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9.【数学应用】用一根长为$ a $ cm的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按如图所示的方式向外等距扩1 cm，得到新的正方形，则这根铁丝需增加（
A.4 cm
B.8 cm
C.$(a + 4)$cm
D.$(a + 8)$cm
B
）。A.4 cm
B.8 cm
C.$(a + 4)$cm
D.$(a + 8)$cm
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先根据原正方形周长求出原边长，再结合图形明确向外等距扩1cm时，新正方形每条边比原边长增加2cm（左右各扩1cm，上下各扩1cm），接着计算新正方形的周长，最后用新周长减去原周长即可得到铁丝需要增加的长度。
【解析】
解：已知原正方形的周长为$ a $ cm，根据正方形周长公式$ C=4×\mathrm{边长} $，可得原正方形的边长为$ \frac{a}{4} $ cm。
由图可知，向外等距扩1 cm后，新正方形的边长为$ \frac{a}{4} + 1 + 1 = (\frac{a}{4} + 2) $ cm。
则新正方形的周长为$ 4×(\frac{a}{4} + 2) = a + 8 $ cm。
铁丝需要增加的长度为新周长减去原周长：$ (a + 8) - a = 8 $ cm。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形周长计算，整式的加减运算
【点评】
本题结合图形变化考查周长计算和整式运算，解题的关键是正确理解“向外等距扩1cm”的含义，明确每条边实际增加的长度是2cm，避免误算为每条边仅增加1cm导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据原正方形周长求出原边长，再结合图形明确向外等距扩1cm时，新正方形每条边比原边长增加2cm（左右各扩1cm，上下各扩1cm），接着计算新正方形的周长，最后用新周长减去原周长即可得到铁丝需要增加的长度。
【解析】
解：已知原正方形的周长为$ a $ cm，根据正方形周长公式$ C=4×\mathrm{边长} $，可得原正方形的边长为$ \frac{a}{4} $ cm。
由图可知，向外等距扩1 cm后，新正方形的边长为$ \frac{a}{4} + 1 + 1 = (\frac{a}{4} + 2) $ cm。
则新正方形的周长为$ 4×(\frac{a}{4} + 2) = a + 8 $ cm。
铁丝需要增加的长度为新周长减去原周长：$ (a + 8) - a = 8 $ cm。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形周长计算，整式的加减运算
【点评】
本题结合图形变化考查周长计算和整式运算，解题的关键是正确理解“向外等距扩1cm”的含义，明确每条边实际增加的长度是2cm，避免误算为每条边仅增加1cm导致结果错误。
【难度系数】
0.7
10.若$ m,n $互为相反数，则$ (5m - 3n) - (2m - 6n) = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
10.0
解析
【分析】
首先根据互为相反数的性质得到$m+n=0$这一核心关系；其次待求式属于整式加减运算，先按照运算规则去括号，再合并同类项，将式子整理为含有$m+n$的形式，最后整体代入$m+n=0$即可算出结果，不需要单独求解$m$、$n$的具体数值。
【解析】
∵ $m,n$互为相反数
∴ $m + n = 0$
化简待求式：
$\begin{aligned}(5m - 3n) - (2m - 6n)&=5m - 3n - 2m + 6n\\&=(5m-2m)+(-3n+6n)\\&=3m + 3n\\&=3(m + n)\end{aligned}$
将$m+n=0$代入得：原式$=3×0=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质、整式的加减运算、整体代入求值
【点评】
本题属于基础计算类题目，解题核心是先化简整式，再利用相反数的性质整体代入计算，能有效简化运算步骤，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.9
首先根据互为相反数的性质得到$m+n=0$这一核心关系；其次待求式属于整式加减运算，先按照运算规则去括号，再合并同类项，将式子整理为含有$m+n$的形式，最后整体代入$m+n=0$即可算出结果，不需要单独求解$m$、$n$的具体数值。
【解析】
∵ $m,n$互为相反数
∴ $m + n = 0$
化简待求式：
$\begin{aligned}(5m - 3n) - (2m - 6n)&=5m - 3n - 2m + 6n\\&=(5m-2m)+(-3n+6n)\\&=3m + 3n\\&=3(m + n)\end{aligned}$
将$m+n=0$代入得：原式$=3×0=0$
【答案】
0
【知识点】
相反数的性质、整式的加减运算、整体代入求值
【点评】
本题属于基础计算类题目，解题核心是先化简整式，再利用相反数的性质整体代入计算，能有效简化运算步骤，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.9
11.已知关于$x,y$的多项式$(4x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)$，若多项式的值与字母$x$的取值无关，则$a^b=$
9
。答案
11.9
解析
【分析】要解决这个问题，首先明确核心逻辑：若多项式的值与字母x的取值无关，说明多项式中所有含x的项的系数都为0。解题时先对给定多项式去括号、合并同类项，分别整理出含x²、x的项的系数，再令这两个系数等于0，即可求出a、b的值，最后代入计算a^b即可。
【解析】
