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8 整式的加减(第3课时)
课堂精要·梳理内容
1.进行整式加减运算时,如果遇到括号要先
2.能综合运用去括号、合并同类项等法则化简整式。
3.能利用整式的加减求代数式的值和解决简单的实际问题。
课堂精要·梳理内容
1.进行整式加减运算时,如果遇到括号要先
去括号
,再合并同类项
。2.能综合运用去括号、合并同类项等法则化简整式。
3.能利用整式的加减求代数式的值和解决简单的实际问题。
答案
1.去括号 合并同类项
解析
【分析】
本题考查整式加减的基本运算步骤，属于基础识记类题目。解题时先回忆整式加减的运算规则：整式加减的本质就是去括号和合并同类项的过程，遇到括号时首先要按去括号法则去掉括号，去掉括号后式子中会存在若干同类项，再按照合并同类项的法则把同类项合并，就能得到化简后的整式，因此结合运算顺序就能准确填出两个空的内容。
【解析】
根据整式加减的运算法则：进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项，因此两个空依次填入去括号、合并同类项。
【答案】
1.去括号 合并同类项
【知识点】
整式加减运算法则、去括号、合并同类项
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对整式加减基本运算流程的记忆，是开展整式化简、代数式求值等后续运算的核心基础，需牢固掌握该运算顺序。
【难度系数】
0.9
本题考查整式加减的基本运算步骤，属于基础识记类题目。解题时先回忆整式加减的运算规则：整式加减的本质就是去括号和合并同类项的过程，遇到括号时首先要按去括号法则去掉括号，去掉括号后式子中会存在若干同类项，再按照合并同类项的法则把同类项合并，就能得到化简后的整式，因此结合运算顺序就能准确填出两个空的内容。
【解析】
根据整式加减的运算法则：进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项，因此两个空依次填入去括号、合并同类项。
【答案】
1.去括号 合并同类项
【知识点】
整式加减运算法则、去括号、合并同类项
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对整式加减基本运算流程的记忆，是开展整式化简、代数式求值等后续运算的核心基础，需牢固掌握该运算顺序。
【难度系数】
0.9
1. 化简$x-y-(x+y)$的最后结果是(
A.0
B.$2x$
C.$-2y$
D.$2x-2y$
C
)。A.0
B.$2x$
C.$-2y$
D.$2x-2y$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查整式的加减运算，解题思路分两步：第一步先去括号，根据去括号法则，括号前是负号时，括号内的每一项都要改变符号；第二步合并同类项，将所含字母相同且相同字母指数也相同的项的系数相加，最终化简得到结果即可对应选项。
【解析】
解：对原式先进行去括号运算：
$x-y-(x+y) = x - y - x - y$
再合并同类项：
$x - x - y - y = (1-1)x + (-1-1)y = 0 - 2y = -2y$
因此化简结果为$-2y$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的基础题型，核心易错点是去括号时的符号处理，熟练掌握去括号的符号规则是正确解决这类问题的关键，也是后续学习复杂整式运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的加减运算，解题思路分两步：第一步先去括号，根据去括号法则，括号前是负号时，括号内的每一项都要改变符号；第二步合并同类项，将所含字母相同且相同字母指数也相同的项的系数相加，最终化简得到结果即可对应选项。
【解析】
解：对原式先进行去括号运算：
$x-y-(x+y) = x - y - x - y$
再合并同类项：
$x - x - y - y = (1-1)x + (-1-1)y = 0 - 2y = -2y$
因此化简结果为$-2y$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的基础题型，核心易错点是去括号时的符号处理，熟练掌握去括号的符号规则是正确解决这类问题的关键，也是后续学习复杂整式运算的重要基础。
【难度系数】
0.8
2. 计算$6a^2 - 2ab - 2(3a^2 + \frac{1}{2}ab)$的结果是（
A.$-3ab$
B.$-ab$
C.$3a^2$
D.$9a^2$
A
）。A.$-3ab$
B.$-ab$
C.$3a^2$
D.$9a^2$
答案
2.A
解析
【分析】
这是一道整式加减的运算题，解题思路遵循整式加减的基本步骤：第一步先去括号，去括号时要注意两点：一是括号前的系数要乘遍括号内的每一项，不能漏乘；二是括号前是负号，去括号后括号内的每一项都要变号。第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最后将化简结果对应选项即可。
【解析】
解：先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=6a^2 - 2ab - (2×3a^2 + 2×\frac{1}{2}ab)\\&=6a^2 - 2ab - 6a^2 - ab\\&=(6a^2 - 6a^2) + (-2ab - ab)\\&=-3ab\end{aligned}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的基础练习题，易错点为去括号时漏乘括号内的项、或未改变括号内各项的符号，熟练掌握整式加减的运算规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
