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1. 如果一个扇形的圆心角为$120°$，半径为4 cm，那么这个扇形的面积为（
A.$π\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{4}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{8}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{16}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
D
）A.$π\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{4}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{8}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{16}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
答案
D
解析
【分析】
拿到这道题首先梳理已知条件：题目给出扇形的圆心角为120°，半径为4 cm，要求计算扇形的面积。解题时首先回忆扇形面积的计算公式，已知圆心角度数和半径时，选择公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径）计算最直接，只需将已知数值代入公式按运算规则计算，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：已知扇形圆心角$n=120°$，半径$r=4\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$
将数值代入公式得：
$S=\frac{120×π×4^2}{360}=\frac{120×π×16}{360}=\frac{16}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查扇形面积公式的直接应用，只要熟记公式，代入数值时计算准确即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先梳理已知条件：题目给出扇形的圆心角为120°，半径为4 cm，要求计算扇形的面积。解题时首先回忆扇形面积的计算公式，已知圆心角度数和半径时，选择公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径）计算最直接，只需将已知数值代入公式按运算规则计算，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：已知扇形圆心角$n=120°$，半径$r=4\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式：
$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$
将数值代入公式得：
$S=\frac{120×π×4^2}{360}=\frac{120×π×16}{360}=\frac{16}{3}π\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查扇形面积公式的直接应用，只要熟记公式，代入数值时计算准确即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图,边长为4的正方形OABC的顶点B在$\odot O$上,顶点A,C在$\odot O$内,OA的延长线交$\odot O$于点D,则图中阴影部分的面积为（
A.$2π -4$
B.$4π -8$
C.$4π -4$
D.$2π -4\sqrt{2}$
B
）A.$2π -4$
B.$4π -8$
C.$4π -4$
D.$2π -4\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，采用割补法转化为规则图形的面积差求解。首先根据正方形的性质求出圆O的半径OB，以及扇形OBD的圆心角度数，再分别计算扇形OBD的面积和直角三角形OAB的面积，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵四边形OABC是边长为4的正方形，
∴OA=AB=4，∠OAB=90°，∠AOB=45°，即扇形OBD的圆心角为45°。
由勾股定理可得，$\odot O$的半径$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
观察图形可知：阴影部分面积 = 扇形OBD的面积 - $△ OAB$的面积。
扇形OBD的面积：$S_{扇形}=\frac{45°}{360°}×π× OB^2=\frac{1}{8}×π×(4\sqrt{2})^2=4π$。
$△ OAB$的面积：$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× OA× AB=\frac{1}{2}×4×4=8$。
因此阴影部分面积为$4π-8$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题目，核心思路是通过割补法将不规则面积转化为熟悉的扇形、三角形面积的差，解题时需准确提取正方形隐含的边长、角度信息，正确套用扇形面积公式。
【难度系数】
0.7
阴影部分为不规则图形，采用割补法转化为规则图形的面积差求解。首先根据正方形的性质求出圆O的半径OB，以及扇形OBD的圆心角度数，再分别计算扇形OBD的面积和直角三角形OAB的面积，二者作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵四边形OABC是边长为4的正方形，
∴OA=AB=4，∠OAB=90°，∠AOB=45°，即扇形OBD的圆心角为45°。
由勾股定理可得，$\odot O$的半径$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
观察图形可知：阴影部分面积 = 扇形OBD的面积 - $△ OAB$的面积。
扇形OBD的面积：$S_{扇形}=\frac{45°}{360°}×π× OB^2=\frac{1}{8}×π×(4\sqrt{2})^2=4π$。
$△ OAB$的面积：$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× OA× AB=\frac{1}{2}×4×4=8$。
因此阴影部分面积为$4π-8$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题目，核心思路是通过割补法将不规则面积转化为熟悉的扇形、三角形面积的差，解题时需准确提取正方形隐含的边长、角度信息，正确套用扇形面积公式。
【难度系数】
0.7
3. 如图，点A,B,C在$\odot O$上，$∠ ABC=40°$，连结OA,OC。若$\odot O$的半径为3，则扇形AOC(阴影部分)的面积为
