11. 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{3}{\sqrt{5}},\sqrt{\frac{2}{3}},\frac{4}{\sqrt{5}+1}$ 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5};\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2×3}{3×3}}=\frac{\sqrt{6}}{3};\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\frac{4(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}=\sqrt{5}-1$。
像这样，将分母中的无理数转化为有理数的过程叫作分母有理化。
(1) 化简：$\frac{1}{\sqrt{3}}=$ ，$\sqrt{\frac{2}{5}}=$ ；
(2) 填空：$\sqrt{5}+\sqrt{6}$ 的倒数为 ；
(3) 化简：$( \frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}} )(\sqrt{2n+1}+1)$。

11.解:(1)$\dfrac{\sqrt{3}}{3}\quad \dfrac{\sqrt{10}}{5}$
(2)$\sqrt{6}-\sqrt{5}$
(3) 原式 $= ( \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} + \dots + \dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2} )(\sqrt{2n+1}+1)$
$=\dfrac{1}{2}(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+ \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}+1)$
$=\dfrac{1}{2}(\sqrt{2n+1}-1)(\sqrt{2n+1}+1)$
$=\dfrac{1}{2}(2n+1-1)$
$=n$。

【分析】
(1) 对于分母为单个二次根式的式子，将分子、分母同时乘分母中的二次根式即可将分母化为有理数；对于被开方数是分数的二次根式，将被开方数的分子、分母同乘分母的数值后再开方，即可完成化简。
(2) 求一个式子的倒数就是用1除以该式子，再对所得分式分母有理化，给分子分母同乘分母的共轭根式，利用平方差公式把分母转化为有理数即可。
(3) 先观察括号内每一项的结构：分母是两个二次根式相加，且被开方数相差2，先对每一项分别分母有理化，会发现相邻项中间部分可抵消（裂项相消），最后括号内只剩首尾两项，再和后面的$(\sqrt{2n+1}+1)$利用平方差公式计算即可。
【解析】
(1) $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sqrt{\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{2×5}{5×5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
(2) $\sqrt{5}+\sqrt{6}$的倒数为$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}$，分母有理化得：
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$。
(3) 先对括号内每一项分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$，
……
$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})}=\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2}$，
则原式 $= ( \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} + \dots + \dfrac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{2} )(\sqrt{2n+1}+1)$
$=\dfrac{1}{2}(\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\dots+ \sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}+1)$
$=\dfrac{1}{2}(\sqrt{2n+1}-1)(\sqrt{2n+1}+1)$
$=\dfrac{1}{2}[(\sqrt{2n+1})^2-1^2]$
$=\dfrac{1}{2}(2n+1-1)$
$=n$。
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$；$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
(2)$\sqrt{6}-\sqrt{5}$
(3)$n$
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二次根式混合运算
【点评】
本题围绕二次根式化简展开，核心考查分母有理化的方法，第(3)问通过裂项相消简化计算，能较好检验运算技巧和规律总结能力，熟练掌握分母有理化的技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

12. 阅读下面的解题过程：
若代数式$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{(a-3)^2}$的值是2，求a的取值范围。
解：原式$=|a-1| + |a-3|$，
当$a＜1$时，原式$=(1-a)+(3-a)=4-2a=2$，解得$a=1$（舍去）；
当$1≤a≤3$时，原式$=(a-1)+(3-a)=2$，符合条件；
当$a＞3$时，原式$=(a-1)+(a-3)=2a-4=2$，解得$a=3$（舍去）。
所以a的取值范围是$1≤a≤3$。
上述解题过程中主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述方法，解答下列问题：
(1)当$2≤a≤5$时，化简：$\sqrt{(a-2)^2} + \sqrt{(a-5)^2} =$；
(2)若等式$\sqrt{(3-a)^2} + \sqrt{(a-7)^2} =4$成立，则a的取值范围是；
(3)若$\sqrt{(a+1)^2} + \sqrt{(a-5)^2} =8$，求a的值。

12.解:(1)3
(2)$3≤a≤7$
(3)原式可化为$|a+1|+|a-5|=8$，
当$a≤-1$时，$a+1≤0,a-5＜0$，
原式可化为$(-a-1)+(5-a)=8$，
解得$a=-2$，符合题意；
当$-1＜a＜5$时，$a+1＞0,a-5＜0$，
原式可化为$(a+1)+(5-a)=8,6=8$不成立，故不符合题意；
当$a≥5$时，$a+1＞0,a-5≥0$，
原式可化为$(a+1)+(a-5)=8$，
解得$a=6$，符合题意。
综上所述，$a$的值为$-2$或$6$。

【分析】
这道题核心是利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将根式化简转化为绝对值运算，再根据绝对值的性质分情况讨论：首先找到每个绝对值内代数式等于0的“零点”，用零点将数轴分成不同区间，在每个区间内判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后再计算或解方程即可。
(1) 已知a的取值范围，直接判断两个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可得到结果；
(2) 等式为定值，先找零点3和7，分三个区间讨论，找到符合等式成立的a的范围；
(3) 先转化为绝对值和的形式，找零点-1和5，分三个区间分别解方程，验证解是否在对应区间内，保留符合条件的解。
【解析】
(1) 当$2≤a≤5$时，$a-2≥0$，$a-5≤0$，
根据$\sqrt{x^2}=|x|$可得：
原式$=|a-2| + |a-5| = (a-2) + (5-a) = 3$。
(2) 原式可化为$|3-a| + |a-7|=4$，零点为$a=3$和$a=7$，分情况讨论：
① 当$a＜3$时，$3-a＞0$，$a-7＜0$，原式$=(3-a)+(7-a)=10-2a=4$，解得$a=3$，不符合$a＜3$的条件，舍去；
② 当$3≤a≤7$时，$3-a≤0$，$a-7≤0$，原式$=(a-3)+(7-a)=4$，恒成立，符合条件；
③ 当$a＞7$时，$3-a＜0$，$a-7＞0$，原式$=(a-3)+(a-7)=2a-10=4$，解得$a=7$，不符合$a＞7$的条件，舍去；
综上可得a的取值范围。
(3) 原式可化为$|a+1| + |a-5|=8$，零点为$a=-1$和$a=5$，分情况讨论：
① 当$a≤-1$时，$a+1≤0$，$a-5＜0$，
原式$=(-a-1)+(5-a)=8$，即$4-2a=8$，解得$a=-2$，符合$a≤-1$的条件；
② 当$-1＜a＜5$时，$a+1＞0$，$a-5＜0$，
原式$=(a+1)+(5-a)=8$，化简得$6=8$，等式不成立，无符合条件的a；
③ 当$a≥5$时，$a+1＞0$，$a-5≥0$，
原式$=(a+1)+(a-5)=8$，即$2a-4=8$，解得$a=6$，符合$a≥5$的条件；
综上可得a的取值。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{3≤a≤7}$
(3) $\boxed{a=-2}$或$\boxed{a=6}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值化简，分类讨论思想
【点评】
本题将二次根式化简与绝对值运算结合，核心是掌握$\sqrt{x^2}=|x|$的转化规则，解题时要注意先找绝对值的零点划分讨论区间，分类时做到不重不漏，求解后要验证解是否符合对应区间的取值要求。
【难度系数】
0.7