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2.如图，$CA=CB$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=α$，$AD$，$BE$相交于点$H$。
(1)求证:$AD=BE$；
(2)连接$CH$，求证:$HC$平分$∠ AHE$；
(3)求$∠ AHE$的度数(用含$α$的式子表示)。
(1)求证:$AD=BE$；
(2)连接$CH$，求证:$HC$平分$∠ AHE$；
(3)求$∠ AHE$的度数(用含$α$的式子表示)。
答案
(1) 证明：
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB + ∠BCD = ∠DCE + ∠BCD，
即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}CA=CB \\∠ACD=∠BCE \\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE。
---
(2) 证明：
过点C作$CM⊥ AD$于点M，$CN⊥ BE$于点N。
∵△ACD≌△BCE，
∴$S_{△ ACD}=S_{△ BCE}$，
又∵AD=BE，
∴$\frac{1}{2}AD· CM = \frac{1}{2}BE· CN$，
∴$CM=CN$。
∵$CM⊥ AD$，$CN⊥ BE$，
∴点C在∠AHE的角平分线上，即HC平分∠AHE。
---
(3) 解：
设AD与BC交于点O。
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE。
又∵∠AOC=∠BOH（对顶角相等），
∴∠AHB=∠ACB=α，
∴∠AHE=$180° - ∠AHB=180°-α$。
最终结论：$∠ AHE=180°-α$。
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB + ∠BCD = ∠DCE + ∠BCD，
即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}CA=CB \\∠ACD=∠BCE \\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE。
---
(2) 证明：
过点C作$CM⊥ AD$于点M，$CN⊥ BE$于点N。
∵△ACD≌△BCE，
∴$S_{△ ACD}=S_{△ BCE}$，
又∵AD=BE，
∴$\frac{1}{2}AD· CM = \frac{1}{2}BE· CN$，
∴$CM=CN$。
∵$CM⊥ AD$，$CN⊥ BE$，
∴点C在∠AHE的角平分线上，即HC平分∠AHE。
---
(3) 解：
设AD与BC交于点O。
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE。
又∵∠AOC=∠BOH（对顶角相等），
∴∠AHB=∠ACB=α，
∴∠AHE=$180° - ∠AHB=180°-α$。
最终结论：$∠ AHE=180°-α$。
解析
【分析】
(1) 要证AD=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知两组对应边CA=CB、CD=CE，只需证明两边的夹角相等即可：利用已知∠ACB=∠DCE，两个角同时加公共角∠BCD就能得到∠ACD=∠BCE，用SAS判定三角形全等即可得到对应边相等。
(2) 要证HC平分∠AHE，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此过点C作AD、BE的垂线段CM、CN，利用(1)中全等三角形面积相等，且底AD=BE，可推出两条高CM=CN，即可证明点C在∠AHE的角平分线上。
(3) 求∠AHE的度数，可利用全等三角形对应角相等得∠CAD=∠CBE，再结合对顶角相等，推导得∠AHB=∠ACB=α，最后根据邻补角和为180°即可求出∠AHE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB + ∠BCD = ∠DCE + ∠BCD，
即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}CA=CB \\∠ACD=∠BCE \\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE。
(2) 证明：
过点C作$CM⊥ AD$于点M，$CN⊥ BE$于点N。
∵△ACD≌△BCE，
∴$S_{△ ACD}=S_{△ BCE}$，
又
∵AD=BE，
∴$\frac{1}{2}AD· CM = \frac{1}{2}BE· CN$，
∴$CM=CN$。
∵$CM⊥ AD$，$CN⊥ BE$，
∴点C在∠AHE的角平分线上，即HC平分∠AHE。
(3) 解：
设AD与BC交于点O。
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE。
又
∵∠AOC=∠BOH（对顶角相等），
在△AOC和△BOH中，根据三角形内角和为180°可得∠AHB=∠ACB=α，
∴∠AHE=$180° - ∠AHB=180°-α$。
【答案】
(1) AD=BE，证明成立；
(2) HC平分∠AHE，证明成立；
(3) $\boldsymbol{∠AHE=180°-α}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，对顶角与邻补角性质