这是一道整式加减的运算题，解题思路遵循整式加减的基本步骤：第一步先去括号，去括号时要注意两点：一是括号前的系数要乘遍括号内的每一项，不能漏乘；二是括号前是负号，去括号后括号内的每一项都要变号。第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最后将化简结果对应选项即可。
【解析】
解：先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=6a^2 - 2ab - (2×3a^2 + 2×\frac{1}{2}ab)\\&=6a^2 - 2ab - 6a^2 - ab\\&=(6a^2 - 6a^2) + (-2ab - ab)\\&=-3ab\end{aligned}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的基础练习题，易错点为去括号时漏乘括号内的项、或未改变括号内各项的符号，熟练掌握整式加减的运算规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3.若多项式$3x^2 - 2xy - y^2$减去多项式M，所得的差是$-5x^2 + xy - 2y^2$，则多项式M是（
A.$8x^2 - 3xy + y^2$
B.$2x^2 + xy + 3y^2$
C.$-8x^2 + 3xy - y^2$
D.$-2x^2 - xy - 3y^2$
A
）。A.$8x^2 - 3xy + y^2$
B.$2x^2 + xy + 3y^2$
C.$-8x^2 + 3xy - y^2$
D.$-2x^2 - xy - 3y^2$
答案
3.A
解析
【分析】
首先根据减法运算中各部分的关系：减数=被减数-差，确定多项式M的表达式为被减数$3x^2 - 2xy - y^2$减去差$-5x^2 + xy - 2y^2$。接下来按照整式加减的运算步骤，先去括号，再合并同类项，即可求出M的结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据题意可得：
$M = (3x^2 - 2xy - y^2) - (-5x^2 + xy - 2y^2)$
第一步去括号，括号前是负号，括号内各项需变号：
$M = 3x^2 - 2xy - y^2 + 5x^2 - xy + 2y^2$
第二步合并同类项，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变：
$M = (3x^2 + 5x^2) + (-2xy - xy) + (-y^2 + 2y^2)$
$M = 8x^2 - 3xy + y^2$
【答案】
A
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心是明确减法各部分的数量关系，运算过程中需格外注意去括号时的符号变化，熟练掌握合并同类项的规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
首先根据减法运算中各部分的关系：减数=被减数-差，确定多项式M的表达式为被减数$3x^2 - 2xy - y^2$减去差$-5x^2 + xy - 2y^2$。接下来按照整式加减的运算步骤，先去括号，再合并同类项，即可求出M的结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据题意可得：
$M = (3x^2 - 2xy - y^2) - (-5x^2 + xy - 2y^2)$
第一步去括号，括号前是负号，括号内各项需变号：
$M = 3x^2 - 2xy - y^2 + 5x^2 - xy + 2y^2$
第二步合并同类项，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变：
$M = (3x^2 + 5x^2) + (-2xy - xy) + (-y^2 + 2y^2)$
$M = 8x^2 - 3xy + y^2$
【答案】
A
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心是明确减法各部分的数量关系，运算过程中需格外注意去括号时的符号变化，熟练掌握合并同类项的规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
4.多项式$x - y$减去$-x + 3y$的差是。
。
。
答案
4.$2x-4y$
解析
【分析】
要计算两个多项式的差，首先需明确被减数和减数，根据题意列出正确的算式，再按照整式加减的运算规则计算：第一步先去括号，注意括号前是负号时，括号内各项都要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，即可得到结果。
【解析】
根据题意可列算式：
$\begin{aligned}&(x - y) - (-x + 3y)\\=&x - y + x - 3y\\=&(x + x) + (-y - 3y)\\=&2x - 4y\end{aligned}$
【答案】
$2x-4y$
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查去括号的符号规则以及合并同类项的方法，解题时需重点注意去括号时的符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.9
要计算两个多项式的差，首先需明确被减数和减数，根据题意列出正确的算式，再按照整式加减的运算规则计算：第一步先去括号，注意括号前是负号时，括号内各项都要变号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，即可得到结果。
【解析】
根据题意可列算式：
