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8.【数学应用】一根铁丝的长为$5a+4b$，剪下一部分围成一个长为$2a$、宽为$b$的长方形，则这根铁丝剩下的长为
$a+2b$
。答案
8.$a+2b$
解析
【分析】
要计算剩下的铁丝长度，需遵循“剩余长度=铁丝总长度-围成长方形用去的长度”的数量关系求解：第一步先根据长方形周长公式计算围长方形用掉的铁丝长度；第二步用总长度减去用掉的长度，列出整式减法算式；第三步通过去括号、合并同类项化简得到最终结果。
【解析】
首先计算围成长方形需要的铁丝长度（即长方形的周长）：
长方形周长公式为$C=2×(长+宽)$，已知长为$2a$，宽为$b$，代入得：
用去的铁丝长度$=2(2a + b)=4a + 2b$
已知铁丝总长度为$5a + 4b$，则剩余长度为：
$\begin{aligned}&(5a + 4b) - (4a + 2b)\\=&5a + 4b - 4a - 2b\\=&(5a - 4a) + (4b - 2b)\\=&a + 2b\end{aligned}$
【答案】
$a+2b$
【知识点】
长方形周长计算，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的实际应用类基础题，解题的核心是先明确各数量间的关系，正确列出算式，计算时需注意去括号时的符号变化规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要计算剩下的铁丝长度，需遵循“剩余长度=铁丝总长度-围成长方形用去的长度”的数量关系求解：第一步先根据长方形周长公式计算围长方形用掉的铁丝长度；第二步用总长度减去用掉的长度，列出整式减法算式；第三步通过去括号、合并同类项化简得到最终结果。
【解析】
首先计算围成长方形需要的铁丝长度（即长方形的周长）：
长方形周长公式为$C=2×(长+宽)$，已知长为$2a$，宽为$b$，代入得：
用去的铁丝长度$=2(2a + b)=4a + 2b$
已知铁丝总长度为$5a + 4b$，则剩余长度为：
$\begin{aligned}&(5a + 4b) - (4a + 2b)\\=&5a + 4b - 4a - 2b\\=&(5a - 4a) + (4b - 2b)\\=&a + 2b\end{aligned}$
【答案】
$a+2b$
【知识点】
长方形周长计算，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的实际应用类基础题，解题的核心是先明确各数量间的关系，正确列出算式，计算时需注意去括号时的符号变化规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
9.定义一种新运算：$a * b = 3a - 2b$，则$(2x + y) * (3x - 2y) = \_\_\_\_\_\_$。
答案
9.$7y$
解析
【分析】
解题时首先要读懂新运算的规则：$a*b = 3a - 2b$，即运算结果等于第一个数的3倍减去第二个数的2倍。接下来把$(2x+y)$看作规则中的$a$，$(3x-2y)$看作规则中的$b$，整体代入运算公式后，再按照整式加减的运算步骤，先去括号，再合并同类项就能得到最终结果。
【解析】
根据新运算的定义，将$a=2x+y$，$b=3x-2y$代入$a*b = 3a - 2b$可得：
$\begin{aligned}(2x+y)*(3x-2y)&=3(2x+y)-2(3x-2y)\\&=6x+3y-6x+4y\\&=(6x-6x)+(3y+4y)\\&=7y\end{aligned}$
【答案】
$7y$
【知识点】
新定义运算，整式加减，合并同类项
【点评】
本题是新定义类基础运算题，核心是将陌生的新运算转化为已学的整式加减运算，计算时要注意去括号时的符号变化，避免漏乘或符号错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要读懂新运算的规则：$a*b = 3a - 2b$，即运算结果等于第一个数的3倍减去第二个数的2倍。接下来把$(2x+y)$看作规则中的$a$，$(3x-2y)$看作规则中的$b$，整体代入运算公式后，再按照整式加减的运算步骤，先去括号，再合并同类项就能得到最终结果。
【解析】
根据新运算的定义，将$a=2x+y$，$b=3x-2y$代入$a*b = 3a - 2b$可得：
$\begin{aligned}(2x+y)*(3x-2y)&=3(2x+y)-2(3x-2y)\\&=6x+3y-6x+4y\\&=(6x-6x)+(3y+4y)\\&=7y\end{aligned}$
【答案】
$7y$
【知识点】
新定义运算，整式加减，合并同类项
【点评】