【点评】
本题是三角形全等的典型综合题，核心突破口是先证明△ACD≌△BCE，再以此为基础推导边、角关系和角平分线结论，考查了对全等判定、角平分线判定、角度推导等知识点的综合运用能力，解题时要熟练掌握利用全等转化边、角等量关系的方法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AD=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知两组对应边CA=CB、CD=CE，只需证明两边的夹角相等即可：利用已知∠ACB=∠DCE，两个角同时加公共角∠BCD就能得到∠ACD=∠BCE，用SAS判定三角形全等即可得到对应边相等。
(2) 要证HC平分∠AHE，根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此过点C作AD、BE的垂线段CM、CN，利用(1)中全等三角形面积相等，且底AD=BE，可推出两条高CM=CN，即可证明点C在∠AHE的角平分线上。
(3) 求∠AHE的度数，可利用全等三角形对应角相等得∠CAD=∠CBE，再结合对顶角相等，推导得∠AHB=∠ACB=α，最后根据邻补角和为180°即可求出∠AHE的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB + ∠BCD = ∠DCE + ∠BCD，
即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}CA=CB \\∠ACD=∠BCE \\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE。
(2) 证明：
过点C作$CM⊥ AD$于点M，$CN⊥ BE$于点N。
∵△ACD≌△BCE，
∴$S_{△ ACD}=S_{△ BCE}$，
又
∵AD=BE，
∴$\frac{1}{2}AD· CM = \frac{1}{2}BE· CN$，
∴$CM=CN$。
∵$CM⊥ AD$，$CN⊥ BE$，
∴点C在∠AHE的角平分线上，即HC平分∠AHE。
(3) 解：
设AD与BC交于点O。
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE。
又
∵∠AOC=∠BOH（对顶角相等），
在△AOC和△BOH中，根据三角形内角和为180°可得∠AHB=∠ACB=α，
∴∠AHE=$180° - ∠AHB=180°-α$。
【答案】
(1) AD=BE，证明成立；
(2) HC平分∠AHE，证明成立；
(3) $\boldsymbol{∠AHE=180°-α}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，对顶角与邻补角性质
【点评】
本题是三角形全等的典型综合题，核心突破口是先证明△ACD≌△BCE，再以此为基础推导边、角关系和角平分线结论，考查了对全等判定、角平分线判定、角度推导等知识点的综合运用能力，解题时要熟练掌握利用全等转化边、角等量关系的方法。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=30°$,$AB=8$,$P$是边$BC$上的一动点,连接$AP$,以$AP$为边作等边三角形$APQ$,连接$CQ$,求线段$CQ$长度的最小值.
答案
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=8$，
∴ $∠ BAC=60°$，$AC=\frac{1}{2}AB=4$。
取$AB$的中点$E$，连接$CE$、$PE$，
∵ $E$是$AB$中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=4$，
∴ $AC=AE$，
∴ $△ ACE$是等边三角形，
∴ $AC=AE$，$∠ CAE=60°$。
∵ $△ APQ$是等边三角形，
∴ $AP=AQ$，$∠ PAQ=60°$，
∴ $∠ PAQ=∠ CAE$，
∴ $∠ PAQ - ∠ CAP = ∠ CAE - ∠ CAP$，
即$∠ CAQ=∠ EAP$。
在$△ CAQ$和$△ EAP$中：
$\begin{cases}AC=AE \\∠ CAQ=∠ EAP \\AQ=AP\end{cases}$
∴ $△ CAQ ≌ △ EAP$（SAS），
∴ $CQ=EP$。
根据垂线段最短，当$EP⊥ BC$时，$EP$的长度取得最小值。
∵ $E$是$AB$的中点，$EP⊥ BC$，$∠ ACB=90°$，
∴ $EP// AC$，
∴ $P$是$BC$的中点，$EP$是$△ ABC$的中位线，
∴ $EP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
∴ 线段$CQ$长度的最小值为$\boldsymbol{2}$。
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=8$，
∴ $∠ BAC=60°$，$AC=\frac{1}{2}AB=4$。
取$AB$的中点$E$，连接$CE$、$PE$，
∵ $E$是$AB$中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=4$，
∴ $AC=AE$，
∴ $△ ACE$是等边三角形，
∴ $AC=AE$，$∠ CAE=60°$。
∵ $△ APQ$是等边三角形，
∴ $AP=AQ$，$∠ PAQ=60°$，
∴ $∠ PAQ=∠ CAE$，
∴ $∠ PAQ - ∠ CAP = ∠ CAE - ∠ CAP$，