$\begin{aligned}&(x - y) - (-x + 3y)\\=&x - y + x - 3y\\=&(x + x) + (-y - 3y)\\=&2x - 4y\end{aligned}$
【答案】
$2x-4y$
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查去括号的符号规则以及合并同类项的方法，解题时需重点注意去括号时的符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.9
5.在横线上填上适当的整式：$(3a^2 - 2a - 5)+(\_\_\_\_\_\_)=a^2 -7a +9$。
答案
5.$-2a^2 -5a +14$
解析
【分析】
根据加法中各部分的关系：一个加数 = 和 - 另一个加数，本题已知两个整式的和为$a^2 -7a +9$，其中一个加数是$3a^2 - 2a -5$，因此求横线上的整式只需用和减去已知的加数即可。计算时先按照去括号法则去掉括号，再合并同类项，注意括号前是减号时，去括号后括号内各项都要变号。
【解析】
设横线上的整式为$A$，根据题意可得：
$\begin{aligned}A&=(a^2 -7a +9)-(3a^2 - 2a -5)\\&=a^2 -7a +9 -3a^2 +2a +5\\&=(a^2 -3a^2)+(-7a +2a)+(9 +5)\\&=-2a^2 -5a +14\end{aligned}$
【答案】
$-2a^2 -5a +14$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础常规题，核心是利用加减法的互逆关系列出运算式，易错点是去括号时的符号处理，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则即可正确解题。
【难度系数】
0.7
根据加法中各部分的关系：一个加数 = 和 - 另一个加数，本题已知两个整式的和为$a^2 -7a +9$，其中一个加数是$3a^2 - 2a -5$，因此求横线上的整式只需用和减去已知的加数即可。计算时先按照去括号法则去掉括号，再合并同类项，注意括号前是减号时，去括号后括号内各项都要变号。
【解析】
设横线上的整式为$A$，根据题意可得：
$\begin{aligned}A&=(a^2 -7a +9)-(3a^2 - 2a -5)\\&=a^2 -7a +9 -3a^2 +2a +5\\&=(a^2 -3a^2)+(-7a +2a)+(9 +5)\\&=-2a^2 -5a +14\end{aligned}$
【答案】
$-2a^2 -5a +14$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础常规题，核心是利用加减法的互逆关系列出运算式，易错点是去括号时的符号处理，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则即可正确解题。
【难度系数】
0.7
6.计算:
(1)$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)]$;
(2)$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)]$。
(1)$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)]$;
(2)$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)]$。
答案
6.解:(1)$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)] = 6x^2 - (-3x^2 - x + 1) = 6x^2 + 3x^2 + x - 1 = 9x^2 + x - 1$。
(2)$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)] = 5a^2 - 3b^2 - a^2 + 2ab + b^2 - 5a^2 - 2ab - 3b^2 = -a^2 - 5b^2$。
(2)$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)] = 5a^2 - 3b^2 - a^2 + 2ab + b^2 - 5a^2 - 2ab - 3b^2 = -a^2 - 5b^2$。
解析
【分析】
这两道题都属于整式的加减运算，解题核心是熟练运用去括号法则和合并同类项法则。思考步骤如下：1. 去括号：按照先小括号、后中括号的顺序，若括号前是负号，去掉括号后括号内的每一项都要变号；若括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变。2. 合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，互为相反数的同类项可以直接抵消简化计算。
【解析】
(1) 按先去小括号、再去中括号、最后合并同类项的顺序计算：
$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)]$
$= 6x^2 - (-3x^2 - x + 1)$
$= 6x^2 + 3x^2 + x - 1$
$= 9x^2 + x - 1$
(2) 先去内层小括号，再去中括号，最后分组合并同类项：
$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)]$
$= 5a^2 - 3b^2 - a^2 + 2ab + b^2 - 5a^2 - 2ab - 3b^2$
$= (5a^2 - a^2 - 5a^2) + (2ab - 2ab) + (-3b^2 + b^2 - 3b^2)$
$= -a^2 - 5b^2$
