登录
2.如图，BD平分$∠ ABC$，$AB=BC$，点P在BD上，$PM⊥ AD$，$PN⊥ CD$，M，N为垂足。求证：$PM=PN$。
答案
证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS）。
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
又∵ 点P在BD上，$PM⊥AD$，$PN⊥CD$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $PM=PN$。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS）。
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
又∵ 点P在BD上，$PM⊥AD$，$PN⊥CD$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $PM=PN$。
解析
【分析】
要证明PM=PN，首先观察到PM、PN是点P到∠ADC两边的垂线段，结合角平分线的性质，只需先证明BD平分∠ADC，即证∠ADB=∠CDB。要得到这组角相等，可通过证明△ABD和△CBD全等实现：已知BD平分∠ABC可得∠ABD=∠CBD，结合已知AB=BC、公共边BD，满足SAS全等判定的条件，即可逐步推导得到结论。
【解析】
证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS）。
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
又
∵ 点P在BD上，$PM⊥AD$，$PN⊥CD$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $PM=PN$。
【答案】
证明过程如上所述，可证得$PM=PN$。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是先通过三角形全等得到对应角相等，再利用角平分线的性质得到两条垂线段相等，侧重考察基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
要证明PM=PN，首先观察到PM、PN是点P到∠ADC两边的垂线段，结合角平分线的性质，只需先证明BD平分∠ADC，即证∠ADB=∠CDB。要得到这组角相等，可通过证明△ABD和△CBD全等实现：已知BD平分∠ABC可得∠ABD=∠CBD，结合已知AB=BC、公共边BD，满足SAS全等判定的条件，即可逐步推导得到结论。
【解析】
证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC, \\∠ABD = ∠CBD, \\BD = BD,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △CBD（SAS）。
∴ ∠ADB = ∠CDB，即BD平分∠ADC。
又
∵ 点P在BD上，$PM⊥AD$，$PN⊥CD$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $PM=PN$。
【答案】
证明过程如上所述，可证得$PM=PN$。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是先通过三角形全等得到对应角相等，再利用角平分线的性质得到两条垂线段相等，侧重考察基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
1.如图，∠B=∠D=90°，根据角平分线的性质填空：
(1)若∠1=∠2，则 = ；
(2)若∠3=∠4，则 = 。
(1)若∠1=∠2，则 = ；
(2)若∠3=∠4，则 = 。
答案
解：
根据角平分线上的点到角两边的距离相等：
(1) 若$∠ 1=∠ 2$，点$C$在$∠ BAD$的平分线上，且$CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$，则$\boldsymbol{BC}=\boldsymbol{DC}$；
(2) 若$∠ 3=∠ 4$，点$A$在$∠ BCD$的平分线上，且$AB⊥ CB$，$AD⊥ CD$，则$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{AD}$。
根据角平分线上的点到角两边的距离相等：
(1) 若$∠ 1=∠ 2$，点$C$在$∠ BAD$的平分线上，且$CB⊥ AB$，$CD⊥ AD$，则$\boldsymbol{BC}=\boldsymbol{DC}$；
(2) 若$∠ 3=∠ 4$，点$A$在$∠ BCD$的平分线上，且$AB⊥ CB$，$AD⊥ CD$，则$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{AD}$。
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
(1) 若∠1=∠2，说明AC是∠BAD的角平分线，点C在∠BAD的平分线上，结合已知∠B=∠D=90°，可知CB是点C到AB的垂线段、CD是点C到AD的垂线段，二者是点C到∠BAD两边的距离，根据性质即可得两条线段相等。
(2) 若∠3=∠4，说明AC是∠BCD的角平分线，点A在∠BCD的平分线上，∠B=∠D=90°说明AB是点A到BC的垂线段、AD是点A到CD的垂线段，二者是点A到∠BCD两边的距离，根据性质即可得两条线段相等。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知∠B=∠D=90°，分析如下：
(1) 若∠1=∠2，可得AC平分∠BAD，点C在∠BAD的角平分线上，且CB⊥AB，CD⊥AD，因此点C到∠BAD两边AB、AD的距离相等，即BC=DC；
(2) 若∠3=∠4，可得AC平分∠BCD，点A在∠BCD的角平分线上，且AB⊥CB，AD⊥CD，因此点A到∠BCD两边CB、CD的距离相等，即AB=AD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BC}$，$\boldsymbol{DC}$；(2) $\boldsymbol{AB}$，$\boldsymbol{AD}$
【知识点】
角平分线的性质，点到直线的距离，垂直的定义
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是准确找到对应的角平分线、角平分线上的点，以及该点到角两边的垂线段，注意只有满足“点在角平分线上”和“线段是点到角两边的垂线段”两个条件时，才能使用该性质得到线段相等。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
(1) 若∠1=∠2，说明AC是∠BAD的角平分线，点C在∠BAD的平分线上，结合已知∠B=∠D=90°，可知CB是点C到AB的垂线段、CD是点C到AD的垂线段，二者是点C到∠BAD两边的距离，根据性质即可得两条线段相等。
(2) 若∠3=∠4，说明AC是∠BCD的角平分线，点A在∠BCD的平分线上，∠B=∠D=90°说明AB是点A到BC的垂线段、AD是点A到CD的垂线段，二者是点A到∠BCD两边的距离，根据性质即可得两条线段相等。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知∠B=∠D=90°，分析如下：
(1) 若∠1=∠2，可得AC平分∠BAD，点C在∠BAD的角平分线上，且CB⊥AB，CD⊥AD，因此点C到∠BAD两边AB、AD的距离相等，即BC=DC；
(2) 若∠3=∠4，可得AC平分∠BCD，点A在∠BCD的角平分线上，且AB⊥CB，AD⊥CD，因此点A到∠BCD两边CB、CD的距离相等，即AB=AD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BC}$，$\boldsymbol{DC}$；(2) $\boldsymbol{AB}$，$\boldsymbol{AD}$
【知识点】
角平分线的性质，点到直线的距离，垂直的定义