即$∠ CAQ=∠ EAP$。
在$△ CAQ$和$△ EAP$中：
$\begin{cases}AC=AE \\∠ CAQ=∠ EAP \\AQ=AP\end{cases}$
∴ $△ CAQ ≌ △ EAP$（SAS），
∴ $CQ=EP$。
根据垂线段最短，当$EP⊥ BC$时，$EP$的长度取得最小值。
∵ $E$是$AB$的中点，$EP⊥ BC$，$∠ ACB=90°$，
∴ $EP// AC$，
∴ $P$是$BC$的中点，$EP$是$△ ABC$的中位线，
∴ $EP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
∴ 线段$CQ$长度的最小值为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
要求CQ的最小值，直接分析CQ的取值范围难度较大，可通过全等三角形将CQ转化为其他易求最小值的线段。首先结合Rt△ABC中∠B=30°的条件算出AC的长度，再取AB中点E，可证△ACE是等边三角形；结合等边△APQ的性质，可推出△CAQ和△EAP全等，将CQ转化为EP。接下来根据垂线段最短的性质，当EP⊥BC时EP最短，此时计算EP的长度即为CQ的最小值。
【解析】
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=8$，
∴ $∠ BAC=60°$，$AC=\frac{1}{2}AB=4$。
取$AB$的中点$E$，连接$CE$、$PE$，
∵ $E$是$AB$中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=4$，
∴ $AC=AE$，
∴ $△ ACE$是等边三角形，
∴ $AC=AE$，$∠ CAE=60°$。
∵ $△ APQ$是等边三角形，
∴ $AP=AQ$，$∠ PAQ=60°$，
∴ $∠ PAQ=∠ CAE$，
∴ $∠ PAQ - ∠ CAP = ∠ CAE - ∠ CAP$，
即$∠ CAQ=∠ EAP$。
在$△ CAQ$和$△ EAP$中：
$\begin{cases}AC=AE \\∠ CAQ=∠ EAP \\AQ=AP\end{cases}$
∴ $△ CAQ ≌ △ EAP$（SAS），
∴ $CQ=EP$。
根据垂线段最短，当$EP⊥ BC$时，$EP$的长度取得最小值。
∵ $E$是$AB$的中点，$EP⊥ BC$，$∠ ACB=90°$，
∴ $EP// AC$，
∴ $P$是$BC$的中点，$EP$是$△ ABC$的中位线，
∴ $EP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，垂线段最短，等边三角形的性质
【点评】
本题通过构造全等三角形实现了线段的等量转化，将动态线段的最小值问题转化为常见的垂线段最短问题，解题的关键是合理构造辅助线得到全等三角形，较好地考查了几何转化思维和对特殊三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
要求CQ的最小值，直接分析CQ的取值范围难度较大，可通过全等三角形将CQ转化为其他易求最小值的线段。首先结合Rt△ABC中∠B=30°的条件算出AC的长度，再取AB中点E，可证△ACE是等边三角形；结合等边△APQ的性质，可推出△CAQ和△EAP全等，将CQ转化为EP。接下来根据垂线段最短的性质，当EP⊥BC时EP最短，此时计算EP的长度即为CQ的最小值。
【解析】
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=8$，
∴ $∠ BAC=60°$，$AC=\frac{1}{2}AB=4$。
取$AB$的中点$E$，连接$CE$、$PE$，
∵ $E$是$AB$中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=4$，
∴ $AC=AE$，
∴ $△ ACE$是等边三角形，
∴ $AC=AE$，$∠ CAE=60°$。
∵ $△ APQ$是等边三角形，
∴ $AP=AQ$，$∠ PAQ=60°$，
∴ $∠ PAQ=∠ CAE$，
∴ $∠ PAQ - ∠ CAP = ∠ CAE - ∠ CAP$，
即$∠ CAQ=∠ EAP$。
在$△ CAQ$和$△ EAP$中：
$\begin{cases}AC=AE \\∠ CAQ=∠ EAP \\AQ=AP\end{cases}$
∴ $△ CAQ ≌ △ EAP$（SAS），
∴ $CQ=EP$。
根据垂线段最短，当$EP⊥ BC$时，$EP$的长度取得最小值。
∵ $E$是$AB$的中点，$EP⊥ BC$，$∠ ACB=90°$，
∴ $EP// AC$，
∴ $P$是$BC$的中点，$EP$是$△ ABC$的中位线，
∴ $EP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，垂线段最短，等边三角形的性质
【点评】
本题通过构造全等三角形实现了线段的等量转化，将动态线段的最小值问题转化为常见的垂线段最短问题，解题的关键是合理构造辅助线得到全等三角形，较好地考查了几何转化思维和对特殊三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
4. 如图,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边在AD的右侧作等腰Rt△ADE,如果AB=AC,∠BAC=90°.解答下列问题:
(1)如图1,当点D在线段BC上时(与点B不重合),线段CE,BD之间的位置关系为,数量关系为.