2π
。(结果保留π)答案
2π
解析
【分析】
要求扇形AOC的面积，已知圆的半径为3，只需要求出扇形的圆心角∠AOC的度数即可。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可由已知的圆周角∠ABC的度数求出∠AOC的度数，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：∠AOC=2∠ABC
已知∠ABC=40°，
∴∠AOC=2×40°=80°
又
∵⊙O的半径r=3，扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数）
将n=80，r=3代入得：
$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{80π×3^2}{360}=\frac{80π×9}{360}=2π$
【答案】
2π
【知识点】
圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是先利用圆周角定理求出扇形圆心角的度数，再代入扇形面积公式求解，计算量小，掌握相关基础定理和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要求扇形AOC的面积，已知圆的半径为3，只需要求出扇形的圆心角∠AOC的度数即可。根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可由已知的圆周角∠ABC的度数求出∠AOC的度数，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：∠AOC=2∠ABC
已知∠ABC=40°，
∴∠AOC=2×40°=80°
又
∵⊙O的半径r=3，扇形面积公式为$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数）
将n=80，r=3代入得：
$S_{\mathrm{扇形}AOC}=\frac{80π×3^2}{360}=\frac{80π×9}{360}=2π$
【答案】
2π
【知识点】
圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题是基础计算题，解题的核心是先利用圆周角定理求出扇形圆心角的度数，再代入扇形面积公式求解，计算量小，掌握相关基础定理和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在正方形ABCD中,连结对角线AC和BD相交于点O,分别以点A,C为圆心,以AO的长为半径画弧,分别与正方形的边相交,当AB=2时,图中阴影部分的面积为
4−π
。(结果保留π)答案
4−π
解析
【分析】
本题要求阴影部分的面积，可采用规则图形面积和差法求解：首先利用正方形性质求出正方形面积、扇形半径，再计算两个扇形的面积和，最后用正方形面积减去两个扇形的面积和即可得到阴影面积。解题思路如下：1. 先根据正方形边长计算正方形总面积；2. 用勾股定理求正方形对角线长度，进而得到扇形的半径AO；3. 明确两个扇形的圆心角均为正方形内角90°，计算两个扇形的面积和；4. 作差得到阴影面积。
【解析】
1. 计算正方形的面积：
已知正方形边长$AB=2$，则正方形$ABCD$的面积$S_{\mathrm{正方形}}=AB^2=2×2=4$。
2. 求扇形的半径$AO$：
在正方形中，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=2$，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
因为正方形对角线互相平分，所以$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，即两个扇形的半径均为$\sqrt{2}$。
3. 计算两个扇形的面积和：
两个扇形的圆心角均为正方形的内角$90°$，单个扇形面积$S_{\mathrm{单扇}}=\frac{90°}{360°}×π r^2=\frac{1}{4}×π×(\sqrt{2})^2=\frac{π}{2}$，则两个扇形面积和$S_{\mathrm{扇总}}=2×\frac{π}{2}=π$。
4. 计算阴影面积：
阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{正方形}}-S_{\mathrm{扇总}}=4-π$。
【答案】
$4-π$
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的常规题型，解题核心是将阴影面积转化为规则图形的面积差，需要熟练掌握正方形的基本性质和扇形面积公式，利用图形对称性简化计算。
【难度系数】
0.65
本题要求阴影部分的面积，可采用规则图形面积和差法求解：首先利用正方形性质求出正方形面积、扇形半径，再计算两个扇形的面积和，最后用正方形面积减去两个扇形的面积和即可得到阴影面积。解题思路如下：1. 先根据正方形边长计算正方形总面积；2. 用勾股定理求正方形对角线长度，进而得到扇形的半径AO；3. 明确两个扇形的圆心角均为正方形内角90°，计算两个扇形的面积和；4. 作差得到阴影面积。
【解析】
1. 计算正方形的面积：
已知正方形边长$AB=2$，则正方形$ABCD$的面积$S_{\mathrm{正方形}}=AB^2=2×2=4$。
2. 求扇形的半径$AO$：
在正方形中，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=2$，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
因为正方形对角线互相平分，所以$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，即两个扇形的半径均为$\sqrt{2}$。
3. 计算两个扇形的面积和：
两个扇形的圆心角均为正方形的内角$90°$，单个扇形面积$S_{\mathrm{单扇}}=\frac{90°}{360°}×π r^2=\frac{1}{4}×π×(\sqrt{2})^2=\frac{π}{2}$，则两个扇形面积和$S_{\mathrm{扇总}}=2×\frac{π}{2}=π$。
4. 计算阴影面积：
阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{正方形}}-S_{\mathrm{扇总}}=4-π$。
【答案】
$4-π$
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，不规则图形面积计算
【点评】
本题属于不规则图形面积计算的常规题型，解题核心是将阴影面积转化为规则图形的面积差，需要熟练掌握正方形的基本性质和扇形面积公式，利用图形对称性简化计算。
【难度系数】
0.65
5. 如图,圆心角都是$90°$的扇形$AOB$与扇形$COD$叠放在一起,连结$AC$,$BD$。
(1)求证:$AC=BD$。
(2)若图中阴影部分的面积是$\frac{3}{4}π\ \mathrm{cm}^2$, $OA=2\ \mathrm{cm}$,求$OC$的长。