【答案】
(1) $9x^2 + x - 1$；(2) $-a^2 - 5b^2$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减的常规基础题型，重点考查去括号时的符号变化规则，以及合并同类项的运算能力。解题时需注意多层括号的去括号顺序，括号前为负号时不要漏变符号，同类项合并时可先分组再计算，互为相反数的同类项直接抵消能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
这两道题都属于整式的加减运算，解题核心是熟练运用去括号法则和合并同类项法则。思考步骤如下：1. 去括号：按照先小括号、后中括号的顺序，若括号前是负号，去掉括号后括号内的每一项都要变号；若括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变。2. 合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，互为相反数的同类项可以直接抵消简化计算。
【解析】
(1) 按先去小括号、再去中括号、最后合并同类项的顺序计算：
$6x^2 - [-3x^2 - (x - 1)]$
$= 6x^2 - (-3x^2 - x + 1)$
$= 6x^2 + 3x^2 + x - 1$
$= 9x^2 + x - 1$
(2) 先去内层小括号，再去中括号，最后分组合并同类项：
$(5a^2 - 3b^2) + [-(a^2 - 2ab - b^2) - (5a^2 + 2ab + 3b^2)]$
$= 5a^2 - 3b^2 - a^2 + 2ab + b^2 - 5a^2 - 2ab - 3b^2$
$= (5a^2 - a^2 - 5a^2) + (2ab - 2ab) + (-3b^2 + b^2 - 3b^2)$
$= -a^2 - 5b^2$
【答案】
(1) $9x^2 + x - 1$；(2) $-a^2 - 5b^2$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减的常规基础题型，重点考查去括号时的符号变化规则，以及合并同类项的运算能力。解题时需注意多层括号的去括号顺序，括号前为负号时不要漏变符号，同类项合并时可先分组再计算，互为相反数的同类项直接抵消能减少计算错误。
【难度系数】
0.7
7.若A和B都是五次多项式，则A+B一定是(
A.十次多项式
B.五次多项式
C.次数不高于5的整式
D.次数不低于5的整式
C
)。A.十次多项式
B.五次多项式
C.次数不高于5的整式
D.次数不低于5的整式
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：①多项式的次数指的是多项式中次数最高的项的次数；②整式加减的本质是合并同类项，合并同类项仅改变项的系数，不会改变字母和字母的次数，因此运算后整式的最高次数不会超过原来的最高次数。接下来分两种情况讨论：若两个五次多项式的五次项系数相加不为0，那么和的最高次仍是5次；若两个五次多项式的五次项系数互为相反数，相加后五次项会抵消，和的最高次就会小于5次。再结合多项式属于整式，相加结果仍是整式，就能判断各选项的对错。
【解析】
首先明确相关规则：
1. 多项式的次数是多项式内次数最高项的次数，多项式属于整式；
2. 整式加减的本质是合并同类项，合并后项的次数不会高于合并前的最高次数。
分两种情况分析A+B的次数：
情况1：若A、B的五次项不是同类项，或是同类项但系数之和不为0，此时A+B的最高次项仍为5次，是五次多项式；
情况2：若A、B的五次项是同类项，且系数互为相反数，相加后五次项抵消，此时A+B的最高次数小于5。
综上，A+B一定是次数不高于5的整式。
对选项逐一判断：
A. 整式加减不会升高次数，不可能得到十次多项式，错误；
B. 当五次项抵消时，A+B不是五次多项式，错误；
C. 符合上述分析结论，正确；
D. A+B的次数可能低于5，不可能不低于5，错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题易误选B选项，解题时需要考虑到最高次项的系数互为相反数时，合并同类项后最高次项会消失的情况，分析问题要全面覆盖所有可能的情形。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆两个核心知识点：①多项式的次数指的是多项式中次数最高的项的次数；②整式加减的本质是合并同类项，合并同类项仅改变项的系数，不会改变字母和字母的次数，因此运算后整式的最高次数不会超过原来的最高次数。接下来分两种情况讨论：若两个五次多项式的五次项系数相加不为0，那么和的最高次仍是5次；若两个五次多项式的五次项系数互为相反数，相加后五次项会抵消，和的最高次就会小于5次。再结合多项式属于整式，相加结果仍是整式，就能判断各选项的对错。
【解析】
首先明确相关规则：
1. 多项式的次数是多项式内次数最高项的次数，多项式属于整式；
2. 整式加减的本质是合并同类项，合并后项的次数不会高于合并前的最高次数。
分两种情况分析A+B的次数：
情况1：若A、B的五次项不是同类项，或是同类项但系数之和不为0，此时A+B的最高次项仍为5次，是五次多项式；
情况2：若A、B的五次项是同类项，且系数互为相反数，相加后五次项抵消，此时A+B的最高次数小于5。
综上，A+B一定是次数不高于5的整式。
对选项逐一判断：
A. 整式加减不会升高次数，不可能得到十次多项式，错误；
B. 当五次项抵消时，A+B不是五次多项式，错误；
C. 符合上述分析结论，正确；
D. A+B的次数可能低于5，不可能不低于5，错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题易误选B选项，解题时需要考虑到最高次项的系数互为相反数时，合并同类项后最高次项会消失的情况，分析问题要全面覆盖所有可能的情形。
【难度系数】
0.7