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立?为什么?
(3)如图3,如果AB≠AC,∠BAC≠90°,当∠BCA=45°时,请你判断线段CE,BD之间的位置关系,并说明理由.
(1)如图1,当点D在线段BC上时(与点B不重合),线段CE,BD之间的位置关系为,数量关系为.
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立?为什么?
(3)如图3,如果AB≠AC,∠BAC≠90°,当∠BCA=45°时,请你判断线段CE,BD之间的位置关系,并说明理由.
答案
解：
(1) $\boldsymbol{CE⊥ BD}$；$\boldsymbol{CE=BD}$
(2) (1)中的结论仍然成立，理由如下：
$\because ∠ BAC=90°$，$△ ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
又$\because AB=AC$，$AD=AE$，
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CE=BD$，$∠ ACE=∠ B$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=45°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 45° + 45° = 90°$，
$\therefore CE⊥ BD$。
(3) $CE⊥ BD$，理由如下：
过点$A$作$AG⊥ AC$，交$BC$于点$G$，
$\therefore ∠ AGC = 90° - ∠ BCA$。
$\because ∠ BCA=45°$，
$\therefore ∠ AGC=45°$，
$\therefore ∠ AGC=∠ BCA$，
$\therefore AG=AC$。
$\because ∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ DAE = ∠ GAC = 90°$，
$\therefore ∠ GAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$，即$∠ GAD=∠ CAE$。
又$\because AD=AE$，
$\therefore △ GAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ACE=∠ AGD=45°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 45° + 45° = 90°$，
$\therefore CE⊥ BD$。
(1) $\boldsymbol{CE⊥ BD}$；$\boldsymbol{CE=BD}$
(2) (1)中的结论仍然成立，理由如下：
$\because ∠ BAC=90°$，$△ ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
又$\because AB=AC$，$AD=AE$，
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CE=BD$，$∠ ACE=∠ B$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=45°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 45° + 45° = 90°$，
$\therefore CE⊥ BD$。
(3) $CE⊥ BD$，理由如下：
过点$A$作$AG⊥ AC$，交$BC$于点$G$，
$\therefore ∠ AGC = 90° - ∠ BCA$。
$\because ∠ BCA=45°$，
$\therefore ∠ AGC=45°$，
$\therefore ∠ AGC=∠ BCA$，
$\therefore AG=AC$。
$\because ∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ DAE = ∠ GAC = 90°$，
$\therefore ∠ GAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$，即$∠ GAD=∠ CAE$。
又$\because AD=AE$，
$\therefore △ GAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ACE=∠ AGD=45°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 45° + 45° = 90°$，
$\therefore CE⊥ BD$。
解析
【分析】
(1) 要判断CE和BD的位置、数量关系，首先观察已知条件：△ABC是等腰直角三角形，△ADE也是等腰直角三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，两边同时减去公共角∠CAD可得∠BAD=∠CAE，即可通过SAS证明△BAD≌△CAE，由全等性质得CE=BD，∠ACE=∠B=45°，进而得∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即CE⊥BD。
(2) 当D在BC延长线上时，和(1)的思路一致，∠BAC和∠DAE都是90°，两边同时加∠CAD可得∠BAD=∠CAE，仍然可证△BAD≌△CAE，同理推导即可判断结论是否成立。
(3) 当AB≠AC、∠BAC≠90°时，已知∠BCA=45°，可通过作辅助线构造等腰直角三角形：过A作AG⊥AC交BC于G，可得AG=AC，再结合△ADE是等腰直角三角形的条件，证明△GAD≌△CAE，得到∠ACE=∠AGD=45°，即可推出∠BCE=90°，得到CE和BD的位置关系。
【解析】
(1) 已知AB=AC，∠BAC=90°，△ADE是等腰直角三角形，所以AD=AE，∠DAE=90°，则∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中，$\{\begin{array}{l} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{array} $，所以△BAD≌△CAE(SAS)，因此CE=BD，∠ACE=∠B。
又因为△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，所以∠B=∠ACB=45°，则∠ACE=45°，所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即CE⊥BD。
(2) (1)中的结论仍然成立，理由如下：
$\because ∠ BAC=90°$，$△ ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
又$\because AB=AC$，$AD=AE$，
