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1. 在实数$-π,-\sqrt{11},3.14,0$中,最小的是（
A.$-π$
B.$-\sqrt{11}$
C.$3.14$
D.$0$
B
）。A.$-π$
B.$-\sqrt{11}$
C.$3.14$
D.$0$
答案
1.B
解析
【分析】
要找出这几个实数中最小的数，首先回忆实数大小比较的基本法则：正数大于0，0大于负数，所以先排除正数和0，只需比较剩下的两个负数的大小即可。负数比较大小的规则是绝对值大的反而小，所以接下来需要分别估算两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，就能判断出哪个负数更小。
【解析】
第一步，先对给出的实数分类：
3.14是正数，0既不是正数也不是负数，$-π$、$-\sqrt{11}$是负数。
根据实数大小比较规律：正数＞0＞负数，所以最小的数一定在$-π$和$-\sqrt{11}$中。
第二步，比较两个负数的绝对值：
$\vert -π\vert = π \approx 3.1416$，
$\vert -\sqrt{11}\vert = \sqrt{11}$，我们可以估算$\sqrt{11}$的大小：
因为$3^2=9＜11$，$3.3^2=10.89＜11$，$3.4^2=11.56＞11$，所以$\sqrt{11}\approx3.317$，显然$\sqrt{11}＞π$，也就是$\vert -\sqrt{11}\vert ＞ \vert -π\vert$。
第三步，根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，可得$-\sqrt{11} ＜ -π ＜ 0 ＜ 3.14$，因此最小的数是$-\sqrt{11}$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较、无理数的估算
【点评】
本题是基础题，解题时先通过正负数的性质缩小判断范围，再结合无理数估算和负数比较大小的规则判断即可，掌握实数大小比较的基本法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要找出这几个实数中最小的数，首先回忆实数大小比较的基本法则：正数大于0，0大于负数，所以先排除正数和0，只需比较剩下的两个负数的大小即可。负数比较大小的规则是绝对值大的反而小，所以接下来需要分别估算两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，就能判断出哪个负数更小。
【解析】
第一步，先对给出的实数分类：
3.14是正数，0既不是正数也不是负数，$-π$、$-\sqrt{11}$是负数。
根据实数大小比较规律：正数＞0＞负数，所以最小的数一定在$-π$和$-\sqrt{11}$中。
第二步，比较两个负数的绝对值：
$\vert -π\vert = π \approx 3.1416$，
$\vert -\sqrt{11}\vert = \sqrt{11}$，我们可以估算$\sqrt{11}$的大小：
因为$3^2=9＜11$，$3.3^2=10.89＜11$，$3.4^2=11.56＞11$，所以$\sqrt{11}\approx3.317$，显然$\sqrt{11}＞π$，也就是$\vert -\sqrt{11}\vert ＞ \vert -π\vert$。
第三步，根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，可得$-\sqrt{11} ＜ -π ＜ 0 ＜ 3.14$，因此最小的数是$-\sqrt{11}$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较、无理数的估算
【点评】
本题是基础题，解题时先通过正负数的性质缩小判断范围，再结合无理数估算和负数比较大小的规则判断即可，掌握实数大小比较的基本法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2. $\sqrt{2}$的倒数是(
A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D
)。A.2
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
2.D
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步先回忆倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此求一个非零数的倒数，只需用1除以这个数；第二步，得到的结果分母含有根号，根据二次根式的化简要求，需要进行分母有理化，将分母的根号去掉，最终得到最简结果后对应选项即可。
【解析】
解：根据倒数的定义，两个数乘积为1则互为倒数，因此$\sqrt{2}$的倒数为：
$1÷\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
对$\frac{1}{\sqrt{2}}$进行分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{2}$得：
$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
倒数的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时要注意区分倒数与相反数、绝对值的概念，同时二次根式的运算结果需要化为最简形式，不能保留分母含根号的形式。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步先回忆倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此求一个非零数的倒数，只需用1除以这个数；第二步，得到的结果分母含有根号，根据二次根式的化简要求，需要进行分母有理化，将分母的根号去掉，最终得到最简结果后对应选项即可。
【解析】
