第2章单元复习
知识梳理
图形的相似
相似
相似形:形状相同的叫作相似形。
相似多边形
两个边数相同的多边形,如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角,各边对应,那么这两个多边形叫作相似多边形。
相似三角形
判定
第9个基本事实:
定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段。
推论:平行于三角形的一边,并且与其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应。
判定定理1:两角分别相等的两个三角形。
判定定理2:两边成比例且的两个三角形相似。
判定定理3:三边的两个三角形相似。
性质:相似三角形对应线段的比等于,面积的比等于。
图形的位似
定义
对应边互相平行(或共线)且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个叫作位似多边形,这个点叫作位似中心。
性质
如果多边形有一个顶点在坐标原点,有一条边在x轴上,那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大(或缩小)相同的倍数,所得到的图形与原图形是,是它们的位似中心。

相似:平面图形 对应相等 成比例
相似三角形:成比例 成比例 相似 夹角相等 对应成比例 相似比 相似比的平方
图形的位似:相似多边形 位似图形 原点

【分析】
本题是图形相似章节的基础概念梳理题，所有填空内容均来自教材核心的定义、定理与性质。解题时按照知识模块依次回忆对应知识点即可：先回忆相似形、相似多边形的定义填第一类空；再回忆相似三角形的平行线截线段基本事实、判定定理、相关性质填第二类空；最后回忆位似的定义、坐标系中位似图形的性质填第三类空，填写时注意表述要和教材规范表述一致。
【解析】
按照知识点顺序逐个填空：
1. 相似形定义：形状相同的平面图形叫作相似形。
2. 相似多边形判定：两个边数相同的多边形，各个角对应相等、各边对应成比例的是相似多边形。
3. 平行线截线段定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
4. 平行线截三角形推论：平行于三角形一边且与另外两边相交的直线，截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例。
5. 相似三角形判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。
6. 相似三角形判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
7. 相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
8. 相似三角形性质：对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
9. 位似多边形定义：对应边互相平行（或共线）且对应点连线过同一点的两个相似多边形叫作位似多边形。
10. 坐标系中位似性质：顶点坐标同比例缩放后得到的图形与原图形是位似图形，原点是它们的位似中心。
【答案】
平面图形；对应相等；成比例；成比例；成比例；相似；夹角相等；对应成比例；相似比；相似比的平方；相似多边形；位似图形；原点
【知识点】
相似的相关定义；相似三角形的判定与性质；位似的定义与性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，所有内容都是图形相似章节的核心基础知识点，是解决相似、位似相关综合题的前提，需要学生熟练记忆、准确掌握。
【难度系数】
0.85

例1 如图，在钝角三角形ABC中，AB=6 cm，AC=12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s，如果两点同时开始运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是多少秒？

当 t 为 3 s 或 4.8 s 时,以点 A,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似。

【分析】
本题属于动点与相似三角形结合的题型，解题思路如下：①先设运动时间为t秒，根据动点速度分别用含t的代数式表示出AD、AE的长度，同时确定t的取值范围；②观察到△ADE和△ABC有公共角∠A，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，夹角固定时两组边的对应关系有两种情况，需分类讨论；③针对每种相似情况列比例方程求解，最后验证解是否符合t的取值范围，得到最终结果。
【解析】
设两点同时运动t秒时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似。
由题意得：AD = t cm，CE = 2t cm，
∴AE = AC - CE = (12 - 2t) cm，
其中t的取值范围为$0＜t≤6$（D从A到B最多需6s，E从C到A最多需6s）。
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
1. 当△ADE∽△ABC时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
代入数值：$\frac{t}{6}=\frac{12-2t}{12}$
化简得：$12t=6×(12-2t)$，即$12t=72-12t$，解得$t=3$，符合取值范围。
2. 当△ADE∽△ACB时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入数值：$\frac{t}{12}=\frac{12-2t}{6}$
化简得：$6t=12×(12-2t)$，即$6t=144-24t$，解得$t=4.8$，符合取值范围。
【答案】
当t为3s或4.8s时，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似。
【知识点】
相似三角形的判定；动点问题；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与动点结合的典型习题，解题的核心是抓住公共角确定相似的两种对应情况，避免漏解，同时要注意对解的合理性进行验证，排除不符合动点运动范围的结果。
【难度系数】
0.6

1. 如图所示，△ABC中，AB＝5，AC＝4，D是△ABC的边AC上的点，AD＝2，过点D作直线DE，与AB交于点E，若△ADE与△ABC相似，则线段AE的长为。

1.$\frac{5}{2}$或$\frac{8}{5}$

【分析】
本题中△ADE与△ABC有公共角∠A，但题目未明确两个三角形的对应顶点，因此需要分类讨论两种相似的对应情况，结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可计算AE的长度。
【解析】
已知∠A是△ADE和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
1. 当△ADE∽△ACB时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入$AD=2$，$AC=4$，$AB=5$，得：
$\frac{2}{4}=\frac{AE}{5}$
解得：$AE=\frac{5}{2}$
2. 当△ADE∽△ABC时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
代入$AD=2$，$AB=5$，$AC=4$，得：
$\frac{2}{5}=\frac{AE}{4}$
解得：$AE=\frac{8}{5}$
综上，AE的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{8}{5}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$或$\frac{8}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质、分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是明确相似三角形对应顶点不明确时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6