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3.在平面直角坐标系中，A(-2,4),B(1,3),现以原点O为位似中心画出A'B'，使A'B'与AB的相似比为$\frac{1}{2}$，则点A的对应点A'的坐标为
(-1,2)或(1,-2)
。答案
3.$(-1,2)$或$(1,-2)$
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换，解题思路如下：首先回忆原点为位似中心时位似图形对应点的坐标变化规律：若相似比为k，则对应点坐标为原坐标乘k或乘-k，分别对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况；再结合已知的点A坐标和相似比，分两种情况计算即可，注意不要漏解。
【解析】
解：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心的两个位似图形，相似比为k时，对应点的坐标比为k或-k。
已知A(-2,4)，相似比为$\frac{1}{2}$，分两种情况计算：
① 当A'与A在原点同侧时，$A'$的坐标为$(-2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})$，即$(-1,2)$；
② 当A'与A在原点异侧时，$A'$的坐标为$(-2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))$，即$(1,-2)$。
综上，点A的对应点A'的坐标为$(-1,2)$或$(1,-2)$。
【答案】
$(-1,2)$或$(1,-2)$
【知识点】
位似的坐标变换规律，分类讨论思想
【点评】
本题属于位似变换的基础题型，解题关键是牢记原点为位似中心时对应点坐标的两种变化情况，易错点是忽略位似图形可位于位似中心的两侧，导致只写出一个坐标造成漏解。
【难度系数】
0.7
本题考查平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换，解题思路如下：首先回忆原点为位似中心时位似图形对应点的坐标变化规律：若相似比为k，则对应点坐标为原坐标乘k或乘-k，分别对应位似图形与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况；再结合已知的点A坐标和相似比，分两种情况计算即可，注意不要漏解。
【解析】
解：在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心的两个位似图形，相似比为k时，对应点的坐标比为k或-k。
已知A(-2,4)，相似比为$\frac{1}{2}$，分两种情况计算：
① 当A'与A在原点同侧时，$A'$的坐标为$(-2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})$，即$(-1,2)$；
② 当A'与A在原点异侧时，$A'$的坐标为$(-2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))$，即$(1,-2)$。
综上，点A的对应点A'的坐标为$(-1,2)$或$(1,-2)$。
【答案】
$(-1,2)$或$(1,-2)$
【知识点】
位似的坐标变换规律，分类讨论思想
【点评】
本题属于位似变换的基础题型，解题关键是牢记原点为位似中心时对应点坐标的两种变化情况，易错点是忽略位似图形可位于位似中心的两侧，导致只写出一个坐标造成漏解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$△ ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(1,1),B(2,3),C(3,0)$。
(1)以点 $O$ 为位似中心画 $△ DEF$，使它与 $△ ABC$ 位似，且相似比为 2；
(2)在(1)的条件下，若 $M(a,b)$ 为 $△ ABC$ 边上的任意一点，则 $△ DEF$ 的边上与点 $M$ 对应的点 $M'$ 的坐标为
(1)以点 $O$ 为位似中心画 $△ DEF$，使它与 $△ ABC$ 位似，且相似比为 2；
(2)在(1)的条件下，若 $M(a,b)$ 为 $△ ABC$ 边上的任意一点，则 $△ DEF$ 的边上与点 $M$ 对应的点 $M'$ 的坐标为
(2a,2b)或(-2a,-2b)
。答案
4.解:(1)如图,$△ DEF$ 和 $△ D'E'F'$ 为所作。
(2)$(2a,2b)$或$(-2a,-2b)$
解析
【分析】
(1)要画以原点O为位似中心、相似比为2的△DEF，首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：位似图形对应点的坐标等于原图形对应点的坐标乘相似比k或-k（k＞0），对应点和原点同侧时乘k，异侧时乘-k。本题相似比为2，因此我们可以将△ABC三个顶点的横、纵坐标分别乘2或-2，得到对应顶点的坐标，再顺次连接顶点即可得到所求的位似图形。
(2)结合上述位似变换的坐标规律，将点M的坐标乘2或-2，即可得到对应点M'的坐标。
【解析】
(1)①当所作位似图形与△ABC在原点同侧时：
将A(1,1)、B(2,3)、C(3,0)的横、纵坐标都乘2，得到对应点D(2,2)、E(4,6)、F(6,0)，顺次连接D、E、F，得到△DEF；
②当所作位似图形与△ABC在原点异侧时：
将A(1,1)、B(2,3)、C(3,0)的横、纵坐标都乘-2，得到对应点D'(-2,-2)、E'(-4,-6)、F'(-6,0)，顺次连接D'、E'、F'，得到△D'E'F'。
△DEF和△D'E'F'均为符合要求的图形。
(2)已知位似中心为原点，相似比为2，△ABC边上任意一点M(a,b)，根据位似变换的坐标规律，其对应点M'的坐标为原坐标乘2或乘-2，即(2a,2b)或(-2a,-2b)。
【答案】
(1)
(2)$(2a,2b)$或$(-2a,-2b)$
【知识点】
位似图形的画法；平面直角坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题重点考查以原点为位似中心的位似变换，解题时需要注意位似图形可以在位似中心的两侧，存在两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1)要画以原点O为位似中心、相似比为2的△DEF，首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换规律：位似图形对应点的坐标等于原图形对应点的坐标乘相似比k或-k（k＞0），对应点和原点同侧时乘k，异侧时乘-k。本题相似比为2，因此我们可以将△ABC三个顶点的横、纵坐标分别乘2或-2，得到对应顶点的坐标，再顺次连接顶点即可得到所求的位似图形。
