9.如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B(1,1)，D(4,4)，则△AOB与△CDB的面积之比是多少？

9.$1:9$

【分析】
本题考查位似图形与相似三角形性质的结合应用。解题思路如下：首先明确位似图形是特殊的相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比，面积比等于相似比的平方；其次确定△AOB和△CDB的位似中心是B，点O和点D是一组对应点；接着计算B到O、B到D的距离，求出相似比；最后根据面积比与相似比的关系得到结果。
【解析】
解：
∵△AOB与△CDB关于点B位似
∴△AOB∽△CDB，且相似比等于对应点到位似中心B的距离之比
由坐标可知O(0,0)，B(1,1)，D(4,4)，根据两点间距离公式：
$OB = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$
$BD = \sqrt{(4-1)^2 + (4-1)^2} = 3\sqrt{2}$
∴相似比$k = OB:BD = \sqrt{2}:3\sqrt{2} = 1:3$
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$S_{△ AOB}:S_{△ CDB} = (1:3)^2 = 1:9$
【答案】
$1:9$
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形面积比、两点间距离公式
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握位似和相似的关联性质，解题时注意找准对应点，正确计算相似比即可快速求解，是位似章节的典型常规考题。
【难度系数】
0.7

10.如图,在学习图形的位似时,小亮利用几何画板软件,在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A₁B₁C₁。

(1)仅借助不带刻度的直尺,在图①中标出△ABC与△A₁B₁C₁的位似中心M点的位置(保留作图痕迹),并写出点M的坐标。
(2)若以点O为位似中心,仅借助不带刻度的直尺,在图②中画出△A₁B₁C₁在y轴左侧的位似图形△A₂B₂C₂,且△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为2:1;
(3)在(2)中,若△A₂B₂C₂边上的一点P₂的坐标为(a,b),写出点P₂在△A₁B₁C₁上的对应点P₁的坐标。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：

10.解:(1)如图①,点$M$为所作,$M$点的坐标为$(0,2)$。
(2)如图②,$△ A_2B_2C_2$ 为所作。
(3)$(2a,2b)$

【分析】
(1) 位似图形的对应顶点连线交于同一点，该点就是位似中心。要找位似中心M，只需连接两组对应顶点（如AA₁和BB₁），交点即为M，再结合网格即可读出M的坐标。
(2) 以原点O为位似中心作位似图形，已知△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为2:1，说明△A₂B₂C₂各顶点到原点的距离是△A₁B₁C₁对应顶点到原点距离的$\frac{1}{2}$，结合图形在y轴左侧的要求，取OA₁、OB₁、OC₁的中点顺次连接即可。
(3) 原点为位似中心时，同侧位似图形的对应点坐标比等于相似比，结合已知相似比即可推导P₁的坐标。
【解析】
(1) 分别连接AA₁、BB₁，两条线段的交点就是位似中心M。观察网格可得，M点横坐标为0，纵坐标为2，即M(0,2)。
(2) 位似中心为原点O，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为2:1，且△A₂B₂C₂在y轴左侧，分别取OA₁、OB₁、OC₁的中点记为A₂、B₂、C₂，顺次连接A₂、B₂、C₂，即可得到所求的△A₂B₂C₂。
(3) 以原点为位似中心，两个位似图形在原点同侧时，对应点的坐标比等于相似比。已知△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂的相似比为2:1，P₂(a,b)是△A₂B₂C₂上的点，因此对应点P₁的坐标为(2a,2b)。
【答案】
(1) 如图①，点$M$为所作，$M$点的坐标为$(0,2)$。
(2) 如图②，$△ A_2B_2C_2$为所作。
(3) $(2a,2b)$
【知识点】
位似中心的确定，位似图形作图，位似的坐标性质
【点评】
本题覆盖位似图形的核心考点，考查了位似中心定位、位似图形绘制、坐标变化规律三个方向，既要求学生熟练掌握位似基本性质，也对作图能力和坐标运算能力有一定要求，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7