本题是新定义类基础运算题，核心是将陌生的新运算转化为已学的整式加减运算，计算时要注意去括号时的符号变化，避免漏乘或符号错误。
【难度系数】
0.8
10.已知$M=x^3+x^2+x+1$，$N=x^2+x$，
计算：
(1)$2M-3N$；
(2)$3N-2M$。
计算：
(1)$2M-3N$；
(2)$3N-2M$。
答案
10.解:(1)$2M-3N$
$=2(x^3+x^2+x+1)-3(x^2+x)$
$=2x^3 - x^2 - x + 2$。
(2)$3N-2M$
$=3(x^2+x)-2(x^3+x^2+x+1)$
$=-2x^3 + x^2 + x - 2$。
$=2(x^3+x^2+x+1)-3(x^2+x)$
$=2x^3 - x^2 - x + 2$。
(2)$3N-2M$
$=3(x^2+x)-2(x^3+x^2+x+1)$
$=-2x^3 + x^2 + x - 2$。
解析
【分析】
本题考查整式的加减运算，解题思路可分为三步：①整体代入：将已知的M、N对应的多项式完整代入所求代数式，代入时要给多项式加上括号，避免运算时出现符号错误；②去括号：根据去括号法则，把括号外的系数乘到括号内的每一项，同时注意符号规则：括号前是正号，去括号后各项符号不变，括号前是负号，去括号后各项符号都要改变；③合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终化简得到结果。另外第(2)小问也可利用互为相反数的代数式的关系，直接对第(1)小问的结果取相反数，简化计算。
【解析】
(1) 把$M=x^3+x^2+x+1$，$N=x^2+x$代入$2M-3N$：
$\begin{aligned}2M-3N&=2(x^3+x^2+x+1)-3(x^2+x)\\&=2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 - 3x^2 - 3x\\&=2x^3 + (2x^2-3x^2) + (2x-3x) + 2\\&=2x^3 - x^2 - x + 2\end{aligned}$
(2) 把$M=x^3+x^2+x+1$，$N=x^2+x$代入$3N-2M$：
$\begin{aligned}3N-2M&=3(x^2+x)-2(x^3+x^2+x+1)\\&=3x^2 + 3x - 2x^3 - 2x^2 - 2x - 2\\&=-2x^3 + (3x^2-2x^2) + (3x-2x) - 2\\&=-2x^3 + x^2 + x - 2\end{aligned}$
【答案】
(1)$2x^3 - x^2 - x + 2$；(2)$-2x^3 + x^2 + x - 2$
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式加减运算的常规基础题，重点考察代数式代入、去括号和合并同类项的运算能力，计算时需注意括号外的系数要乘遍括号内所有项，同时注意符号变化，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的加减运算，解题思路可分为三步：①整体代入：将已知的M、N对应的多项式完整代入所求代数式，代入时要给多项式加上括号，避免运算时出现符号错误；②去括号：根据去括号法则，把括号外的系数乘到括号内的每一项，同时注意符号规则：括号前是正号，去括号后各项符号不变，括号前是负号，去括号后各项符号都要改变；③合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终化简得到结果。另外第(2)小问也可利用互为相反数的代数式的关系，直接对第(1)小问的结果取相反数，简化计算。
【解析】
(1) 把$M=x^3+x^2+x+1$，$N=x^2+x$代入$2M-3N$：
$\begin{aligned}2M-3N&=2(x^3+x^2+x+1)-3(x^2+x)\\&=2x^3 + 2x^2 + 2x + 2 - 3x^2 - 3x\\&=2x^3 + (2x^2-3x^2) + (2x-3x) + 2\\&=2x^3 - x^2 - x + 2\end{aligned}$
(2) 把$M=x^3+x^2+x+1$，$N=x^2+x$代入$3N-2M$：
$\begin{aligned}3N-2M&=3(x^2+x)-2(x^3+x^2+x+1)\\&=3x^2 + 3x - 2x^3 - 2x^2 - 2x - 2\\&=-2x^3 + (3x^2-2x^2) + (3x-2x) - 2\\&=-2x^3 + x^2 + x - 2\end{aligned}$
【答案】
(1)$2x^3 - x^2 - x + 2$；(2)$-2x^3 + x^2 + x - 2$