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是准确找到对应的角平分线、角平分线上的点，以及该点到角两边的垂线段，注意只有满足“点在角平分线上”和“线段是点到角两边的垂线段”两个条件时，才能使用该性质得到线段相等。
【难度系数】
0.9
2.如图，已知$△ ABC$的周长是16，OB，OC分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$，$OD ⊥ BC$于点D且$OD=2$，则$△ ABC$的面积是。
答案
$\boldsymbol{16}$
解析
【分析】
遇到角平分线和点到角边的垂线时，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此O到△ABC三边的距离都等于OD的长度。要求△ABC的面积，可将其拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积之和，结合已知的△ABC周长和三个小三角形的高，即可求出总面积。
【解析】
连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE = OD = 2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵OC平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF = OD = 2。
△ABC的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE + \frac{1}{2}× BC× OD + \frac{1}{2}× AC× OF$
将OE=OF=OD=2代入得：
$=\frac{1}{2}× 2× AB + \frac{1}{2}× 2× BC + \frac{1}{2}× 2× AC$
$=AB + BC + AC$
已知△ABC的周长为16，即$AB+BC+AC=16$，因此$S_{△ ABC}=16$。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是利用角平分线的性质得到三角形内部点到三边的距离相等，再通过拆分大三角形面积，结合周长条件整体计算，方法巧妙，是角平分线相关考点的常见考法。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线和点到角边的垂线时，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此O到△ABC三边的距离都等于OD的长度。要求△ABC的面积，可将其拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积之和，结合已知的△ABC周长和三个小三角形的高，即可求出总面积。
【解析】
连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE = OD = 2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵OC平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF = OD = 2。
△ABC的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$
$=\frac{1}{2}× AB× OE + \frac{1}{2}× BC× OD + \frac{1}{2}× AC× OF$
将OE=OF=OD=2代入得：
$=\frac{1}{2}× 2× AB + \frac{1}{2}× 2× BC + \frac{1}{2}× 2× AC$
$=AB + BC + AC$
已知△ABC的周长为16，即$AB+BC+AC=16$，因此$S_{△ ABC}=16$。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、等面积法
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是利用角平分线的性质得到三角形内部点到三边的距离相等，再通过拆分大三角形面积，结合周长条件整体计算，方法巧妙，是角平分线相关考点的常见考法。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,$DE$垂直$AB$于点$E$,若$DE=1.5\ \mathrm{cm}$,$BD=3\ \mathrm{cm}$,则$BC=(\quad)$
A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$7.5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$4.5\ \mathrm{cm}$
A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$7.5\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$4.5\ \mathrm{cm}$
答案
D
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AD是∠BAC的角平分线，∠ACB=90°即DC垂直AC，同时DE垂直AB，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此可推出DC与DE长度相等；再观察线段BC的构成，BC由BD和DC两段组成，代入已知的BD长度和求出的DC长度相加，即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：$DC=DE=1.5\ \mathrm{cm}$，
又
∵$BC=BD+DC$，已知$BD=3\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=3+1.5=4.5\ \mathrm{cm}$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线性质的直接应用，只要熟练掌握角平分线的性质，结合图形理清线段的和差关系就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：AD是∠BAC的角平分线，∠ACB=90°即DC垂直AC，同时DE垂直AB，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此可推出DC与DE长度相等；再观察线段BC的构成，BC由BD和DC两段组成，代入已知的BD长度和求出的DC长度相加，即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：$DC=DE=1.5\ \mathrm{cm}$，
又
∵$BC=BD+DC$，已知$BD=3\ \mathrm{cm}$，
∴$BC=3+1.5=4.5\ \mathrm{cm}$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线性质的直接应用，只要熟练掌握角平分线的性质，结合图形理清线段的和差关系就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图,已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分∠AOB,作法顺序合理的是()
①作射线OC;②以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于M,N;③分别以M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在∠AOB内部交于点C.
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①
①作射线OC;②以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于M,N;③分别以M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在∠AOB内部交于点C.
