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例1 如图，点A,B,C均在$\odot O$上，直径$AB=4$，$∠ ABC=15°$，则图中阴影部分的面积为（
A.$\frac{π}{6}$
B.$\frac{π}{3}$
C.$\frac{π}{2}$
D.$\frac{π}{4}$
例1题图 变式题图
B
）A.$\frac{π}{6}$
B.$\frac{π}{3}$
C.$\frac{π}{2}$
D.$\frac{π}{4}$
例1题图 变式题图
答案
B
解析
【分析】
求解阴影部分面积，首先判断阴影为规则的扇形，因此只需确定扇形的半径和对应圆心角，代入扇形面积公式计算即可。第一步先由直径长度求出圆的半径；第二步利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠ABC求出扇形对应的圆心角度数；第三步代入扇形面积公式计算得出结果。
【解析】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，
∴⊙O的半径$r=\frac{AB}{2}=2$，
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOC=2∠ ABC$，
已知$∠ ABC=15°$，
∴$∠ AOC=2×15°=30°$，
阴影部分为扇形AOC，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），
代入$n=30°$，$r=2$得：
$S_{阴影}=\frac{30×π×2^2}{360}=\frac{π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，圆的基本性质
【点评】
本题是扇形面积计算的常规题型，核心是将阴影面积转化为规则扇形面积求解，解题关键是利用圆周角定理快速得到扇形圆心角，熟记相关公式即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
求解阴影部分面积，首先判断阴影为规则的扇形，因此只需确定扇形的半径和对应圆心角，代入扇形面积公式计算即可。第一步先由直径长度求出圆的半径；第二步利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠ABC求出扇形对应的圆心角度数；第三步代入扇形面积公式计算得出结果。
【解析】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，
∴⊙O的半径$r=\frac{AB}{2}=2$，
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴$∠ AOC=2∠ ABC$，
已知$∠ ABC=15°$，
∴$∠ AOC=2×15°=30°$，
阴影部分为扇形AOC，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），
代入$n=30°$，$r=2$得：
$S_{阴影}=\frac{30×π×2^2}{360}=\frac{π}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，扇形面积计算，圆的基本性质
【点评】
本题是扇形面积计算的常规题型，核心是将阴影面积转化为规则扇形面积求解，解题关键是利用圆周角定理快速得到扇形圆心角，熟记相关公式即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
变式 如图,在$4×4$的方格中(共有16个小方格),每个小方格都是边长为1的正方形,$O$,$A$,$B$分别是小正方形的顶点,则扇形$AOB$的面积等于（
A.$2π$
B.$\sqrt{2}π$
C.$2\sqrt{2}π$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}π$
A
）A.$2π$
B.$\sqrt{2}π$
C.$2\sqrt{2}π$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}π$
答案
A
解析
【分析】
要求扇形OAB的面积，需先确定扇形的半径和圆心角两个核心要素：第一步，借助方格边长为1的条件，利用勾股定理求出OA、OB的长度，即扇形的半径；第二步，结合网格特征判断∠AOB的度数；最后将圆心角和半径代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵每个小方格的边长为1，
∴由勾股定理可得：$OA=OB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
观察网格可得：$∠AOB=90°$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），代入$n=90$，$r=2\sqrt{2}$得：
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{90×π×(2\sqrt{2})^2}{360}=\frac{90×π×8}{360}=2π$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、扇形面积计算、直角的判定
【点评】
这道题以方格为背景考查扇形面积的求解，解题的核心是准确获取扇形的半径和圆心角，只要熟练掌握相关公式和网格中线段、角度的计算方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要求扇形OAB的面积，需先确定扇形的半径和圆心角两个核心要素：第一步，借助方格边长为1的条件，利用勾股定理求出OA、OB的长度，即扇形的半径；第二步，结合网格特征判断∠AOB的度数；最后将圆心角和半径代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵每个小方格的边长为1，
∴由勾股定理可得：$OA=OB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
观察网格可得：$∠AOB=90°$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径），代入$n=90$，$r=2\sqrt{2}$得：