第一步：对多项式去括号：
$\begin{aligned}&(4x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)\\=&4x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x - 5y + 1\end{aligned}$
第二步：合并同类项，将同类项整理合并：
$=(4 - 2b)x^2 + (a + 3)x - 6y + 7$
第三步：根据多项式的值与x取值无关，可得所有含x的项的系数为0：
x²项系数：$4 - 2b = 0$，解得$b=2$
x项系数：$a + 3 = 0$，解得$a=-3$
第四步：代入计算$a^b$：
$a^b=(-3)^2=9$
【答案】9
【知识点】整式的加减；合并同类项；多项式与字母无关的条件
【点评】本题是整式加减的常考题型，解题关键是理解“多项式的值与某字母取值无关”的含义，即该字母的所有同次项系数均为0，解题时要注意去括号的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：对多项式去括号：
$\begin{aligned}&(4x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)\\=&4x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x - 5y + 1\end{aligned}$
第二步：合并同类项，将同类项整理合并：
$=(4 - 2b)x^2 + (a + 3)x - 6y + 7$
第三步：根据多项式的值与x取值无关，可得所有含x的项的系数为0：
x²项系数：$4 - 2b = 0$，解得$b=2$
x项系数：$a + 3 = 0$，解得$a=-3$
第四步：代入计算$a^b$：
$a^b=(-3)^2=9$
【答案】9
【知识点】整式的加减；合并同类项；多项式与字母无关的条件
【点评】本题是整式加减的常考题型，解题关键是理解“多项式的值与某字母取值无关”的含义，即该字母的所有同次项系数均为0，解题时要注意去括号的符号变化，避免计算失误。
【难度系数】0.7
12.【数学应用】小梅用3天看完了一本书，第一天看了x页，第二天看的比第一天多50页，第三天看的比第二天少85页，用含x的代数式表示这本书的页数为
3x+15
；当$x=100$时，这本书的页数是315
。答案
12.3x+15 315
解析
【分析】
解题时先明确总页数等于三天看书页数之和，第一步根据题目给出的数量关系，分别用含x的代数式表示出第二天、第三天看的页数；第二步将三天的页数相加，通过合并同类项化简得到总页数的代数式；第三步将x=100代入化简后的代数式，计算得到对应总页数即可。
【解析】
1. 表示每天看的页数：
第一天看了x页；
第二天看的页数比第一天多50页，因此第二天看的页数为$x+50$页；
第三天看的页数比第二天少85页，因此第三天看的页数为$(x+50)-85=x-35$页。
2. 计算全书总页数：
总页数为三天页数之和，列式化简如下：
$ \begin{aligned} x+(x+50)+(x-35)&=x+x+50+x-35\\ &=3x+15 \end{aligned} $
3. 代入$x=100$求值：
当$x=100$时，$3x+15=3×100+15=315$。
【答案】
$3x+15$；$315$
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题解题关键是理清三天看书页数的数量关系，注意“多”“少”对应的加减运算不要混淆，合并同类项和代入求值都属于基础运算，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时先明确总页数等于三天看书页数之和，第一步根据题目给出的数量关系，分别用含x的代数式表示出第二天、第三天看的页数；第二步将三天的页数相加，通过合并同类项化简得到总页数的代数式；第三步将x=100代入化简后的代数式，计算得到对应总页数即可。
【解析】
1. 表示每天看的页数：
第一天看了x页；
第二天看的页数比第一天多50页，因此第二天看的页数为$x+50$页；
第三天看的页数比第二天少85页，因此第三天看的页数为$(x+50)-85=x-35$页。
2. 计算全书总页数：
总页数为三天页数之和，列式化简如下：
$ \begin{aligned} x+(x+50)+(x-35)&=x+x+50+x-35\\ &=3x+15 \end{aligned} $
3. 代入$x=100$求值：
当$x=100$时，$3x+15=3×100+15=315$。
【答案】
$3x+15$；$315$
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题解题关键是理清三天看书页数的数量关系，注意“多”“少”对应的加减运算不要混淆，合并同类项和代入求值都属于基础运算，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
13.先化简,再求值:$5a^{2}+[a^{2}+(5a^{2}-2a)-2(a^{2}-3a)]$,其中$a=-\dfrac{1}{2}$。
答案
解:原式=$9a^2+4a$,当$a=-\dfrac{1}{2}$时,原式=$9a^2+4a=9×(-\dfrac{1}{2})^2+4×(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}$。
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，按照“先去小括号，再去中括号”的顺序运算，去括号时要注意两个要点：一是如果括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；二是如果括号前有系数，要将系数乘遍括号内的每一项，不能漏乘。去完括号后合并同类项，将整式化为最简形式。第二步将a的取值代入化简后的式子计算结果，相比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先对整式进行化简：