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①
答案
C
解析
【分析】
这是考查角平分线尺规作图步骤的题目，解题时需牢记角平分线的标准作图流程：首先要在角的两边确定交点M、N，再通过画弧找到角内部的交点C，最后过顶点和交点作射线得到角平分线，按这个逻辑就能确定步骤顺序。
【解析】
角平分线的尺规作图正确顺序如下：
第一步：以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于M，N，对应步骤②；
第二步：分别以M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C，对应步骤③；
第三步：作射线OC，此时OC就是∠AOB的角平分线，对应步骤①。
因此作法顺序为②③①，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查角平分线的基本作图步骤，熟练掌握常见尺规作图的操作流程即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这是考查角平分线尺规作图步骤的题目，解题时需牢记角平分线的标准作图流程：首先要在角的两边确定交点M、N，再通过画弧找到角内部的交点C，最后过顶点和交点作射线得到角平分线，按这个逻辑就能确定步骤顺序。
【解析】
角平分线的尺规作图正确顺序如下：
第一步：以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于M，N，对应步骤②；
第二步：分别以M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C，对应步骤③；
第三步：作射线OC，此时OC就是∠AOB的角平分线，对应步骤①。
因此作法顺序为②③①，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查角平分线的基本作图步骤，熟练掌握常见尺规作图的操作流程即可快速作答。
【难度系数】
0.9
5.如图，$AB// CD$，BP和CP分别平分$∠ ABC$和$∠ DCB$，AD过点P，且与AB垂直.若AD＝8，则点P到BC的距离是()
A.8
B.6
C.4
D.2
A.8
B.6
C.4
D.2
答案
C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件联想相关性质：首先由AB//CD、AD⊥AB可推出AD⊥CD，即PA是点P到AB的距离，PD是点P到CD的距离。要求点P到BC的距离，我们可以过点P作PE⊥BC于E，再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PA=PE、PD=PE，进而得到PE与AD的数量关系，即可求出结果。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E。
∵AB//CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD（两直线平行，同旁内角互补）。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴PA=PD=PE，
又
∵AD=PA+PD=8，
∴PE=8÷2=4，即点P到BC的距离是4。
【答案】
C
【知识点】
1.角平分线的性质
2.平行线的性质
3.点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是通过作辅助线构造出点到直线的垂线段，再结合角平分线性质得到各垂线段的等量关系即可求解，是角平分线相关知识的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件联想相关性质：首先由AB//CD、AD⊥AB可推出AD⊥CD，即PA是点P到AB的距离，PD是点P到CD的距离。要求点P到BC的距离，我们可以过点P作PE⊥BC于E，再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PA=PE、PD=PE，进而得到PE与AD的数量关系，即可求出结果。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E。
∵AB//CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD（两直线平行，同旁内角互补）。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴PA=PD=PE，
又
∵AD=PA+PD=8，
∴PE=8÷2=4，即点P到BC的距离是4。
【答案】
C
【知识点】
1.角平分线的性质
2.平行线的性质
3.点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是通过作辅助线构造出点到直线的垂线段，再结合角平分线性质得到各垂线段的等量关系即可求解，是角平分线相关知识的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
6.如图，AB//CD，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别为E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠C＝150°，则∠CMA等于（）
A.45°
B.30°
C.15°
D.20°
A.45°
B.30°
C.15°
D.20°
答案
C
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的类型：题目描述的是角平分线的标准尺规作图步骤，因此射线AP是∠BAC的角平分线，可得∠BAM=∠CAM。接下来结合AB//CD的条件，先利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠BAC的度数，再通过角平分线的定义得到∠BAM的度数，最后利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠CMA的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，AP是∠BAC的角平分线，因此$∠ BAM = ∠ CAM$。
2. 已知$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ C + ∠ BAC = 180°$。
代入$∠ C=150°$，计算得$∠ BAC = 180° - 150° = 30°$。
3. 根据角平分线的定义，$∠ BAM = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×30° = 15°$。
4. 又因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ CMA = ∠ BAM = 15°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线尺规作图、平行线的性质、角平分线定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是先通过作图步骤准确判断出AP为角平分线，再结合平行线的角度性质逐步推导计算，考查学生对基础作图和几何性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的类型：题目描述的是角平分线的标准尺规作图步骤，因此射线AP是∠BAC的角平分线，可得∠BAM=∠CAM。接下来结合AB//CD的条件，先利用“两直线平行，同旁内角互补”求出∠BAC的度数，再通过角平分线的定义得到∠BAM的度数，最后利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠CMA的度数。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，AP是∠BAC的角平分线，因此$∠ BAM = ∠ CAM$。
2. 已知$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ C + ∠ BAC = 180°$。
代入$∠ C=150°$，计算得$∠ BAC = 180° - 150° = 30°$。
3. 根据角平分线的定义，$∠ BAM = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×30° = 15°$。
4. 又因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ CMA = ∠ BAM = 15°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线尺规作图、平行线的性质、角平分线定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是先通过作图步骤准确判断出AP为角平分线，再结合平行线的角度性质逐步推导计算，考查学生对基础作图和几何性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