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{90×π×(2\sqrt{2})^2}{360}=\frac{90×π×8}{360}=2π$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、扇形面积计算、直角的判定
【点评】
这道题以方格为背景考查扇形面积的求解，解题的核心是准确获取扇形的半径和圆心角，只要熟练掌握相关公式和网格中线段、角度的计算方法就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
例2 如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=2,若以点B为圆心,OB的长为半径画弧,交$\overset{\frown}{AB}$于点C,连结BC,则图中阴影部分的面积是 (
A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{6}$
D.$\frac{π}{12}$
A
)A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{π}{4}$
C.$\frac{π}{6}$
D.$\frac{π}{12}$
答案
A
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，通常采用割补法转化为规则图形面积的差或和。首先观察图形特征：扇形AOB中∠AOB=90°，半径OA=OB=2；以B为圆心、OB为半径画弧，可得OB=BC=OC（OC是扇形AOB的半径），因此△OBC是等边三角形，可求出∠BOC的度数，再将阴影面积转化为扇形AOB与扇形BOC的面积差计算即可。
【解析】
解：连接OC，
∵OB=OC（扇形AOB的半径相等），OB=BC（扇形BOC的半径相等），
∴OB=OC=BC，即△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
已知OA=OB=2，∠AOB=90°，
阴影部分的面积 = 扇形AOB的面积 - 扇形BOC的面积
扇形AOB面积：$S_{扇形AOB}=\frac{90π × 2^2}{360}=π$
扇形BOC面积：$S_{扇形BOC}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
∴$S_{阴影}=π - \frac{2π}{3}=\frac{π}{3}$
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算、等边三角形判定与性质、割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题关键是通过连接辅助线OC，判断出△OBC是等边三角形，将不规则阴影面积转化为两个规则扇形的面积差，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要求不规则阴影部分的面积，通常采用割补法转化为规则图形面积的差或和。首先观察图形特征：扇形AOB中∠AOB=90°，半径OA=OB=2；以B为圆心、OB为半径画弧，可得OB=BC=OC（OC是扇形AOB的半径），因此△OBC是等边三角形，可求出∠BOC的度数，再将阴影面积转化为扇形AOB与扇形BOC的面积差计算即可。
【解析】
解：连接OC，
∵OB=OC（扇形AOB的半径相等），OB=BC（扇形BOC的半径相等），
∴OB=OC=BC，即△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
已知OA=OB=2，∠AOB=90°，
阴影部分的面积 = 扇形AOB的面积 - 扇形BOC的面积
扇形AOB面积：$S_{扇形AOB}=\frac{90π × 2^2}{360}=π$
扇形BOC面积：$S_{扇形BOC}=\frac{60π × 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
∴$S_{阴影}=π - \frac{2π}{3}=\frac{π}{3}$
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算、等边三角形判定与性质、割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题关键是通过连接辅助线OC，判断出△OBC是等边三角形，将不规则阴影面积转化为两个规则扇形的面积差，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
变式1 如图，点B在半圆O上，直径AC=10，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（
A.$5π$
B.$\frac{5}{2}π$
C.$10π$
D.$\frac{5}{4}π$
A
）A.$5π$
B.$\frac{5}{2}π$
C.$10π$
D.$\frac{5}{4}π$
答案
A
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影为扇形，解题思路如下：第一步先根据直径求出半圆的半径；第二步利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出扇形对应的圆心角度数；第三步将圆心角和半径代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AC是半圆O的直径，AC=10，
∴半圆O的半径$r = \frac{AC}{2} = 5$。
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC = 2∠ BAC = 2×36° = 72°$。
代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），得阴影部分面积：
$S=\frac{72×π×5^2}{360}=\frac{72×25π}{360}=5π$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆周角定理与扇形面积公式的结合应用，解题的核心是准确找到扇形对应的圆心角与半径，代入公式计算即可，是圆相关面积计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知阴影为扇形，解题思路如下：第一步先根据直径求出半圆的半径；第二步利用圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出扇形对应的圆心角度数；第三步将圆心角和半径代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AC是半圆O的直径，AC=10，
