例1 如图,已知$∠ AOB$,求作$∠ AOB$的平分线.

【思路导析】要作射线平分$∠ AOB$,可使平分的两个角放在两个全等的三角形里,因此可用全等的判定方法来作出图形.
【请你解答】

解：
作法：
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E。
2. 分别以点D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3. 画射线OC。
射线OC即为所求作的∠AOB的平分线。
证明：连接DC、EC，
在△ODC和△OEC中，
$\{\begin{array}{l}OD=OE \\DC=EC \\OC=OC\end{array} $
∴△ODC≌△OEC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，即OC平分∠AOB。

【分析】
要作∠AOB的平分线，本质是得到过点O且将∠AOB分为两个相等角的射线，我们可以通过构造全等三角形实现：利用SSS全等判定构造两个三边分别相等的三角形，通过全等三角形对应角相等得到等角。首先在OA、OB上截取等长的线段OD、OE，得到第一组等边；再找一点C使得CD=CE，得到第二组等边；OC为公共边，即可证明△ODC≌△OEC，得到∠AOC=∠BOC。作图时需注意，以D、E为圆心画弧时半径要大于$\frac{1}{2}DE$，避免两弧无法相交，且交点要取在∠AOB内部，保证射线在角内。
【解析】
作法：
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E。
2. 分别以点D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3. 画射线OC。
证明：
连接DC、EC，
在$△ ODC$和$△ OEC$中：
$\begin{cases}OD=OE \\DC=EC \\OC=OC\end{cases}$
$\therefore △ ODC ≌ △ OEC \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$，即OC平分$∠ AOB$。
【答案】
射线OC即为所求作的$∠ AOB$的平分线。
【知识点】
角平分线尺规作图、全等三角形SSS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线作图的基础题型，既考查了尺规作图的规范步骤，也要求理解作图背后的全等三角形原理，熟练掌握本题的作图方法是后续解决角平分线相关几何题的基础。
【难度系数】
0.8

例2 如图，$∠ C = 90°$，$∠ 1 = ∠ 2$，若$BC = 8\ \mathrm{cm}$，$BD = 5\ \mathrm{cm}$，求点D到AB的距离.

【思路导析】过点D作$DE ⊥ AB$于点E，构造全等三角形.
【请你解答】

解：
过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长度即为点D到AB的距离。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC。
又∵ ∠1=∠2，DE⊥AB，DC⊥AC，
由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DC。
∵ BC=8 cm，BD=5 cm，
∴ DC = BC - BD = 8 - 5 = 3 cm，
∴ DE = 3 cm。
答：点D到AB的距离为3 cm。

【分析】
要求点D到AB的距离，首先根据点到直线距离的定义，需过点D作AB的垂线段DE；观察已知条件，∠1=∠2说明AD是∠BAC的角平分线，且∠C=90°即DC⊥AC，结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得DE=DC，因此只需要计算出DC的长度即可得到所求距离，DC可通过BC与BD的长度差计算。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长度即为点D到AB的距离。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC。
又
∵ ∠1=∠2，DE⊥AB，DC⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DC。
∵ BC=8 cm，BD=5 cm，
∴ DC = BC - BD = 8 - 5 = 3 cm，
∴ DE = 3 cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是先构造出点到直线的垂线段，再利用角平分线的性质将未知线段转化为已知线段进行计算，解题过程中需注意距离是垂线段的长度，不要误把斜线段当成距离。
【难度系数】
0.8

例3 如图，在$△ ABC$中，$∠ C＝90°$，$AC＝BC$，$AD$平分$∠ CAB$，并交$BC$于点$D$，$DE⊥ AB$于点$E$，若$AB＝6\ \mathrm{cm}$，求$△ DEB$的周长。

【思路导析】利用角平分线的性质、三角形全等和等腰直角三角形的性质，把$△ DEB$的周长转化为$AB$的长。
【示范解答】$\because AD$平分$∠ CAB$，$∠ C＝90°$，$DE⊥ AB$，$\therefore CD＝DE$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中，$\begin{cases} AD=AD, \\ CD=ED, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$，
$\therefore AC＝AE＝CB$。
$\because AB＝6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ DEB$的周长$＝DE＋DB＋EB＝CD＋DB＋EB＝CB＋EB＝AE＋EB＝AB＝6(\mathrm{cm})$。

解：
∵ AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ CD = DE。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\begin{cases}AD = AD, \\CD = ED,\end{cases}$
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED(HL)，
∴ AC = AE。
又∵ AC = BC，
∴ AE = BC。
∴ △DEB的周长 = DE + DB + EB
= CD + DB + EB
= BC + EB
= AE + EB
= AB。
∵ AB = 6 cm，
∴ △DEB的周长为6 cm。

【分析】
要求△DEB的周长，首先明确其周长为DE+DB+EB，我们需要通过已知条件将这三条线段转化为已知长度的线段。第一步，AD是∠CAB的角平分线，且∠C=90°、DE⊥AB，根据角平分线的性质可推出CD=DE，即可将DE替换为CD，此时周长转化为CD+DB+EB=BC+EB。第二步，已知AC=BC，只需证明AC=AE就能将BC替换为AE，周长即可进一步转化为AE+EB=AB，而AC=AE可通过证明Rt△ACD和Rt△AED全等得到，最后代入AB的长度即可求出结果。
【解析】
∵ AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ CD = DE。
在Rt△ACD和Rt△AED中，
$\begin{cases}AD = AD, \\CD = ED,\end{cases}$
∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED(HL)，
∴ AC = AE。
又
∵ AC = BC，
∴ AE = BC。
∴ △DEB的周长 = DE + DB + EB
= CD + DB + EB
= BC + EB
= AE + EB
= AB。
∵ AB = 6 cm，
∴ △DEB的周长为6 cm。
【答案】
6 cm
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何中线段等量转化的典型题型，核心运用转化思想，将未知三角形的周长逐步转化为已知长度的线段，考查学生对角平分线性质、全等三角形判定的掌握程度，以及对转化思想的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7

1.如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（）

A.$PC=PD$
B.$∠ CPO=∠ DOP$
C.$∠ CPO=∠ DPO$
D.$OC=OD$

B

【分析】
本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，解题时先根据已知条件明确角平分线、垂直等条件，先利用角平分线性质得到线段相等，再通过证明三角形全等得到对应边、对应角的相等关系，最后逐一验证选项，找出错误结论即可。
【解析】
已知OP是∠AOB的平分线，故$∠ COP=∠ DOP$；
又$\because PC⊥ OA$，$PD⊥ OB$，$\therefore ∠ OCP=∠ ODP=90°$。
1. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PC=PD$，故A选项结论正确，不符合题意；
2. 在$△ OCP$和$△ ODP$中：
$\begin{cases}∠ OCP=∠ ODP\\∠ COP=∠ DOP\\OP=OP\end{cases}$
$\therefore △ OCP≌△ ODP(\mathrm{AAS})$，
根据全等三角形的性质，可得$∠ CPO=∠ DPO$，$OC=OD$，故C、D选项结论正确，不符合题意；
3. 对于B选项，$∠ CPO$与$∠ DOP$没有必然相等的关系，无额外条件的情况下该等式不成立，故该结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线性质和全等三角形相关知识的应用，熟练掌握基础定理即可快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8