解：根据倒数的定义，两个数乘积为1则互为倒数，因此$\sqrt{2}$的倒数为：
$1÷\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
对$\frac{1}{\sqrt{2}}$进行分母有理化，分子、分母同时乘$\sqrt{2}$得：
$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
倒数的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时要注意区分倒数与相反数、绝对值的概念，同时二次根式的运算结果需要化为最简形式，不能保留分母含根号的形式。
【难度系数】
0.8
3. 3的立方根是(
A.$\sqrt{3}$
B.$\pm\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt[3]{3}$
D.$-\sqrt[3]{3}$
C
)。A.$\sqrt{3}$
B.$\pm\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt[3]{3}$
D.$-\sqrt[3]{3}$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的核心概念与性质：①如果$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根，任意实数的立方根有且只有1个；②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。其次要注意区分立方根与平方根的表示差异，避免混淆。首先排除不符合立方根性质的选项：A是3的算术平方根，和立方根无关，直接排除；立方根只有1个，B选项出现正负两个值，不符合性质，排除；3是正数，立方根应为正数，D是负数，是-3的立方根，排除，剩余C即为正确选项。
【解析】
根据立方根的定义：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，则$x$称为$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。
立方根的性质：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，任意实数的立方根有且仅有1个。
对各选项逐一判断：
A选项$\sqrt{3}$是3的算术平方根，不是立方根，错误；
B选项$\pm\sqrt[3]{3}$，立方根仅有1个，不存在正负两个值，错误；
C选项$\sqrt[3]{3}$，符合正数3的立方根的表示，正确；
D选项$-\sqrt[3]{3}$是-3的立方根，不是3的立方根，错误。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质；平方根与立方根的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分立方根和平方根的概念差异，要牢记正数的平方根有两个且互为相反数，而立方根仅有一个，符号与原数一致，掌握这一要点就能快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆立方根的核心概念与性质：①如果$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根，任意实数的立方根有且只有1个；②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。其次要注意区分立方根与平方根的表示差异，避免混淆。首先排除不符合立方根性质的选项：A是3的算术平方根，和立方根无关，直接排除；立方根只有1个，B选项出现正负两个值，不符合性质，排除；3是正数，立方根应为正数，D是负数，是-3的立方根，排除，剩余C即为正确选项。
【解析】
根据立方根的定义：若一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，则$x$称为$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。
立方根的性质：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，任意实数的立方根有且仅有1个。
对各选项逐一判断：
A选项$\sqrt{3}$是3的算术平方根，不是立方根，错误；
B选项$\pm\sqrt[3]{3}$，立方根仅有1个，不存在正负两个值，错误；
C选项$\sqrt[3]{3}$，符合正数3的立方根的表示，正确；
D选项$-\sqrt[3]{3}$是-3的立方根，不是3的立方根，错误。
【答案】
C
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质；平方根与立方根的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分立方根和平方根的概念差异，要牢记正数的平方根有两个且互为相反数，而立方根仅有一个，符号与原数一致，掌握这一要点就能快速判断正确选项。
【难度系数】
0.8
4. “$a(a＞0)$的算术平方根是$b(b＞0)$”，用数学式子表达为(
A.$\sqrt{a}=\pm b$
B.$\sqrt{a}=b$
C.$\sqrt{b}=a$
D.$\sqrt{b}=\pm a$
B
)。A.$\sqrt{a}=\pm b$
B.$\sqrt{a}=b$
C.$\sqrt{b}=a$
D.$\sqrt{b}=\pm a$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先回忆算术平方根的核心概念：①算术平方根的结果是非负数，不存在正负两种情况；②“谁的算术平方根”，谁就是被开方数，要放在根号里面。首先排除带有正负号的错误选项，再根据题干中“a的算术平方根是b”确定被开方数是a，最终匹配正确选项即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a（a≥0），则x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}=x$，且算术平方根的结果一定是非负的。