∴半圆O的半径$r = \frac{AC}{2} = 5$。
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC = 2∠ BAC = 2×36° = 72°$。
代入扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），得阴影部分面积：
$S=\frac{72×π×5^2}{360}=\frac{72×25π}{360}=5π$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆周角定理与扇形面积公式的结合应用，解题的核心是准确找到扇形对应的圆心角与半径，代入公式计算即可，是圆相关面积计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
变式2 如图，四边形ABCD和四边形BEFC都是边长为2的正方形。以点B为圆心、AB的长为半径的圆与正方形ABCD交于A，C两点，连结AF，则图中阴影部分的面积为 。
答案
π
解析
【分析】
解题时首先观察阴影部分是不规则图形，可通过等积变换转化为规则图形计算：因为四边形ABCD和BEFC都是边长为2的正方形，可得△ABC和△FBC同底等高，面积相等，因此阴影部分的面积等价于圆心角为90°、半径为2的扇形BAC的面积，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∵四边形BEFC是边长为2的正方形，
∴点F到BC的距离等于AB的长度（均为2），
∴△ABC与△FBC同底等高，即$S_{△ ABC}=S_{△ FBC}$，
∴阴影部分的面积等于扇形BAC的面积，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角$n=90°$，半径$r=2$，代入得：
$S_{阴影}=S_{扇形BAC}=\frac{90π×2^2}{360}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
正方形的性质，等积变换求面积，扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常考题型，核心是通过等积转化将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，降低计算难度，解题的关键是找到两个面积相等的三角形完成转化。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察阴影部分是不规则图形，可通过等积变换转化为规则图形计算：因为四边形ABCD和BEFC都是边长为2的正方形，可得△ABC和△FBC同底等高，面积相等，因此阴影部分的面积等价于圆心角为90°、半径为2的扇形BAC的面积，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∵四边形BEFC是边长为2的正方形，
∴点F到BC的距离等于AB的长度（均为2），
∴△ABC与△FBC同底等高，即$S_{△ ABC}=S_{△ FBC}$，
∴阴影部分的面积等于扇形BAC的面积，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，其中圆心角$n=90°$，半径$r=2$，代入得：
$S_{阴影}=S_{扇形BAC}=\frac{90π×2^2}{360}=π$。
【答案】
$π$
【知识点】
正方形的性质，等积变换求面积，扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常考题型，核心是通过等积转化将不规则阴影面积转化为规则的扇形面积，降低计算难度，解题的关键是找到两个面积相等的三角形完成转化。
【难度系数】
0.7
例3 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ A=60°,AB=2$,将$Rt△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$后得到$Rt△ DEC$,点$B$经过的路径为$\overset{\frown}{BE}$,将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$60°$后,点$B$恰好落在$CE$上的点$F$处,点$B$经过的路径为$\overset{\frown}{BF}$,则图中阴影部分的面积是 (
A.$\frac{1}{12}π + \sqrt{3}$
B.$\frac{3}{4}π - \frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{17}{12}π - \sqrt{3}$
D.$\frac{1}{12}π + \frac{\sqrt{3}}{2}$
例3题图
例4题图
D
)A.$\frac{1}{12}π + \sqrt{3}$
B.$\frac{3}{4}π - \frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{17}{12}π - \sqrt{3}$
D.$\frac{1}{12}π + \frac{\sqrt{3}}{2}$
例3题图
例4题图
答案
D
【解析】因为$∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2$,
所以$∠ABC=30°$,
所以$AC=1,BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
由题图可得,
$S_{阴影}=S_{△ABC}+S_{扇形BCE}-S_{扇形BAF}$
$=\frac{1×\sqrt{3}}{2}+\frac{90π×(\sqrt{3})^2}{360}-\frac{60π×2^2}{360}$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3π}{4}-\frac{2}{3}π$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{12}π$。
