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例2 如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则$S_{△ DEF}:S_{△ EBF}:S_{△ ABF}=(\quad)$。
A.$2:5:25$
B.$4:9:25$
C.$2:3:5$
D.$4:10:25$
A.$2:5:25$
B.$4:9:25$
C.$2:3:5$
D.$4:10:25$
答案
D
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到△DEF与△BAF相似，先根据相似比求出这两个三角形的面积比；再根据△DEF和△EBF同高，面积比等于底的比，求出这两个三角形的面积比，最后统一比例得到三者的比值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB。
∵DE:EC=2:3，
∴DE:AB=DE:(DE+EC)=2:(2+3)=2:5。
∵DC//AB，
∴∠EDF=∠ABF，∠DEF=∠BAF，
∴△DEF∽△BAF，相似比为$k=\frac{DE}{AB}=\frac{2}{5}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
又
∵△DEF和△EBF共顶点E，底边DF、FB在同一直线BD上，所以两个三角形的高相等，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ EBF}}=\frac{DF}{FB}$，
由相似三角形的性质，$\frac{DF}{FB}=\frac{DE}{AB}=\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$，
∴$S_{△ DEF}:S_{△ EBF}:S_{△ ABF}=4:10:25$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是区分两种面积比的适用情况：相似三角形的面积比是相似比的平方，同高的两个三角形面积比等于对应底的长度比，避免混淆两种比例关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
解题时先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到△DEF与△BAF相似，先根据相似比求出这两个三角形的面积比；再根据△DEF和△EBF同高，面积比等于底的比，求出这两个三角形的面积比，最后统一比例得到三者的比值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB。
∵DE:EC=2:3，
∴DE:AB=DE:(DE+EC)=2:(2+3)=2:5。
∵DC//AB，
∴∠EDF=∠ABF，∠DEF=∠BAF，
∴△DEF∽△BAF，相似比为$k=\frac{DE}{AB}=\frac{2}{5}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABF}}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$。
又
∵△DEF和△EBF共顶点E，底边DF、FB在同一直线BD上，所以两个三角形的高相等，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ EBF}}=\frac{DF}{FB}$，
由相似三角形的性质，$\frac{DF}{FB}=\frac{DE}{AB}=\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$，
∴$S_{△ DEF}:S_{△ EBF}:S_{△ ABF}=4:10:25$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是区分两种面积比的适用情况：相似三角形的面积比是相似比的平方，同高的两个三角形面积比等于对应底的长度比，避免混淆两种比例关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
2. 四边形ABCD中，AD//BC(AD＜BC)，AC，BD交于点O，若$S_{△ OAB}=\frac{6}{25}S_{四边形ABCD}$，则△AOD与△BOC的周长之比为
$\frac{2}{3}$
。答案
2.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
首先根据$AD// BC$可判定$△ AOD∽△ COB$，相似三角形的周长比等于相似比，因此问题转化为求两个三角形的相似比$k=\frac{AD}{BC}$。接下来利用同高三角形面积比等于对应底的比，用$k$表示出四个小三角形的面积，再结合已知的$△ OAB$面积与四边形总面积的比例关系列方程求解即可。
【解析】
解：设$△ AOD$与$△ BOC$的相似比为$k=\frac{AD}{BC}$，
∵ $AD// BC$，
∴ $△ AOD ∽ △ COB$，
∴ $\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{BC}=k$，相似三角形周长比等于相似比，即所求周长比为$k$。
设$S_{△ AOD}=a$，
∵ $△ AOD$与$△ AOB$同高（以A为顶点，底边在BD上），面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\frac{OD}{OB}=k$，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{a}{k}$，同理可得$S_{△ COD}=\frac{a}{k}$。
又
∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方，$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOC}}=k^2$，
∴ $S_{△ BOC}=\frac{a}{k^2}$。
四边形ABCD总面积：
