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5.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOCB的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,且OA=2,OC=1,则矩形AOCB的对称中心的坐标是
$(-1,\dfrac{1}{2})$
;在第二象限内,将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的$\frac{3}{2}$倍,得到矩形$A_1OC_1B_1$,再将矩形$A_1OC_1B_1$以原点O为位似中心放大$\frac{3}{2}$倍,得到矩形$A_2OC_2B_2$,…,按此规律,则矩形$A_4OC_4B_4$的对称中心的坐标是$(-\dfrac{81}{16},\dfrac{81}{32})$
。答案
5.$(-1,\frac{1}{2})$ $(-\frac{81}{16},\frac{81}{32})$
解析
【分析】
首先明确矩形的对称中心是对角线的中点，先确定初始矩形各顶点坐标，用中点坐标公式计算第一个对称中心坐标。其次，以原点为位似中心在第二象限放大图形时，图形上所有点的横、纵坐标均乘以放大比例（坐标符号保持第二象限x负y正的特征），对称中心也会随图形做相同的位似变换，根据放大次数推导累计的放大比例，即可求出最终的对称中心坐标。
【解析】
1. 求矩形AOCB的对称中心坐标
已知OA=2，OC=1，矩形AOCB位于第二象限，因此顶点坐标为$A(-2,0)$、$C(0,1)$。
矩形对称中心是对角线的中点，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、C的坐标，得对称中心坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{0+1}{2})=(-1,\frac{1}{2})$。
2. 求矩形$A_4OC_4B_4$的对称中心坐标
以原点为位似中心，每次在第二象限放大为原来的$\frac{3}{2}$倍时，图形上所有点的横、纵坐标都乘以$\frac{3}{2}$，对称中心也遵循该变换规律。
放大4次时，累计放大比例为$(\frac{3}{2})^4=\frac{81}{16}$。
因此最终对称中心的横坐标为$-1×\frac{81}{16}=-\frac{81}{16}$，纵坐标为$\frac{1}{2}×\frac{81}{16}=\frac{81}{32}$，即坐标为$(-\frac{81}{16},\frac{81}{32})$。
【答案】
$(-1,\frac{1}{2})$；$(-\frac{81}{16},\frac{81}{32})$
【知识点】
中点坐标计算，位似变换的坐标规律，图形规律探究
【点评】
本题综合了矩形性质、位似变换的坐标特征和规律探索，解题核心是掌握位似变换下点的坐标变化规则，同时需要准确判断放大次数对应的比例，是位似知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.65
首先明确矩形的对称中心是对角线的中点，先确定初始矩形各顶点坐标，用中点坐标公式计算第一个对称中心坐标。其次，以原点为位似中心在第二象限放大图形时，图形上所有点的横、纵坐标均乘以放大比例（坐标符号保持第二象限x负y正的特征），对称中心也会随图形做相同的位似变换，根据放大次数推导累计的放大比例，即可求出最终的对称中心坐标。
【解析】
1. 求矩形AOCB的对称中心坐标
已知OA=2，OC=1，矩形AOCB位于第二象限，因此顶点坐标为$A(-2,0)$、$C(0,1)$。
矩形对称中心是对角线的中点，根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
代入A、C的坐标，得对称中心坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{0+1}{2})=(-1,\frac{1}{2})$。
2. 求矩形$A_4OC_4B_4$的对称中心坐标
以原点为位似中心，每次在第二象限放大为原来的$\frac{3}{2}$倍时，图形上所有点的横、纵坐标都乘以$\frac{3}{2}$，对称中心也遵循该变换规律。
放大4次时，累计放大比例为$(\frac{3}{2})^4=\frac{81}{16}$。
因此最终对称中心的横坐标为$-1×\frac{81}{16}=-\frac{81}{16}$，纵坐标为$\frac{1}{2}×\frac{81}{16}=\frac{81}{32}$，即坐标为$(-\frac{81}{16},\frac{81}{32})$。
【答案】