题干明确a＞0，它的算术平方根是b＞0，因此对应的数学式子为$\sqrt{a}=b$。
对选项逐一分析：
A. 式子带±，表示的是a的平方根，不是算术平方根，错误；
B. 符合算术平方根的表示要求，正确；
C. 该式表示b的算术平方根是a，与题意逻辑相反，错误；
D. 既带±，又颠倒了被开方数和结果的关系，错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的非负性
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是区分开算术平方根和平方根的差异，同时要准确识别被开方数与算术平方根的对应关系，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆算术平方根的核心概念：①算术平方根的结果是非负数，不存在正负两种情况；②“谁的算术平方根”，谁就是被开方数，要放在根号里面。首先排除带有正负号的错误选项，再根据题干中“a的算术平方根是b”确定被开方数是a，最终匹配正确选项即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a（a≥0），则x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}=x$，且算术平方根的结果一定是非负的。
题干明确a＞0，它的算术平方根是b＞0，因此对应的数学式子为$\sqrt{a}=b$。
对选项逐一分析：
A. 式子带±，表示的是a的平方根，不是算术平方根，错误；
B. 符合算术平方根的表示要求，正确；
C. 该式表示b的算术平方根是a，与题意逻辑相反，错误；
D. 既带±，又颠倒了被开方数和结果的关系，错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的非负性
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是区分开算术平方根和平方根的差异，同时要准确识别被开方数与算术平方根的对应关系，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
5. 下列运算正确的是(
A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{5}$
D.$\sqrt{12}÷\sqrt{6}=2$
B
)。A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{5}$
D.$\sqrt{12}÷\sqrt{6}=2$
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题时需根据二次根式的加减、乘除运算法则，逐一验证每个选项的运算是否正确，排除错误选项即可得到正确答案。解题思路为：首先明确二次根式运算规则：1.加减运算：先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，非同类二次根式不能合并；2.乘除运算：遵循$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$的规则计算。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$是最简二次根式，被开方数不同，不属于同类二次根式，无法直接合并，运算错误；
选项B：先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，再计算减法：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$，运算正确；
选项C：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，运算错误；
选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{12}÷\sqrt{6}=\sqrt{12÷6}=\sqrt{2}≠2$，运算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算；最简二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对二次根式运算法则的掌握程度，解题时要注意先化简根式再进行运算，只有同类二次根式才能合并，避免出现直接将被开方数加减的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的四则运算，解题时需根据二次根式的加减、乘除运算法则，逐一验证每个选项的运算是否正确，排除错误选项即可得到正确答案。解题思路为：首先明确二次根式运算规则：1.加减运算：先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，非同类二次根式不能合并；2.乘除运算：遵循$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$的规则计算。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$是最简二次根式，被开方数不同，不属于同类二次根式，无法直接合并，运算错误；
选项B：先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，再计算减法：$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$，运算正确；
选项C：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{3}×\sqrt{2}=\sqrt{3×2}=\sqrt{6}≠\sqrt{5}$，运算错误；