$S_{ABCD}=S_{△ AOD}+S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ COD}=a+\frac{a}{k}+\frac{a}{k^2}+\frac{a}{k}=a(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2})=a·(\frac{k+1}{k})^2$
由题意$S_{△ OAB}=\frac{6}{25}S_{ABCD}$，代入得：
$\frac{a}{k}=\frac{6}{25}· a·(\frac{k+1}{k})^2$
约去$a(a＞0)$，两边同乘$k^2$整理得：
$6k^2 -13k +6=0$
解得$k_1=\frac{2}{3}$，$k_2=\frac{3}{2}$
∵ $AD＜BC$，
∴ $k＜1$，故取$k=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的性质；三角形面积与底的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是相似三角形与面积计算结合的典型题型，核心是将周长比转化为相似比，再通过面积关系建立方程求解，需要熟练掌握相似三角形的性质以及同高三角形面积和底的比例关系。
【难度系数】
0.65
首先根据$AD// BC$可判定$△ AOD∽△ COB$，相似三角形的周长比等于相似比，因此问题转化为求两个三角形的相似比$k=\frac{AD}{BC}$。接下来利用同高三角形面积比等于对应底的比，用$k$表示出四个小三角形的面积，再结合已知的$△ OAB$面积与四边形总面积的比例关系列方程求解即可。
【解析】
解：设$△ AOD$与$△ BOC$的相似比为$k=\frac{AD}{BC}$，
∵ $AD// BC$，
∴ $△ AOD ∽ △ COB$，
∴ $\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}=\frac{AD}{BC}=k$，相似三角形周长比等于相似比，即所求周长比为$k$。
设$S_{△ AOD}=a$，
∵ $△ AOD$与$△ AOB$同高（以A为顶点，底边在BD上），面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\frac{OD}{OB}=k$，
∴ $S_{△ AOB}=\frac{a}{k}$，同理可得$S_{△ COD}=\frac{a}{k}$。
又
∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方，$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOC}}=k^2$，
∴ $S_{△ BOC}=\frac{a}{k^2}$。
四边形ABCD总面积：
$S_{ABCD}=S_{△ AOD}+S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ COD}=a+\frac{a}{k}+\frac{a}{k^2}+\frac{a}{k}=a(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2})=a·(\frac{k+1}{k})^2$
由题意$S_{△ OAB}=\frac{6}{25}S_{ABCD}$，代入得：
$\frac{a}{k}=\frac{6}{25}· a·(\frac{k+1}{k})^2$
约去$a(a＞0)$，两边同乘$k^2$整理得：
$6k^2 -13k +6=0$
解得$k_1=\frac{2}{3}$，$k_2=\frac{3}{2}$
∵ $AD＜BC$，
∴ $k＜1$，故取$k=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的性质；三角形面积与底的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是相似三角形与面积计算结合的典型题型，核心是将周长比转化为相似比，再通过面积关系建立方程求解，需要熟练掌握相似三角形的性质以及同高三角形面积和底的比例关系。
【难度系数】
0.65
例3 如图，已知正方形DEFG的顶点D,E在△ABC的边BC上，顶点G,F分别在边AB，AC上，如果BC=5，△ABC的面积是10，那么这个正方形的边长是
思路导引
设正方形的边长为x，利用相似三角形对应高之比等于相似比可求得。
归纳总结
在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用。
$\frac{20}{9}$
。思路导引
设正方形的边长为x，利用相似三角形对应高之比等于相似比可求得。
归纳总结
在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用。
答案
$\frac{20}{9}$
解析
【分析】
要解这道题可按以下思路推导：首先，正方形DEFG的边GF平行于BC，可得△AGF与△ABC相似；其次，已知△ABC的底边长和面积，先求出BC边上的高；最后利用相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，设正方形边长为未知数列方程求解即可。
【解析】
解：设正方形DEFG的边长为$x$，过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H$，交$GF$于点$M$。
1. 求$△ ABC$的高$AH$：
已知$S_{△ ABC}=10$，$BC=5$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$10=\frac{1}{2}×5× AH$，解得$AH=4$。
2. 推导相似关系并列方程：
∵四边形$DEFG$是正方形，
∴$GF// BC$，$GF=x$，且$AM=AH-MH=4-x$（$MH$长度等于正方形边长$x$），
∴$△ AGF∽△ ABC$（平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形性质，对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AM}{AH}=\frac{GF}{BC}$，即$\frac{4-x}{4}=\frac{x}{5}$。
3. 解方程：
交叉相乘得$5(4-x)=4x$，
展开得$20-5x=4x$，
移项合并得$9x=20$，
解得$x=\frac{20}{9}$。
【答案】
$\frac{20}{9}$
【知识点】