$(-1,\frac{1}{2})$；$(-\frac{81}{16},\frac{81}{32})$
【知识点】
中点坐标计算，位似变换的坐标规律，图形规律探究
【点评】
本题综合了矩形性质、位似变换的坐标特征和规律探索，解题核心是掌握位似变换下点的坐标变化规则，同时需要准确判断放大次数对应的比例，是位似知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.65
6.如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为1:3,点A,B,E在x轴上。
(1)若点F的坐标为(4.5,3),直接写出点C和点A的坐标;
(2)若正方形BEFG的边长为6,求点C的坐标。
(1)若点F的坐标为(4.5,3),直接写出点C和点A的坐标;
(2)若正方形BEFG的边长为6,求点C的坐标。
答案
6.(1)点$C$的坐标为$(\frac{3}{2},1)$,点$A$的坐标为$(\frac{1}{2},0)$。
(2)点$C$的坐标为$(3,2)$。
(2)点$C$的坐标为$(3,2)$。
解析
【分析】
本题考查以原点为位似中心的位似图形性质的应用。解题思路如下：1.首先明确两个正方形的相似比为1:3，即位似图形对应点的坐标比、对应线段的比均等于相似比；2.第(1)问中，点C是点F的对应点，根据位似性质直接用点F的坐标乘相似比得到点C坐标，再结合正方形边长求出点A坐标；3.第(2)问中，先根据相似比求出小正方形的边长，再利用位似对应线段OB与OE的比等于相似比列方程求出OB的长度，即可得到点C坐标。
【解析】
(1) 已知两个正方形以原点O为位似中心，相似比为1:3，同向位似对应点坐标比等于相似比。
∵点F坐标为$(4.5,3)$，点C是点F的对应点，
∴点C的横坐标为$4.5 × \frac{1}{3}=\frac{3}{2}$，纵坐标为$3 × \frac{1}{3}=1$，即$C(\frac{3}{2},1)$。
∵正方形ABCD的边长等于点C的纵坐标1，即$AB=1$，
∴点A的横坐标为$\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$，纵坐标为0，即$A(\frac{1}{2},0)$。
(2)
∵正方形BEFG的边长为6，相似比为1:3，
∴正方形ABCD的边长为$6 × \frac{1}{3}=2$，即点C的纵坐标为2。
设$OB=x$，则$OE=OB+BE=x+6$，根据位似对应线段比等于相似比得：
$\frac{OB}{OE}=\frac{1}{3}$，即$\frac{x}{x+6}=\frac{1}{3}$，
解方程得$3x=x+6$，$x=3$，即点C的横坐标为3，
∴点C坐标为$(3,2)$。
【答案】
(1) 点$C$的坐标为$(\frac{3}{2},1)$，点$A$的坐标为$(\frac{1}{2},0)$；
(2) 点$C$的坐标为$(3,2)$。
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系，正方形的性质
【点评】
本题是位似图形的基础应用题型，解题核心是掌握以原点为位似中心的位似图形对应坐标、线段长度与相似比的关系，结合正方形边长的性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题考查以原点为位似中心的位似图形性质的应用。解题思路如下：1.首先明确两个正方形的相似比为1:3，即位似图形对应点的坐标比、对应线段的比均等于相似比；2.第(1)问中，点C是点F的对应点，根据位似性质直接用点F的坐标乘相似比得到点C坐标，再结合正方形边长求出点A坐标；3.第(2)问中，先根据相似比求出小正方形的边长，再利用位似对应线段OB与OE的比等于相似比列方程求出OB的长度，即可得到点C坐标。
【解析】
(1) 已知两个正方形以原点O为位似中心，相似比为1:3，同向位似对应点坐标比等于相似比。
∵点F坐标为$(4.5,3)$，点C是点F的对应点，
∴点C的横坐标为$4.5 × \frac{1}{3}=\frac{3}{2}$，纵坐标为$3 × \frac{1}{3}=1$，即$C(\frac{3}{2},1)$。
∵正方形ABCD的边长等于点C的纵坐标1，即$AB=1$，
∴点A的横坐标为$\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$，纵坐标为0，即$A(\frac{1}{2},0)$。
(2)
∵正方形BEFG的边长为6，相似比为1:3，
∴正方形ABCD的边长为$6 × \frac{1}{3}=2$，即点C的纵坐标为2。
设$OB=x$，则$OE=OB+BE=x+6$，根据位似对应线段比等于相似比得：
$\frac{OB}{OE}=\frac{1}{3}$，即$\frac{x}{x+6}=\frac{1}{3}$，