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式加减运算的常规基础题，重点考察代数式代入、去括号和合并同类项的运算能力，计算时需注意括号外的系数要乘遍括号内所有项，同时注意符号变化，避免出现漏乘、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8
11. 试说明不论 $ x $ 取何值，代数式 $(x^3 +5x^2 +4x -3)-(-x^2 +2x^3 -3x -1)+(4 -7x -6x^2 +x^3)$ 的值不变。
答案
11.解:因为原式$=x^3 +5x^2 +4x -3 +x^2 -2x^3 +3x +1 +4 -7x -6x^2 +x^3 =(1-2+1)x^3 +(5+1-6)x^2 +(4+3-7)x +(-3+1+4)=2$,所以不论 $ x $ 取何值,代数式 $(x^3 +5x^2 +4x -3)-(-x^2 +2x^3 -3x -1)+(4 -7x -6x^2 +x^3)$ 的值不变。
解析
【分析】
要说明代数式的值与x的取值无关，只需将代数式化简，若化简结果是不含x的常数，就能证明值不随x的变化而改变。解题步骤如下：第一步，根据去括号法则去掉所有括号，注意括号前为负号时，括号内各项要变号；第二步，将同类项的系数相加合并同类项；第三步，观察最终结果，若为常数则符合题意。
【解析】
解：先对原式去括号：
原式$=x^3 +5x^2 +4x -3 +x^2 -2x^3 +3x +1 +4 -7x -6x^2 +x^3$
再合并同类项，分别计算同类项的系数和：
$=(1-2+1)x^3 +(5+1-6)x^2 +(4+3-7)x +(-3+1+4)$
$=0x^3 + 0x^2 + 0x + 2$
$=2$
化简后结果为常数2，与x的取值没有关系。
【答案】
不论$x$取何值，该代数式的值恒为2，保持不变。
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础常考题型，解题关键是正确掌握去括号、合并同类项的运算规则，理解代数式的值与某一字母无关的本质是化简后不含该字母的所有项，能有效考查整式运算的基本功。
【难度系数】
0.8
要说明代数式的值与x的取值无关，只需将代数式化简，若化简结果是不含x的常数，就能证明值不随x的变化而改变。解题步骤如下：第一步，根据去括号法则去掉所有括号，注意括号前为负号时，括号内各项要变号；第二步，将同类项的系数相加合并同类项；第三步，观察最终结果，若为常数则符合题意。
【解析】
解：先对原式去括号：
原式$=x^3 +5x^2 +4x -3 +x^2 -2x^3 +3x +1 +4 -7x -6x^2 +x^3$
再合并同类项，分别计算同类项的系数和：
$=(1-2+1)x^3 +(5+1-6)x^2 +(4+3-7)x +(-3+1+4)$
$=0x^3 + 0x^2 + 0x + 2$
$=2$
化简后结果为常数2，与x的取值没有关系。
【答案】
不论$x$取何值，该代数式的值恒为2，保持不变。
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础常考题型，解题关键是正确掌握去括号、合并同类项的运算规则，理解代数式的值与某一字母无关的本质是化简后不含该字母的所有项，能有效考查整式运算的基本功。
【难度系数】
0.8
12.已知关于$x,y$的多项式$5x^2 - 2xy^2 - [3xy + 4y^2 + (9xy - 2y^2 - 2mxy^2) + 7x^2] - 1$。
(1)若该多项式不含三次项，求$m$的值；
(2)在(1)的条件下，当$x^2 + y^2 = 13$，$xy = -6$时，求该多项式的值。
(1)若该多项式不含三次项，求$m$的值；
(2)在(1)的条件下，当$x^2 + y^2 = 13$，$xy = -6$时，求该多项式的值。
答案
12.解:(1)原式$=-2x^2 - 2y^2 - 12xy + (-2+2m)xy^2 - 1$。
因为该多项式不含三次项，
所以$-2+2m=0$，
解得$m=1$。
(2)原式$=-2x^2 - 2y^2 - 12xy - 1 = -2(x^2+y^2)-12xy -1$。
当$x^2 + y^2 = 13$，$xy = -6$时，
原式$=-2(x^2+y^2)-12xy -1 = -2×13 -12×(-6) -1 = 45$。
因为该多项式不含三次项，
所以$-2+2m=0$，
解得$m=1$。
(2)原式$=-2x^2 - 2y^2 - 12xy - 1 = -2(x^2+y^2)-12xy -1$。
当$x^2 + y^2 = 13$，$xy = -6$时，
原式$=-2(x^2+y^2)-12xy -1 = -2×13 -12×(-6) -1 = 45$。
解析
【分析】