相似三角形的性质、三角形面积计算、正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，解题核心是利用平行线得到相似三角形，结合相似三角形的性质将几何问题转化为方程问题求解，该模型在几何计算类题目中较为常见。
【难度系数】
0.6
要解这道题可按以下思路推导：首先，正方形DEFG的边GF平行于BC，可得△AGF与△ABC相似；其次，已知△ABC的底边长和面积，先求出BC边上的高；最后利用相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，设正方形边长为未知数列方程求解即可。
【解析】
解：设正方形DEFG的边长为$x$，过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H$，交$GF$于点$M$。
1. 求$△ ABC$的高$AH$：
已知$S_{△ ABC}=10$，$BC=5$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$10=\frac{1}{2}×5× AH$，解得$AH=4$。
2. 推导相似关系并列方程：
∵四边形$DEFG$是正方形，
∴$GF// BC$，$GF=x$，且$AM=AH-MH=4-x$（$MH$长度等于正方形边长$x$），
∴$△ AGF∽△ ABC$（平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形性质，对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AM}{AH}=\frac{GF}{BC}$，即$\frac{4-x}{4}=\frac{x}{5}$。
3. 解方程：
交叉相乘得$5(4-x)=4x$，
展开得$20-5x=4x$，
移项合并得$9x=20$，
解得$x=\frac{20}{9}$。
【答案】
$\frac{20}{9}$
【知识点】
相似三角形的性质、三角形面积计算、正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，解题核心是利用平行线得到相似三角形，结合相似三角形的性质将几何问题转化为方程问题求解，该模型在几何计算类题目中较为常见。
【难度系数】
0.6
3.如图,矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上,顶点G,F分别在边AB,AC上,AH是边BC上的高,如果BC=12,AH=8,GF:BC=3:4,求矩形DEFG的周长。
答案
矩形 DEFG 的周长为 22。
解析
【分析】
首先观察图形特征，矩形DEFG的边GF平行于△ABC的边BC，可判定△AGF与△ABC相似。我们可以按以下思路解题：第一步先利用已知的GF与BC的比例关系求出GF的长度；第二步根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出△AGF的高，再用AH的长度减去该高得到矩形的宽；最后代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF//BC，GD⊥BC，
∴△AGF∽△ABC（平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所得三角形与原三角形相似）。
设AH交GF于点K，
∵AH是BC边上的高，
∴AK是△AGF中GF边上的高，且KH=GD。
已知$GF:BC=3:4$，$BC=12$，
∴$GF = BC×\frac{3}{4} = 12×\frac{3}{4}=9$。
∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴$\frac{AK}{AH} = \frac{GF}{BC} = \frac{3}{4}$，
又
∵$AH=8$，
∴$AK = 8×\frac{3}{4}=6$，
∴$GD = KH = AH - AK = 8 - 6 = 2$。
∴矩形DEFG的周长 $= 2×(GF + GD) = 2×(9 + 2) = 22$。
【答案】
22
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；相似比的应用
【点评】
本题是三角形内接矩形的典型基础题，解题核心是利用平行线得到相似三角形，结合相似三角形对应高的比等于相似比求出矩形的长和宽，侧重考查基础几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，矩形DEFG的边GF平行于△ABC的边BC，可判定△AGF与△ABC相似。我们可以按以下思路解题：第一步先利用已知的GF与BC的比例关系求出GF的长度；第二步根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出△AGF的高，再用AH的长度减去该高得到矩形的宽；最后代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF//BC，GD⊥BC，
∴△AGF∽△ABC（平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所得三角形与原三角形相似）。
设AH交GF于点K，
∵AH是BC边上的高，
∴AK是△AGF中GF边上的高，且KH=GD。
已知$GF:BC=3:4$，$BC=12$，
∴$GF = BC×\frac{3}{4} = 12×\frac{3}{4}=9$。
∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴$\frac{AK}{AH} = \frac{GF}{BC} = \frac{3}{4}$，
又
∵$AH=8$，
∴$AK = 8×\frac{3}{4}=6$，
∴$GD = KH = AH - AK = 8 - 6 = 2$。
∴矩形DEFG的周长 $= 2×(GF + GD) = 2×(9 + 2) = 22$。
【答案】
22
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；相似比的应用
【点评】
本题是三角形内接矩形的典型基础题，解题核心是利用平行线得到相似三角形，结合相似三角形对应高的比等于相似比求出矩形的长和宽，侧重考查基础几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