解方程得$3x=x+6$，$x=3$，即点C的横坐标为3，
∴点C坐标为$(3,2)$。
【答案】
(1) 点$C$的坐标为$(\frac{3}{2},1)$，点$A$的坐标为$(\frac{1}{2},0)$；
(2) 点$C$的坐标为$(3,2)$。
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系，正方形的性质
【点评】
本题是位似图形的基础应用题型，解题核心是掌握以原点为位似中心的位似图形对应坐标、线段长度与相似比的关系，结合正方形边长的性质即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
7.如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,−6),点M为OB的中点，以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的$\frac{1}{2}$，得到△A'OB'，点M'为OB'的中点，则MM'的长为多少？
答案
7.$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{2}$
解析
【分析】
首先通过△AOB的顶点坐标判断它是直角三角形，用勾股定理求出OB的长度，再结合中点性质得到OM的长度。接下来考虑位似图形的特点：以原点为位似中心的位似图形有两种位置，分别与原图形在位似中心的同侧和异侧，两种情况对应的M'位置不同，分别计算两种情况下MM'的长度即可。
【解析】
解：已知A(8,0)，B(8,-6)，O(0,0)，
∴OA=8，AB=|-6-0|=6，∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∵点M为OB的中点，
∴$OM=\frac{1}{2}OB=5$，
∵以O为位似中心，把△AOB缩小为原来的$\frac{1}{2}$得到△A'OB'，
∴位似比$k=\frac{1}{2}$，
∴$OB'=k·OB=\frac{1}{2}×10=5$，
又
∵点M'为OB'的中点，
∴$OM'=\frac{1}{2}OB'=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$，
分两种情况：
①当△A'OB'与△AOB在位似中心O的同侧时，M'在线段OM上，
∴$MM'=OM - OM'=5 - \frac{5}{2}=\frac{5}{2}$；
②当△A'OB'与△AOB在位似中心O的异侧时，M'在OM的反向延长线上，
∴$MM'=OM + OM'=5 + \frac{5}{2}=\frac{15}{2}$。
综上，MM'的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{2}$
【知识点】
位似的性质，勾股定理，线段中点的定义
【点评】
本题考查位似图形的相关计算，解题时需要注意位似图形存在与原图形在位似中心同侧和异侧两种情况，避免漏解，同时结合直角三角形的性质和中点性质即可求解。
【难度系数】
0.6
首先通过△AOB的顶点坐标判断它是直角三角形，用勾股定理求出OB的长度，再结合中点性质得到OM的长度。接下来考虑位似图形的特点：以原点为位似中心的位似图形有两种位置，分别与原图形在位似中心的同侧和异侧，两种情况对应的M'位置不同，分别计算两种情况下MM'的长度即可。
【解析】
解：已知A(8,0)，B(8,-6)，O(0,0)，
∴OA=8，AB=|-6-0|=6，∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
∵点M为OB的中点，
∴$OM=\frac{1}{2}OB=5$，
∵以O为位似中心，把△AOB缩小为原来的$\frac{1}{2}$得到△A'OB'，
∴位似比$k=\frac{1}{2}$，
∴$OB'=k·OB=\frac{1}{2}×10=5$，
又
∵点M'为OB'的中点，
∴$OM'=\frac{1}{2}OB'=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$，
分两种情况：
①当△A'OB'与△AOB在位似中心O的同侧时，M'在线段OM上，
∴$MM'=OM - OM'=5 - \frac{5}{2}=\frac{5}{2}$；
②当△A'OB'与△AOB在位似中心O的异侧时，M'在OM的反向延长线上，
∴$MM'=OM + OM'=5 + \frac{5}{2}=\frac{15}{2}$。
综上，MM'的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{2}$
【知识点】
位似的性质，勾股定理，线段中点的定义
【点评】