【解析】因为$∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2$,
所以$∠ABC=30°$,
所以$AC=1,BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
由题图可得,
$S_{阴影}=S_{△ABC}+S_{扇形BCE}-S_{扇形BAF}$
$=\frac{1×\sqrt{3}}{2}+\frac{90π×(\sqrt{3})^2}{360}-\frac{60π×2^2}{360}$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3π}{4}-\frac{2}{3}π$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{12}π$。
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，我们采用割补法转化为规则图形的面积和差来求解：首先利用Rt△ABC的角度、边长条件，求出AC和BC的长度；再结合旋转的性质分析面积关系：阴影部分的面积等于Rt△ABC的面积加上扇形BCE的面积，再减去扇形BAF的面积（旋转后△DEC与△ABC全等，二者重叠部分相互抵消，剩余面积即为阴影面积）；最后分别代入三角形、扇形的面积公式计算，合并结果即可得到答案。
【解析】
∵在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠A=60°,AB=2$,
∴$∠ABC=30°$,
∴$AC=\frac{1}{2}AB=1$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据图形面积关系可得：
$S_{阴影}=S_{△ABC}+S_{扇形BCE}-S_{扇形BAF}$
分别计算各部分面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1×\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
扇形BCE的圆心角为旋转角$90°$，半径为$BC=\sqrt{3}$，故$S_{扇形BCE}=\frac{90π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{3π}{4}$
扇形BAF的圆心角为旋转角$60°$，半径为$AB=2$，故$S_{扇形BAF}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
代入得：
$S_{阴影}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3π}{4}-\frac{2}{3}π=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{12}π$
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质、扇形面积计算、解直角三角形
【点评】
本题属于与旋转结合的不规则图形面积计算问题，核心是运用割补法将阴影面积转化为规则图形的面积和差，解题时要注意准确识别两个扇形的圆心角和对应半径，避免代入数据出错。
【难度系数】
0.7
要求不规则阴影部分的面积，我们采用割补法转化为规则图形的面积和差来求解：首先利用Rt△ABC的角度、边长条件，求出AC和BC的长度；再结合旋转的性质分析面积关系：阴影部分的面积等于Rt△ABC的面积加上扇形BCE的面积，再减去扇形BAF的面积（旋转后△DEC与△ABC全等，二者重叠部分相互抵消，剩余面积即为阴影面积）；最后分别代入三角形、扇形的面积公式计算，合并结果即可得到答案。
【解析】
∵在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠A=60°,AB=2$,
∴$∠ABC=30°$,
∴$AC=\frac{1}{2}AB=1$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
根据图形面积关系可得：
$S_{阴影}=S_{△ABC}+S_{扇形BCE}-S_{扇形BAF}$
分别计算各部分面积：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1×\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
扇形BCE的圆心角为旋转角$90°$，半径为$BC=\sqrt{3}$，故$S_{扇形BCE}=\frac{90π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{3π}{4}$
扇形BAF的圆心角为旋转角$60°$，半径为$AB=2$，故$S_{扇形BAF}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
代入得：
$S_{阴影}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3π}{4}-\frac{2}{3}π=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{12}π$
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质、扇形面积计算、解直角三角形
【点评】
本题属于与旋转结合的不规则图形面积计算问题，核心是运用割补法将阴影面积转化为规则图形的面积和差，解题时要注意准确识别两个扇形的圆心角和对应半径，避免代入数据出错。
【难度系数】
0.7
例4 如图，矩形ABCD内接于$\odot O$，分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆。若$AB=3$，$BC=4$，则阴影部分的面积是
变式 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，分别以边AC，BC，AB为直径画圆。记两个月牙形图案ADCE和CGBF面积之和(图中阴影部分)为$S_1$，$△ ABC$的面积为$S_2$，则$S_1$
12