原式$=5a^{2}+[a^{2}+5a^{2}-2a-2a^{2}+6a]$（去小括号，$-2$乘括号内各项得$-2a^2+6a$）
$=5a^{2}+[4a^{2}+4a]$（合并中括号内的同类项：$a^2+5a^2-2a^2=4a^2$，$-2a+6a=4a$）
$=5a^{2}+4a^{2}+4a$（去中括号，括号前为正号，括号内各项符号不变）
$=9a^2+4a$（合并同类项得到最简式）
再代入$a=-\dfrac{1}{2}$求值：
当$a=-\dfrac{1}{2}$时，
原式$=9×(-\dfrac{1}{2})^2 + 4×(-\dfrac{1}{2})$
$=9×\dfrac{1}{4} - 2$
$=\dfrac{9}{4} - \dfrac{8}{4}$
$=\dfrac{1}{4}$
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础题型，重点考查去括号规则和合并同类项的运算能力，做题时需注意去括号时的符号变化和乘法分配律的正确应用，避免出现漏乘或符号错误，化简后代入求值可以有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
这是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，按照“先去小括号，再去中括号”的顺序运算，去括号时要注意两个要点：一是如果括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号；二是如果括号前有系数，要将系数乘遍括号内的每一项，不能漏乘。去完括号后合并同类项，将整式化为最简形式。第二步将a的取值代入化简后的式子计算结果，相比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先对整式进行化简：
原式$=5a^{2}+[a^{2}+5a^{2}-2a-2a^{2}+6a]$（去小括号，$-2$乘括号内各项得$-2a^2+6a$）
$=5a^{2}+[4a^{2}+4a]$（合并中括号内的同类项：$a^2+5a^2-2a^2=4a^2$，$-2a+6a=4a$）
$=5a^{2}+4a^{2}+4a$（去中括号，括号前为正号，括号内各项符号不变）
$=9a^2+4a$（合并同类项得到最简式）
再代入$a=-\dfrac{1}{2}$求值：
当$a=-\dfrac{1}{2}$时，
原式$=9×(-\dfrac{1}{2})^2 + 4×(-\dfrac{1}{2})$
$=9×\dfrac{1}{4} - 2$
$=\dfrac{9}{4} - \dfrac{8}{4}$
$=\dfrac{1}{4}$
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础题型，重点考查去括号规则和合并同类项的运算能力，做题时需注意去括号时的符号变化和乘法分配律的正确应用，避免出现漏乘或符号错误，化简后代入求值可以有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
14.【数学应用】用一根铁丝正好围成一个长是$2a+3b$、宽是$a+b$的长方形，把这根铁丝剪开，其中一部分可围成一个长是$a$、宽是$b$的长方形（均不计接缝），求另一部分铁丝的长。
答案
14.$4a+6b$
解析
【分析】
解题思路如下：首先，铁丝的总长度等于最初围成的大长方形的周长，我们可以先用长方形周长公式求出铁丝总长；其次，求出剪去的小长方形的周长；最后用铁丝总长减去小长方形的周长，即可得到另一部分铁丝的长度，计算过程中按照整式加减的去括号、合并同类项法则运算即可。
【解析】
解：根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，先计算铁丝总长度（即原大长方形的周长）：
$2[(2a+3b)+(a+b)]$
合并括号内同类项得：$=2×(3a+4b)=6a+8b$
再计算剪去的小长方形的周长：
$2(a+b)=2a+2b$
剩余部分铁丝的长度 = 铁丝总长 - 小长方形周长，代入得：
$(6a+8b)-(2a+2b)$
去括号得：$=6a+8b-2a-2b$
合并同类项得：$=4a+6b$
【答案】
$4a+6b$
【知识点】
长方形周长计算；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的实际应用问题，解题关键是明确各部分铁丝长度对应长方形的周长，计算时要注意去括号时不要漏乘系数，同时注意符号变化。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，铁丝的总长度等于最初围成的大长方形的周长，我们可以先用长方形周长公式求出铁丝总长；其次，求出剪去的小长方形的周长；最后用铁丝总长减去小长方形的周长，即可得到另一部分铁丝的长度，计算过程中按照整式加减的去括号、合并同类项法则运算即可。
【解析】
解：根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，先计算铁丝总长度（即原大长方形的周长）：
$2[(2a+3b)+(a+b)]$
合并括号内同类项得：$=2×(3a+4b)=6a+8b$
再计算剪去的小长方形的周长：
$2(a+b)=2a+2b$
剩余部分铁丝的长度 = 铁丝总长 - 小长方形周长，代入得：
$(6a+8b)-(2a+2b)$
去括号得：$=6a+8b-2a-2b$
合并同类项得：$=4a+6b$
【答案】
$4a+6b$
【知识点】
长方形周长计算；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的实际应用问题，解题关键是明确各部分铁丝长度对应长方形的周长，计算时要注意去括号时不要漏乘系数，同时注意符号变化。
【难度系数】
0.8