本题考查位似图形的相关计算，解题时需要注意位似图形存在与原图形在位似中心同侧和异侧两种情况，避免漏解，同时结合直角三角形的性质和中点性质即可求解。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在平面直角坐标系中,正方形$A_1B_1C_1A_2$与正方形$A_2B_2C_2A_3$是以原点为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{2}$,点$A_1,A_2,A_3$在$x$轴上,延长$A_3C_2$交射线$OB_1$于点$B_3$,以$A_3B_3$为边作正方形$A_3B_3C_3A_4$;延长$A_4C_3$交射线$OB_1$于点$B_4$,以$A_4B_4$为边作正方形$A_4B_4C_4A_5$……若$OA_1=2$,则正方形$A_{2026}B_{2026}C_{2026}A_{2027}$的面积是
$2^{4052}$
。答案
8.$2^{4052}$
解析
【分析】
首先先确定射线$OB_1$的函数解析式：由$OA_1=2$，结合第一个正方形的性质可得$B_1$坐标，进而得到$OB_1$的解析式为$y=x$；再根据位似图形的性质得到前几个正方形的边长，观察边长的变化规律，推导出第$n$个正方形的边长表达式，最后根据正方形面积公式计算所求正方形的面积即可。
【解析】
1. 求射线$OB_1$的解析式：
已知$OA_1=2$，正方形$A_1B_1C_1A_2$中，$A_1B_1⊥ x$轴，且$A_1B_1=OA_1=2$，因此点$B_1$的坐标为$(2,2)$，可得射线$OB_1$对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=x\ (x≥0)}$。
2. 探究正方形边长的规律：
第1个正方形$A_1B_1C_1A_2$的边长为$2=2^1$；
已知正方形$A_1B_1C_1A_2$与$A_2B_2C_2A_3$位似比为$\frac{1}{2}$，位似中心为原点，因此第2个正方形$A_2B_2C_2A_3$的边长为$2×2=2^2$；
同理，延长$A_3C_2$交$y=x$于$B_3$，可得第3个正方形$A_3B_3C_3A_4$的边长为$2^3$；
……
由此可得规律：第$n$个正方形$A_nB_nC_nA_{n+1}$的边长为$\boldsymbol{2^n}$。
3. 计算所求正方形的面积：
正方形面积为边长的平方，因此第$n$个正方形的面积为$(2^n)^2=2^{2n}$。
当$n=2026$时，面积为$2^{2×2026}=2^{4052}$。
【答案】
$2^{4052}$
【知识点】
位似的性质，一次函数的应用，规律探究
【点评】
本题是结合位似、一次函数的规律探究题，解题的核心是先确定射线OB的解析式，再通过计算前几个正方形的边长归纳出通用规律，解题时注意区分正方形的序号和边长的对应关系。
【难度系数】
0.6
首先先确定射线$OB_1$的函数解析式：由$OA_1=2$，结合第一个正方形的性质可得$B_1$坐标，进而得到$OB_1$的解析式为$y=x$；再根据位似图形的性质得到前几个正方形的边长，观察边长的变化规律，推导出第$n$个正方形的边长表达式，最后根据正方形面积公式计算所求正方形的面积即可。
【解析】
1. 求射线$OB_1$的解析式：
已知$OA_1=2$，正方形$A_1B_1C_1A_2$中，$A_1B_1⊥ x$轴，且$A_1B_1=OA_1=2$，因此点$B_1$的坐标为$(2,2)$，可得射线$OB_1$对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=x\ (x≥0)}$。
2. 探究正方形边长的规律：
第1个正方形$A_1B_1C_1A_2$的边长为$2=2^1$；
已知正方形$A_1B_1C_1A_2$与$A_2B_2C_2A_3$位似比为$\frac{1}{2}$，位似中心为原点，因此第2个正方形$A_2B_2C_2A_3$的边长为$2×2=2^2$；
同理，延长$A_3C_2$交$y=x$于$B_3$，可得第3个正方形$A_3B_3C_3A_4$的边长为$2^3$；
……
由此可得规律：第$n$个正方形$A_nB_nC_nA_{n+1}$的边长为$\boldsymbol{2^n}$。
3. 计算所求正方形的面积：
正方形面积为边长的平方，因此第$n$个正方形的面积为$(2^n)^2=2^{2n}$。
当$n=2026$时，面积为$2^{2×2026}=2^{4052}$。
【答案】
$2^{4052}$
【知识点】
位似的性质，一次函数的应用，规律探究
【点评】
本题是结合位似、一次函数的规律探究题，解题的核心是先确定射线OB的解析式，再通过计算前几个正方形的边长归纳出通用规律，解题时注意区分正方形的序号和边长的对应关系。
【难度系数】
0.6
