组对应相等的角即可证明相似。
【解析】
(1) 作图依据：以A为圆心，AD长度为半径作弧交BC于E，此时AE=AD=2AB，在Rt△ABE中，∠B=90°，直角边AB为斜边AE的一半，因此∠AEB=30°，故∠AEC=180°-30°=150°，符合要求。
(2) 证明步骤：
① 由∠BAD=∠B=90°，得AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），因此∠DAE=∠AEB=30°；
② 由作图得AD=AE，△ADE为等腰三角形，因此∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}(180°-30°)=75°$；
③ 由AD//BC得∠DEC=∠ADE=75°，结合已知∠C=75°，可得∠ADE=∠DCE，∠AED=∠DEC；
④ 根据两角分别相等的两个三角形相似，即可得△ADE∽△DCE。
【答案】
(1) 如图1,点E即为所求的点。
(2) 证明:连结DE,如图2。
因为$AD=AE,AD=2AB$，
所以$AE=2AB$。
因为$∠ B=90°$,所以$∠ AEB=30°$,所以$∠ AEC=150°$。
因为$∠ BAD=∠ B=90°$，
所以$AD// BC$，
所以$∠ DAE=∠ AEB=30°$。
由作图得,$AD=AE$，
所以$∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ DAE)=75°$。
因为$AD// BC$,所以$∠ DEC=∠ ADE=75°$。
又因为$∠ C=75°$，
所以$∠ ADE=∠ DCE,∠ AED=∠ DEC$，
所以$△ ADE∽△ DCE$。
【知识点】
尺规作图；直角三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题结合了作图和几何证明，侧重对基础性质的综合运用，解题时需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，熟练掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要构造∠AEC=150°，先推导其邻补角∠AEB=30°，在Rt△ABE中，30°角所对直角边为斜边的一半，因此AE=2AB，结合已知AD=2AB，只需以A为圆心、AD长为半径画弧，与BC的交点即为所求点E。
(2) 证明三角形相似优先找两组对应角相等：首先由∠BAD和∠B均为90°得AD//BC，可推出内错角相等；再结合AD=AE计算△ADE的内角度数，结合已知∠C=75°，找到两组对应相等的角即可证明相似。
【解析】
(1) 作图依据：以A为圆心，AD长度为半径作弧交BC于E，此时AE=AD=2AB，在Rt△ABE中，∠B=90°，直角边AB为斜边AE的一半，因此∠AEB=30°，故∠AEC=180°-30°=150°，符合要求。
(2) 证明步骤：
① 由∠BAD=∠B=90°，得AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），因此∠DAE=∠AEB=30°；
② 由作图得AD=AE，△ADE为等腰三角形，因此∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}(180°-30°)=75°$；
③ 由AD//BC得∠DEC=∠ADE=75°，结合已知∠C=75°，可得∠ADE=∠DCE，∠AED=∠DEC；
④ 根据两角分别相等的两个三角形相似，即可得△ADE∽△DCE。
【答案】
(1) 如图1,点E即为所求的点。
(2) 证明:连结DE,如图2。
因为$AD=AE,AD=2AB$，
所以$AE=2AB$。
因为$∠ B=90°$,所以$∠ AEB=30°$,所以$∠ AEC=150°$。
因为$∠ BAD=∠ B=90°$，
所以$AD// BC$，
所以$∠ DAE=∠ AEB=30°$。
由作图得,$AD=AE$，
所以$∠ ADE=∠ AED=\frac{1}{2}(180°-∠ DAE)=75°$。
因为$AD// BC$,所以$∠ DEC=∠ ADE=75°$。
又因为$∠ C=75°$，
所以$∠ ADE=∠ DCE,∠ AED=∠ DEC$，
所以$△ ADE∽△ DCE$。
【知识点】
尺规作图；直角三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题结合了作图和几何证明，侧重对基础性质的综合运用，解题时需要结合已知条件逐步推导角的等量关系，熟练掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
12. (17分)如图,在$△ ABC$中,点D,E分别在边AB,AC上,$AD=3$,$BD=1$,$AE=2$,$EC=4$。
(1)求证:$∠ ADE=∠ C$。
(2)若$∠ BAC$的平分线交DE于点F,交BC于点G,求$\frac{AF}{FG}$。
(1)求证:$∠ ADE=∠ C$。
(2)若$∠ BAC$的平分线交DE于点F,交BC于点G,求$\frac{AF}{FG}$。
答案
12. 解:(1)证明:因为$AD=3,BD=1,AE=2,EC=4$，
所以$AB=AD+BD=4,AC=AE+CE=6$，
所以$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{AD}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