（1）要解决多项式不含三次项求m的问题，首先需要对多项式去括号、合并同类项，明确三次项是次数为3的项，不含三次项意味着三次项的系数为0，据此列方程即可求出m的值。去括号时注意先去小括号再去中括号，括号前是负号时括号内各项要变号。
（2）在得到m的值后代入化简后的多项式，观察多项式的结构，发现可将$x^2+y^2$、$xy$作为整体代入计算，无需单独求出x、y的值，简化运算过程。
【解析】
(1) 先对原式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=5x^2 - 2xy^2 - [3xy + 4y^2 + 9xy - 2y^2 - 2mxy^2 + 7x^2] - 1\\&=5x^2 - 2xy^2 - 3xy - 4y^2 - 9xy + 2y^2 + 2mxy^2 - 7x^2 - 1\\&=(5x^2 - 7x^2) + (-4y^2 + 2y^2) + (-3xy - 9xy) + (-2xy^2 + 2mxy^2) - 1\\&=-2x^2 - 2y^2 - 12xy + (-2 + 2m)xy^2 - 1\end{aligned}$
多项式的三次项为$(-2 + 2m)xy^2$，因为多项式不含三次项，所以三次项系数为0：
$-2 + 2m = 0$
解得$m=1$。
(2) 把$m=1$代入化简后的多项式，得：
原式$=-2x^2 - 2y^2 - 12xy - 1 = -2(x^2 + y^2) - 12xy - 1$
将$x^2 + y^2 = 13$，$xy = -6$整体代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-2×13 - 12×(-6) - 1\\&=-26 + 72 - 1\\&=45\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=1$；(2) $45$
【知识点】
整式的加减，多项式的项与次数，整体代入求值
【点评】
本题是整式加减的典型题型，解题核心是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，理解“不含某类项则对应项系数为0”的含义，第二问利用整体代入思想可大幅降低计算量，考查学生的运算能力和代数思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要解决多项式不含三次项求m的问题，首先需要对多项式去括号、合并同类项，明确三次项是次数为3的项，不含三次项意味着三次项的系数为0，据此列方程即可求出m的值。去括号时注意先去小括号再去中括号，括号前是负号时括号内各项要变号。
（2）在得到m的值后代入化简后的多项式，观察多项式的结构，发现可将$x^2+y^2$、$xy$作为整体代入计算，无需单独求出x、y的值，简化运算过程。
【解析】
(1) 先对原式去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=5x^2 - 2xy^2 - [3xy + 4y^2 + 9xy - 2y^2 - 2mxy^2 + 7x^2] - 1\\&=5x^2 - 2xy^2 - 3xy - 4y^2 - 9xy + 2y^2 + 2mxy^2 - 7x^2 - 1\\&=(5x^2 - 7x^2) + (-4y^2 + 2y^2) + (-3xy - 9xy) + (-2xy^2 + 2mxy^2) - 1\\&=-2x^2 - 2y^2 - 12xy + (-2 + 2m)xy^2 - 1\end{aligned}$
多项式的三次项为$(-2 + 2m)xy^2$，因为多项式不含三次项，所以三次项系数为0：
$-2 + 2m = 0$
解得$m=1$。
(2) 把$m=1$代入化简后的多项式，得：
原式$=-2x^2 - 2y^2 - 12xy - 1 = -2(x^2 + y^2) - 12xy - 1$
将$x^2 + y^2 = 13$，$xy = -6$整体代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-2×13 - 12×(-6) - 1\\&=-26 + 72 - 1\\&=45\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=1$；(2) $45$
【知识点】
整式的加减，多项式的项与次数，整体代入求值
【点评】
本题是整式加减的典型题型，解题核心是熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，理解“不含某类项则对应项系数为0”的含义，第二问利用整体代入思想可大幅降低计算量，考查学生的运算能力和代数思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