(1)求证:$AC=BD$。
(2)若图中阴影部分的面积是$\frac{3}{4}π\ \mathrm{cm}^2$, $OA=2\ \mathrm{cm}$,求$OC$的长。
答案
解:(1)证明:因为$∠AOB=∠COD=90°$,
所以$∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD$,
所以$∠AOC=∠BOD$。
在$△AOC$和$△BOD$中,因为$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ CO=DO, \end{cases}$
所以$△AOC≌△BOD(\mathrm{SAS})$,所以$AC=BD$。
(2)根据题意,得
$S_{阴影}=S_{扇形AOB}+S_{△AOC}-S_{扇形COD}-S_{△BOD}$
$=S_{扇形AOB}-S_{扇形COD}$
$=\frac{90π·OA^2}{360}-\frac{90π·OC^2}{360}=\frac{90π·(OA^2-OC^2)}{360}$,
所以$\frac{3}{4}π=\frac{90π×(2^2-OC^2)}{360}$,所以$OC=1\ \mathrm{cm}$。
所以$∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD$,
所以$∠AOC=∠BOD$。
在$△AOC$和$△BOD$中,因为$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ CO=DO, \end{cases}$
所以$△AOC≌△BOD(\mathrm{SAS})$,所以$AC=BD$。
(2)根据题意,得
$S_{阴影}=S_{扇形AOB}+S_{△AOC}-S_{扇形COD}-S_{△BOD}$
$=S_{扇形AOB}-S_{扇形COD}$
$=\frac{90π·OA^2}{360}-\frac{90π·OC^2}{360}=\frac{90π·(OA^2-OC^2)}{360}$,
所以$\frac{3}{4}π=\frac{90π×(2^2-OC^2)}{360}$,所以$OC=1\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 要证明线段相等，通常可证线段所在的三角形全等。观察图形可知AC、BD分别在△AOC和△BOD中，由扇形性质可得OA=OB、OC=OD，再结合两个90°圆心角，通过角的和差可推出两边的夹角相等，即可用SAS判定三角形全等，进而得到AC=BD。
(2) 求OC的长，已知阴影面积，首先利用全等三角形面积相等的性质，可将不规则阴影面积转化为大扇形AOB与小扇形COD的面积差，再代入扇形面积公式列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠AOB=∠COD=90°$，
∴ $∠AOC + ∠AOD = ∠BOD + ∠AOD$，
∴ $∠AOC=∠BOD$。
在$△AOC$和$△BOD$中：
$\begin{cases} OA=OB \\ ∠AOC=∠BOD \\ CO=DO \end{cases}$
∴ $△AOC≌△BOD(\mathrm{SAS})$，
∴ $AC=BD$。
(2) 解：由(1)得$S_{△AOC}=S_{△BOD}$，因此：
$S_{阴影}=S_{扇形AOB}+S_{△AOC}-S_{扇形COD}-S_{△BOD}=S_{扇形AOB}-S_{扇形COD}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$，代入$n=90°$、$OA=2\ \mathrm{cm}$、$S_{阴影}=\frac{3}{4}π\ \mathrm{cm}^2$得：
$\frac{90π·OA^2}{360}-\frac{90π·OC^2}{360}=\frac{3}{4}π$
代入OA=2化简：
$\frac{π(4-OC^2)}{4}=\frac{3}{4}π$
两边约去π后解得$OC^2=1$，结合长度为正，得$OC=1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 已证$AC=BD$；
(2) $OC$的长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；扇形面积计算；一元一次方程求解
【点评】
本题是扇形相关的典型综合题，核心是通过全等三角形的性质实现面积转化，将不规则阴影面积转化为规则扇形的面积差，既考查几何逻辑推理能力，也考查代数运算能力，解题思路清晰，方法具有典型性。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明线段相等，通常可证线段所在的三角形全等。观察图形可知AC、BD分别在△AOC和△BOD中，由扇形性质可得OA=OB、OC=OD，再结合两个90°圆心角，通过角的和差可推出两边的夹角相等，即可用SAS判定三角形全等，进而得到AC=BD。
(2) 求OC的长，已知阴影面积，首先利用全等三角形面积相等的性质，可将不规则阴影面积转化为大扇形AOB与小扇形COD的面积差，再代入扇形面积公式列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠AOB=∠COD=90°$，
∴ $∠AOC + ∠AOD = ∠BOD + ∠AOD$，
∴ $∠AOC=∠BOD$。
在$△AOC$和$△BOD$中：
$\begin{cases} OA=OB \\ ∠AOC=∠BOD \\ CO=DO \end{cases}$
∴ $△AOC≌△BOD(\mathrm{SAS})$，
∴ $AC=BD$。
(2) 解：由(1)得$S_{△AOC}=S_{△BOD}$，因此：
$S_{阴影}=S_{扇形AOB}+S_{△AOC}-S_{扇形COD}-S_{△BOD}=S_{扇形AOB}-S_{扇形COD}$
根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπr^2}{360}$，代入$n=90°$、$OA=2\ \mathrm{cm}$、$S_{阴影}=\frac{3}{4}π\ \mathrm{cm}^2$得：
$\frac{90π·OA^2}{360}-\frac{90π·OC^2}{360}=\frac{3}{4}π$
代入OA=2化简：
$\frac{π(4-OC^2)}{4}=\frac{3}{4}π$
两边约去π后解得$OC^2=1$，结合长度为正，得$OC=1\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 已证$AC=BD$；
(2) $OC$的长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；扇形面积计算；一元一次方程求解
【点评】
本题是扇形相关的典型综合题，核心是通过全等三角形的性质实现面积转化，将不规则阴影面积转化为规则扇形的面积差，既考查几何逻辑推理能力，也考查代数运算能力，解题思路清晰，方法具有典型性。
【难度系数】
0.7