又因为$∠ DAE=∠ CAB$，
所以$△ DAE∽△ CAB$，
所以$∠ ADE=∠ C$。
(2)由(1)可得$∠ ADE=∠ C$。
又因为AG平分$∠ BAC$，
所以$∠ DAF=∠ CAG$，
所以$△ ADF∽△ ACG$，
所以$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{AF}{FG}=1$。
所以$AB=AD+BD=4,AC=AE+CE=6$，
所以$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{AD}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
又因为$∠ DAE=∠ CAB$，
所以$△ DAE∽△ CAB$，
所以$∠ ADE=∠ C$。
(2)由(1)可得$∠ ADE=∠ C$。
又因为AG平分$∠ BAC$，
所以$∠ DAF=∠ CAG$，
所以$△ ADF∽△ ACG$，
所以$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{AF}{FG}=1$。
解析
【分析】
(1) 要证明∠ADE=∠C，可通过证明△DAE与△CAB相似推导得出。首先先计算AB、AC的长度，验证两个三角形的两组对应边成比例，再结合公共角相等，即可证明三角形相似，利用相似三角形对应角相等得到结论。
(2) 要求$\frac{AF}{FG}$的比值，已知AG是∠BAC的平分线，可得∠DAF=∠CAG，结合(1)得出的∠ADE=∠C，可证明△ADF∽△ACG，先得到AF与AG的比值，再推导AF和FG的关系即可求出比值。
【解析】
(1) 证明：$\because AD=3,BD=1,AE=2,EC=4$，
$\therefore AB=AD+BD=3+1=4$，$AC=AE+EC=2+4=6$，
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又$\because ∠DAE=∠CAB$（公共角），
$\therefore △DAE∽△CAB$，
$\therefore ∠ADE=∠C$。
(2) 解：$\because AG$平分$∠BAC$，$\therefore ∠DAF=∠CAG$，
由(1)可得$∠ADE=∠C$，
$\therefore △ADF∽△ACG$，
$\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$AG=2AF$，
又$\because AG=AF+FG$，
$\therefore 2AF=AF+FG$，即$AF=FG$，
$\therefore \frac{AF}{FG}=1$。
【答案】
(1) $∠ ADE=∠ C$得证；
(2) $\frac{AF}{FG}=1$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查相似三角形判定与性质的基础应用，解题时先通过边长关系和公共角证明第一组三角形相似得到对应角相等，再结合角平分线的条件证明第二组相似，进而推导线段比值，逻辑连贯，是相似三角形章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明∠ADE=∠C，可通过证明△DAE与△CAB相似推导得出。首先先计算AB、AC的长度，验证两个三角形的两组对应边成比例，再结合公共角相等，即可证明三角形相似，利用相似三角形对应角相等得到结论。
(2) 要求$\frac{AF}{FG}$的比值，已知AG是∠BAC的平分线，可得∠DAF=∠CAG，结合(1)得出的∠ADE=∠C，可证明△ADF∽△ACG，先得到AF与AG的比值，再推导AF和FG的关系即可求出比值。
【解析】
(1) 证明：$\because AD=3,BD=1,AE=2,EC=4$，
$\therefore AB=AD+BD=3+1=4$，$AC=AE+EC=2+4=6$，
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
又$\because ∠DAE=∠CAB$（公共角），
$\therefore △DAE∽△CAB$，
$\therefore ∠ADE=∠C$。
(2) 解：$\because AG$平分$∠BAC$，$\therefore ∠DAF=∠CAG$，
由(1)可得$∠ADE=∠C$，
$\therefore △ADF∽△ACG$，
$\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，即$AG=2AF$，
又$\because AG=AF+FG$，
$\therefore 2AF=AF+FG$，即$AF=FG$，
$\therefore \frac{AF}{FG}=1$。
【答案】
(1) $∠ ADE=∠ C$得证；
(2) $\frac{AF}{FG}=1$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查相似三角形判定与性质的基础应用，解题时先通过边长关系和公共角证明第一组三角形相似得到对应角相等，再结合角平分线的条件证明第二组相似，进而推导线段比值，逻辑连贯，是相似三角形章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.75