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CE=BD$，$∠ ACE=∠ B$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=45°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 45° + 45° = 90°$，
$\therefore CE⊥ BD$。
(3) $CE⊥ BD$，理由如下：
过点$A$作$AG⊥ AC$，交$BC$于点$G$，
$\therefore ∠ AGC = 90° - ∠ BCA$。
$\because ∠ BCA=45°$，
$\therefore ∠ AGC=45°$，
$\therefore ∠ AGC=∠ BCA$，
$\therefore AG=AC$。
$\because ∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ DAE = ∠ GAC = 90°$，
$\therefore ∠ GAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$，即$∠ GAD=∠ CAE$。
又$\because AD=AE$，
$\therefore △ GAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ACE=∠ AGD=45°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 45° + 45° = 90°$，
$\therefore CE⊥ BD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CE⊥ BD}$；$\boldsymbol{CE=BD}$
(2) （1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3) $\boldsymbol{CE⊥ BD}$，理由见解析
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，前两问通过找等角直接证明全等转化线段与角的关系，第三问需要结合已知角度条件构造等腰直角三角形得到全等的条件，考查了逻辑推理能力和辅助线构造能力，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断CE和BD的位置、数量关系，首先观察已知条件：△ABC是等腰直角三角形，△ADE也是等腰直角三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，两边同时减去公共角∠CAD可得∠BAD=∠CAE，即可通过SAS证明△BAD≌△CAE，由全等性质得CE=BD，∠ACE=∠B=45°，进而得∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即CE⊥BD。
(2) 当D在BC延长线上时，和(1)的思路一致，∠BAC和∠DAE都是90°，两边同时加∠CAD可得∠BAD=∠CAE，仍然可证△BAD≌△CAE，同理推导即可判断结论是否成立。
(3) 当AB≠AC、∠BAC≠90°时，已知∠BCA=45°，可通过作辅助线构造等腰直角三角形：过A作AG⊥AC交BC于G，可得AG=AC，再结合△ADE是等腰直角三角形的条件，证明△GAD≌△CAE，得到∠ACE=∠AGD=45°，即可推出∠BCE=90°，得到CE和BD的位置关系。
【解析】
(1) 已知AB=AC，∠BAC=90°，△ADE是等腰直角三角形，所以AD=AE，∠DAE=90°，则∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中，$\{\begin{array}{l} AB=AC \\ ∠BAD=∠CAE \\ AD=AE \end{array} $，所以△BAD≌△CAE(SAS)，因此CE=BD，∠ACE=∠B。
又因为△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，所以∠B=∠ACB=45°，则∠ACE=45°，所以∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即CE⊥BD。
(2) (1)中的结论仍然成立，理由如下：
$\because ∠ BAC=90°$，$△ ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
又$\because AB=AC$，$AD=AE$，
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CE=BD$，$∠ ACE=∠ B$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ B=∠ ACB=45°$，
$\therefore ∠ ACE=45°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 45° + 45° = 90°$，
$\therefore CE⊥ BD$。
(3) $CE⊥ BD$，理由如下：
过点$A$作$AG⊥ AC$，交$BC$于点$G$，
$\therefore ∠ AGC = 90° - ∠ BCA$。
$\because ∠ BCA=45°$，
$\therefore ∠ AGC=45°$，
$\therefore ∠ AGC=∠ BCA$，
$\therefore AG=AC$。
$\because ∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ DAE = ∠ GAC = 90°$，
$\therefore ∠ GAD + ∠ DAC = ∠ CAE + ∠ DAC$，即$∠ GAD=∠ CAE$。
又$\because AD=AE$，
$\therefore △ GAD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ACE=∠ AGD=45°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACB + ∠ ACE = 45° + 45° = 90°$，
$\therefore CE⊥ BD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CE⊥ BD}$；$\boldsymbol{CE=BD}$
(2) （1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3) $\boldsymbol{CE⊥ BD}$，理由见解析
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题，前两问通过找等角直接证明全等转化线段与角的关系，第三问需要结合已知角度条件构造等腰直角三角形得到全等的条件，考查了逻辑推理能力和辅助线构造能力，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.6