选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{12}÷\sqrt{6}=\sqrt{12÷6}=\sqrt{2}≠2$，运算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算；最简二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对二次根式运算法则的掌握程度，解题时要注意先化简根式再进行运算，只有同类二次根式才能合并，避免出现直接将被开方数加减的错误。
【难度系数】
0.8
6. 若实数$m,n$在数轴上对应点的位置如图所示，则代数式$\sqrt{(m-n)^2}$的化简结果为（
A.$-m-n$
B.$m+n$
C.$m-n$
D.$n-m$
D
）。A.$-m-n$
B.$m+n$
C.$m-n$
D.$n-m$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先从数轴提取m、n的大小关系，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值形式，最后根据绝对值的化简规则，判断绝对值内式子的正负后去掉绝对值，即可得到化简结果。
【解析】
1. 由数轴上点的位置可知，数轴上右侧的数大于左侧的数，因此$m＜0＜n$，可推出$m-n＜0$。
2. 根据二次根式的性质，$\sqrt{(m-n)^2}=|m-n|$。
3. 由于$m-n$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，因此$|m-n|=-(m-n)=n-m$。
综上，化简结果为$n-m$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简 3.数轴的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查结合数轴判断数的大小关系，再结合二次根式和绝对值的性质化简的能力，解题时要注意去绝对值前必须先判断绝对值内式子的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先从数轴提取m、n的大小关系，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值形式，最后根据绝对值的化简规则，判断绝对值内式子的正负后去掉绝对值，即可得到化简结果。
【解析】
1. 由数轴上点的位置可知，数轴上右侧的数大于左侧的数，因此$m＜0＜n$，可推出$m-n＜0$。
2. 根据二次根式的性质，$\sqrt{(m-n)^2}=|m-n|$。
3. 由于$m-n$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，因此$|m-n|=-(m-n)=n-m$。
综上，化简结果为$n-m$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次根式的性质 2.绝对值的化简 3.数轴的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查结合数轴判断数的大小关系，再结合二次根式和绝对值的性质化简的能力，解题时要注意去绝对值前必须先判断绝对值内式子的正负，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
7. 下列说法正确的是(
A.有理数都能写成$\frac{m}{n}$（$m,n$为整数且$n≠0$）的形式
B.$\sqrt{8}$是最简二次根式
C.$-a$没有平方根
D.有理数与数轴上的点一一对应
A
)。A.有理数都能写成$\frac{m}{n}$（$m,n$为整数且$n≠0$）的形式
B.$\sqrt{8}$是最简二次根式
C.$-a$没有平方根
D.有理数与数轴上的点一一对应
答案
7.A
解析
【分析】
这是一道实数相关的概念辨析题，解题时需逐个匹配每个选项对应的知识点判断正误：首先回忆有理数的定义判断A选项；再结合最简二次根式的判定标准判断B选项；接着根据平方根的存在条件（非负数才有平方根）判断C选项；最后回忆数轴与数的对应关系判断D选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：有理数是整数和分数的统称，所有整数都可以写成分母为1的分数形式，分数本身就是$\frac{m}{n}$（$m,n$为整数且$n≠0$）的形式，因此所有有理数都能写成该形式，说法正确。
B选项：最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数或因式，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数8含有能开得尽方的因数4，不属于最简二次根式，说法错误。
C选项：只有负数没有平方根，当$a≤0$时，$-a$为非负数，此时$-a$有平方根，比如$a=-2$时，$-a=2$，2是有平方根的，说法错误。
D选项：实数和数轴上的点是一一对应的，有理数只是实数的一部分，无法和数轴上的点一一对应，说法错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的定义；最简二次根式；实数与数轴的关系
【点评】
本题考查实数模块的基础概念，需要准确记忆各类概念的核心内容，注意区分易混淆的知识点，熟练掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
这是一道实数相关的概念辨析题，解题时需逐个匹配每个选项对应的知识点判断正误：首先回忆有理数的定义判断A选项；再结合最简二次根式的判定标准判断B选项；接着根据平方根的存在条件（非负数才有平方根）判断C选项；最后回忆数轴与数的对应关系判断D选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：有理数是整数和分数的统称，所有整数都可以写成分母为1的分数形式，分数本身就是$\frac{m}{n}$（$m,n$为整数且$n≠0$）的形式，因此所有有理数都能写成该形式，说法正确。
B选项：最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数或因式，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数8含有能开得尽方的因数4，不属于最简二次根式，说法错误。