。变式 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，分别以边AC，BC，AB为直径画圆。记两个月牙形图案ADCE和CGBF面积之和(图中阴影部分)为$S_1$，$△ ABC$的面积为$S_2$，则$S_1$
=
$S_2$。(填“＞”“=”或“＜”)答案
12；=
解析
【分析】
例4：求解阴影面积时，可通过割补法转化为规则图形面积的和差：阴影面积=4个以矩形边长为直径的外作半圆面积之和 + 矩形面积 - 矩形外接圆的面积。先由勾股定理算出矩形对角线即外接圆的直径，再分别计算各圆的面积，可发现两个小整圆的面积和等于外接圆面积，二者抵消后阴影面积就等于矩形面积。
变式：与例4思路一致，阴影面积$S_1$=以AC、BC为直径的两个半圆面积 + $△ ABC$面积$S_2$ - 以AB为直径的大半圆面积。结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，可推出两个小半圆的面积和等于大半圆面积，抵消后即可得到$S_1$与$S_2$的大小关系。
【解析】
例4解答：
1. 矩形ABCD中，$AB=3$，$BC=4$，$∠ ABC=90°$，由勾股定理得外接圆直径$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，外接圆半径$R=\frac{5}{2}$。
2. 计算四个外作半圆的总面积：两个以AB为直径的半圆可拼成1个整圆，面积为$π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9π}{4}$；两个以BC为直径的半圆可拼成1个整圆，面积为$π×(\frac{4}{2})^2=4π$，四个半圆总面积为$\frac{9π}{4}+4π=\frac{25π}{4}$。
3. 外接圆面积为$π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{4}$。
4. 阴影面积$= \frac{25π}{4} + 3×4 - \frac{25π}{4}=12$。
变式解答：
设$AC=b$，$BC=a$，$AB=c$，$△ ABC$中$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$。
$S_1=$以AC为直径的半圆面积 + 以BC为直径的半圆面积 + $S_2$ - 以AB为直径的半圆面积
代入圆面积公式得：
$S_1=\frac{1}{2}π×(\frac{b}{2})^2 + \frac{1}{2}π×(\frac{a}{2})^2 + S_2 - \frac{1}{2}π×(\frac{c}{2})^2$
$=\frac{π}{8}(a^2+b^2-c^2)+S_2$
因为$a^2+b^2=c^2$，所以$\frac{π}{8}(a^2+b^2-c^2)=0$，即$S_1=S_2$，故填“=”。
【答案】
$12$；$=$
【知识点】
勾股定理，圆的面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
这两道是阴影面积计算的经典题型，核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，结合勾股定理发现圆面积的等量关系，省去计算π相关项的步骤，大幅简化计算，掌握该类模型可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
例4：求解阴影面积时，可通过割补法转化为规则图形面积的和差：阴影面积=4个以矩形边长为直径的外作半圆面积之和 + 矩形面积 - 矩形外接圆的面积。先由勾股定理算出矩形对角线即外接圆的直径，再分别计算各圆的面积，可发现两个小整圆的面积和等于外接圆面积，二者抵消后阴影面积就等于矩形面积。
变式：与例4思路一致，阴影面积$S_1$=以AC、BC为直径的两个半圆面积 + $△ ABC$面积$S_2$ - 以AB为直径的大半圆面积。结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，可推出两个小半圆的面积和等于大半圆面积，抵消后即可得到$S_1$与$S_2$的大小关系。
【解析】
例4解答：
1. 矩形ABCD中，$AB=3$，$BC=4$，$∠ ABC=90°$，由勾股定理得外接圆直径$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，外接圆半径$R=\frac{5}{2}$。
2. 计算四个外作半圆的总面积：两个以AB为直径的半圆可拼成1个整圆，面积为$π×(\frac{3}{2})^2=\frac{9π}{4}$；两个以BC为直径的半圆可拼成1个整圆，面积为$π×(\frac{4}{2})^2=4π$，四个半圆总面积为$\frac{9π}{4}+4π=\frac{25π}{4}$。
3. 外接圆面积为$π×(\frac{5}{2})^2=\frac{25π}{4}$。
4. 阴影面积$= \frac{25π}{4} + 3×4 - \frac{25π}{4}=12$。
变式解答：
设$AC=b$，$BC=a$，$AB=c$，$△ ABC$中$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$。
$S_1=$以AC为直径的半圆面积 + 以BC为直径的半圆面积 + $S_2$ - 以AB为直径的半圆面积
代入圆面积公式得：
$S_1=\frac{1}{2}π×(\frac{b}{2})^2 + \frac{1}{2}π×(\frac{a}{2})^2 + S_2 - \frac{1}{2}π×(\frac{c}{2})^2$
$=\frac{π}{8}(a^2+b^2-c^2)+S_2$
因为$a^2+b^2=c^2$，所以$\frac{π}{8}(a^2+b^2-c^2)=0$，即$S_1=S_2$，故填“=”。
【答案】
$12$；$=$
【知识点】
勾股定理，圆的面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
这两道是阴影面积计算的经典题型，核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，结合勾股定理发现圆面积的等量关系，省去计算π相关项的步骤，大幅简化计算，掌握该类模型可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