C选项：只有负数没有平方根，当$a≤0$时，$-a$为非负数，此时$-a$有平方根，比如$a=-2$时，$-a=2$，2是有平方根的，说法错误。
D选项：实数和数轴上的点是一一对应的，有理数只是实数的一部分，无法和数轴上的点一一对应，说法错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的定义；最简二次根式；实数与数轴的关系
【点评】
本题考查实数模块的基础概念，需要准确记忆各类概念的核心内容，注意区分易混淆的知识点，熟练掌握基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
8. 式子$\sqrt{1-x}$成立的条件是
$x≤1$
。答案
8.$x≤1$
解析
【分析】
要确定式子$\sqrt{1-x}$成立的条件，首先回忆二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$的式子叫做二次根式，其中要求被开方数$a$必须是非负数（即$a≥0$）。因此我们只需要让$\sqrt{1-x}$的被开方数$1-x$满足非负的要求，列出对应的不等式，再解出不等式的解集即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于等于0，可得：
$1 - x ≥ 0$
对不等式移项得：
$-x ≥ -1$
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得：
$x ≤ 1$
【答案】
$x≤1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次根式有意义条件的掌握，牢记“二次根式的被开方数为非负数”是解题的关键，只要熟练掌握该知识点和一元一次不等式的解法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要确定式子$\sqrt{1-x}$成立的条件，首先回忆二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$的式子叫做二次根式，其中要求被开方数$a$必须是非负数（即$a≥0$）。因此我们只需要让$\sqrt{1-x}$的被开方数$1-x$满足非负的要求，列出对应的不等式，再解出不等式的解集即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于等于0，可得：
$1 - x ≥ 0$
对不等式移项得：
$-x ≥ -1$
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得：
$x ≤ 1$
【答案】
$x≤1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次根式有意义条件的掌握，牢记“二次根式的被开方数为非负数”是解题的关键，只要熟练掌握该知识点和一元一次不等式的解法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
9. 若整数$t$满足$t＜\sqrt{7}＜t+1$，则$t$的值是
2
。答案
9.2
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算出无理数$\sqrt{7}$的取值范围，核心方法是找到与被开方数7相邻的两个正的完全平方数，利用算术平方根的大小比较规则确定$\sqrt{7}$在哪两个相邻整数之间，再结合题目给出的$t＜\sqrt{7}＜t+1$的关系，就能直接求出整数$t$的值。
【解析】
解：$\because 4 ＜ 7 ＜ 9$，
对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，
即 $2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，
又$\because$ 整数$t$满足$t ＜ \sqrt{7} ＜ t+1$，
对比可得$t=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根大小比较
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对无理数大小估算方法的掌握，解题的关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，从而快速确定无理数的整数取值范围，是实数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要估算出无理数$\sqrt{7}$的取值范围，核心方法是找到与被开方数7相邻的两个正的完全平方数，利用算术平方根的大小比较规则确定$\sqrt{7}$在哪两个相邻整数之间，再结合题目给出的$t＜\sqrt{7}＜t+1$的关系，就能直接求出整数$t$的值。
【解析】
解：$\because 4 ＜ 7 ＜ 9$，
对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，
即 $2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，
又$\because$ 整数$t$满足$t ＜ \sqrt{7} ＜ t+1$，
对比可得$t=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根大小比较
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对无理数大小估算方法的掌握，解题的关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，从而快速确定无理数的整数取值范围，是实数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
10. 已知$a=\sqrt{2}+1$，$b$为$\sqrt{2}$的小数部分，则$a^2 -3ab +b^2$的值为
3
。答案
10.3
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步先确定b的值，要得到无理数的小数部分，需先估算无理数的整数范围，小数部分等于原数减去整数部分；第二步化简所求代数式，直接代入a、b计算运算量较大，可利用完全平方公式将原式变形为更易计算的形式；第三步代入数值计算即可。
首先估算√2的范围：1＜√2＜2，因此√2的整数部分是1，可得b=√2-1；再将a²-3ab+b²变形为(a+b)²-5ab，只需计算a+b和ab的值，代入后就能快速求出结果。
【解析】
步骤1：求b的值
∵1＜√2＜2，
∴√2的整数部分为1
∴√2的小数部分b=√2 - 1
步骤2：计算a+b和ab的值
已知a=√2 +1
则a+b=(√2 +1)+(√2 -1)=2√2
ab=(√2 +1)(√2 -1)=(√2)² - 1²=2-1=1
步骤3：化简并代入计算
a² -3ab +b²
=(a² + 2ab + b²) - 5ab
=(a+b)² -5ab
将a+b=2√2，ab=1代入得：
原式=(2√2)² - 5×1=8 -5=3
【答案】
3
【知识点】
无理数的估算、完全平方公式、代数式化简求值
【点评】
本题解题核心是先正确推导无理数的小数部分，再利用乘法公式对所求代数式变形，能有效降低计算量，避免直接代入展开带来的运算错误，考查了学生的代数变形能力和估算能力。
【难度系数】
0.6
解题可分三步思考：第一步先确定b的值，要得到无理数的小数部分，需先估算无理数的整数范围，小数部分等于原数减去整数部分；第二步化简所求代数式，直接代入a、b计算运算量较大，可利用完全平方公式将原式变形为更易计算的形式；第三步代入数值计算即可。
首先估算√2的范围：1＜√2＜2，因此√2的整数部分是1，可得b=√2-1；再将a²-3ab+b²变形为(a+b)²-5ab，只需计算a+b和ab的值，代入后就能快速求出结果。
【解析】
步骤1：求b的值
∵1＜√2＜2，
∴√2的整数部分为1
∴√2的小数部分b=√2 - 1
步骤2：计算a+b和ab的值
已知a=√2 +1
则a+b=(√2 +1)+(√2 -1)=2√2
ab=(√2 +1)(√2 -1)=(√2)² - 1²=2-1=1
步骤3：化简并代入计算
a² -3ab +b²
=(a² + 2ab + b²) - 5ab
=(a+b)² -5ab
将a+b=2√2，ab=1代入得：
原式=(2√2)² - 5×1=8 -5=3
【答案】
3
【知识点】
无理数的估算、完全平方公式、代数式化简求值
【点评】
本题解题核心是先正确推导无理数的小数部分，再利用乘法公式对所求代数式变形，能有效降低计算量，避免直接代入展开带来的运算错误，考查了学生的代数变形能力和估算能力。
【难度系数】
0.6
11. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1(最下方网格线在数轴上，且右下角小正方形的格点为原点)，点A，B在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C在数轴上代表的数是
$\sqrt{5}-3$
。答案
11.$\sqrt{5}-3$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先结合网格和原点位置确定点A的坐标和AB的长度，以A为圆心画弧，则半径AC=AB；第二步设点C表示的数为x，由于C在数轴（x轴）上，其坐标为(x,0)，AC、A点到x轴的垂线段、C到垂足的线段可构成直角三角形，用勾股定理列方程；第三步解方程后结合C点在图中的位置舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
根据网格特征和原点(0,0)的位置，可得点A的坐标为$(-3,2)$，AB为水平线段，长度为3，因此弧的半径$AC=AB=3$。
设点C在数轴上代表的数为$x$，则C点坐标为$(x,0)$。
由勾股定理可得：
$(x+3)^2 + (0-2)^2 = 3^2$
整理得：
$(x+3)^2 +4 =9$
$(x+3)^2=5$
开方得$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$，即$x=\sqrt{5}-3$或$x=-\sqrt{5}-3$。
结合图形可知点C在原点左侧且靠近原点，$x=-\sqrt{5}-3$不符合位置要求，舍去。
【答案】
$\sqrt{5}-3$
【知识点】
勾股定理的应用，数轴与坐标，平方根运算
【点评】
本题结合网格、数轴考查勾股定理的应用，解题关键是准确确定点的坐标，同时要注意结合图形特征对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步先结合网格和原点位置确定点A的坐标和AB的长度，以A为圆心画弧，则半径AC=AB；第二步设点C表示的数为x，由于C在数轴（x轴）上，其坐标为(x,0)，AC、A点到x轴的垂线段、C到垂足的线段可构成直角三角形，用勾股定理列方程；第三步解方程后结合C点在图中的位置舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
根据网格特征和原点(0,0)的位置，可得点A的坐标为$(-3,2)$，AB为水平线段，长度为3，因此弧的半径$AC=AB=3$。
设点C在数轴上代表的数为$x$，则C点坐标为$(x,0)$。
由勾股定理可得：
$(x+3)^2 + (0-2)^2 = 3^2$
整理得：
$(x+3)^2 +4 =9$
$(x+3)^2=5$
开方得$x+3=\sqrt{5}$或$x+3=-\sqrt{5}$，即$x=\sqrt{5}-3$或$x=-\sqrt{5}-3$。
结合图形可知点C在原点左侧且靠近原点，$x=-\sqrt{5}-3$不符合位置要求，舍去。
【答案】
$\sqrt{5}-3$
【知识点】
勾股定理的应用，数轴与坐标，平方根运算
【点评】
本题结合网格、数轴考查勾股定理的应用，解题关键是准确确定点的坐标，同时要注意结合图形特征对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.65
12. 计算：
(1) $\sqrt[3]{8} + |1 - \sqrt{3}| - \sqrt{12}$；
(2) $(2025 - π)^0 - (\frac{1}{2})^{-1} + \sqrt{8} ÷ \sqrt{2}$。
(1) $\sqrt[3]{8} + |1 - \sqrt{3}| - \sqrt{12}$；
(2) $(2025 - π)^0 - (\frac{1}{2})^{-1} + \sqrt{8} ÷ \sqrt{2}$。
答案
12.(1)$1-\sqrt{3}$ (2)$1$
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
(1) 先分别计算立方根、化简绝对值、化简二次根式，再合并同类项即可得到结果：①根据立方根的定义算出$\sqrt[3]{8}$的结果；②判断$1-\sqrt{3}$的正负，由于$\sqrt{3}＞1$，去绝对值时要变号；③将$\sqrt{12}$化为最简二次根式，最后把三个项的结果合并计算。
(2) 分别计算零指数幂、负整数指数幂、二次根式的除法，再按顺序做加减运算：①根据非零数的0次幂为1，可得$(2025-π)^0$的结果；②根据负整数指数幂的规则，算出$(\frac{1}{2})^{-1}$的结果；③二次根式除法可先将被开方数相除再开方，算出$\sqrt{8}÷\sqrt{2}$的结果，最后按顺序计算即可。
【解析】
(1) 计算$\sqrt[3]{8} + |1 - \sqrt{3}| - \sqrt{12}$：
首先计算各分项的值：
$\sqrt[3]{8}=2$，
$\because \sqrt{3}＞1$，$\therefore |1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
代入原式合并计算：
$\begin{aligned}原式&=2 + (\sqrt{3}-1) - 2\sqrt{3}\\&=2+\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}\\&=1-\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 计算$(2025 - π)^0 - (\frac{1}{2})^{-1} + \sqrt{8} ÷ \sqrt{2}$：
首先计算各分项的值：
$\because 2025-π≠0$，$\therefore (2025-π)^0=1$，
$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，
$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1 - 2 + 2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1) $1-\sqrt{3}$；(2) $1$
【知识点】
实数的混合运算，二次根式的化简，零（负）整数指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，主要考查各类基础运算规则的掌握情况，计算时要注意去绝对值的符号判断、二次根式需化简到最简，牢记指数幂的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
(1) 先分别计算立方根、化简绝对值、化简二次根式，再合并同类项即可得到结果：①根据立方根的定义算出$\sqrt[3]{8}$的结果；②判断$1-\sqrt{3}$的正负，由于$\sqrt{3}＞1$，去绝对值时要变号；③将$\sqrt{12}$化为最简二次根式，最后把三个项的结果合并计算。
(2) 分别计算零指数幂、负整数指数幂、二次根式的除法，再按顺序做加减运算：①根据非零数的0次幂为1，可得$(2025-π)^0$的结果；②根据负整数指数幂的规则，算出$(\frac{1}{2})^{-1}$的结果；③二次根式除法可先将被开方数相除再开方，算出$\sqrt{8}÷\sqrt{2}$的结果，最后按顺序计算即可。
【解析】
(1) 计算$\sqrt[3]{8} + |1 - \sqrt{3}| - \sqrt{12}$：
首先计算各分项的值：
$\sqrt[3]{8}=2$，
$\because \sqrt{3}＞1$，$\therefore |1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$，
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，
代入原式合并计算：
$\begin{aligned}原式&=2 + (\sqrt{3}-1) - 2\sqrt{3}\\&=2+\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}\\&=1-\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 计算$(2025 - π)^0 - (\frac{1}{2})^{-1} + \sqrt{8} ÷ \sqrt{2}$：
首先计算各分项的值：
$\because 2025-π≠0$，$\therefore (2025-π)^0=1$，
$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，
$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1 - 2 + 2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1) $1-\sqrt{3}$；(2) $1$
【知识点】
实数的混合运算，二次根式的化简，零（负）整数指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的常规基础题，主要考查各类基础运算规则的掌握情况，计算时要注意去绝对值的符号判断、二次根式需化简到最简，牢记指数幂的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