(2)结合上述位似变换的坐标规律，将点M的坐标乘2或-2，即可得到对应点M'的坐标。
【解析】
(1)①当所作位似图形与△ABC在原点同侧时：
将A(1,1)、B(2,3)、C(3,0)的横、纵坐标都乘2，得到对应点D(2,2)、E(4,6)、F(6,0)，顺次连接D、E、F，得到△DEF；
②当所作位似图形与△ABC在原点异侧时：
将A(1,1)、B(2,3)、C(3,0)的横、纵坐标都乘-2，得到对应点D'(-2,-2)、E'(-4,-6)、F'(-6,0)，顺次连接D'、E'、F'，得到△D'E'F'。
△DEF和△D'E'F'均为符合要求的图形。
(2)已知位似中心为原点，相似比为2，△ABC边上任意一点M(a,b)，根据位似变换的坐标规律，其对应点M'的坐标为原坐标乘2或乘-2，即(2a,2b)或(-2a,-2b)。
【答案】
(1)
(2)$(2a,2b)$或$(-2a,-2b)$
【知识点】
位似图形的画法；平面直角坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题重点考查以原点为位似中心的位似变换，解题时需要注意位似图形可以在位似中心的两侧，存在两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1.如图,在平面直角坐标系中,有两点A(4,2),B(3,0),以原点为位似中心,A'B'与AB的相似比为$\frac{1}{2}$,得到线段A'B'。正确的画法是(
D
)。答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的性质：相似比为k时，位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或-k，即位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，两种情况都要考虑。接下来先根据已知点坐标和相似比$\frac{1}{2}$计算两个方向的位似对应点坐标，再逐一比对选项即可。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，相似比为k时，对应点坐标为原坐标乘以k或-k：
1. 计算同侧位似（与原图形在原点同侧）的对应点坐标：
已知A(4,2)，B(3,0)，相似比为$\frac{1}{2}$，则同侧对应点$A'(4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(2,1)$，$B'(3×\frac{1}{2},0×\frac{1}{2})=(1.5,0)$，两点均在第一象限，且图形比原图形缩小。
2. 计算异侧位似（与原图形在原点异侧）的对应点坐标：
异侧对应点$A''(4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-2,-1)$，$B''(3×(-\frac{1}{2}),0×(-\frac{1}{2}))=(-1.5,0)$，两点均在第三象限，且图形比原图形缩小。
3. 比对选项：
选项A仅画出同侧位似，且对应点位置错误；选项B仅画出异侧位似，漏了同侧情况；选项C是将原图形放大，相似比大于1，不符合要求；选项D完整画出了同侧、异侧两种位似图形，对应点坐标符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质，坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题考查位似图形的画法，易错点是容易忽略以原点为位似中心时，位似图形存在位于原点两侧的两种情况，解题时要注意结合相似比判断图形是放大还是缩小，准确计算对应点坐标。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的性质：相似比为k时，位似图形对应点的坐标为原坐标乘k或-k，即位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，两种情况都要考虑。接下来先根据已知点坐标和相似比$\frac{1}{2}$计算两个方向的位似对应点坐标，再逐一比对选项即可。
【解析】
在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，相似比为k时，对应点坐标为原坐标乘以k或-k：
1. 计算同侧位似（与原图形在原点同侧）的对应点坐标：
已知A(4,2)，B(3,0)，相似比为$\frac{1}{2}$，则同侧对应点$A'(4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(2,1)$，$B'(3×\frac{1}{2},0×\frac{1}{2})=(1.5,0)$，两点均在第一象限，且图形比原图形缩小。
2. 计算异侧位似（与原图形在原点异侧）的对应点坐标：
异侧对应点$A''(4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-2,-1)$，$B''(3×(-\frac{1}{2}),0×(-\frac{1}{2}))=(-1.5,0)$，两点均在第三象限，且图形比原图形缩小。
3. 比对选项：
选项A仅画出同侧位似，且对应点位置错误；选项B仅画出异侧位似，漏了同侧情况；选项C是将原图形放大，相似比大于1，不符合要求；选项D完整画出了同侧、异侧两种位似图形，对应点坐标符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质，坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题考查位似图形的画法，易错点是容易忽略以原点为位似中心时，位似图形存在位于原点两侧的两种情况，解题时要注意结合相似比判断图形是放大还是缩小，准确计算对应点坐标。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在平面直角坐标系中,△ABO为等腰直角三角形,∠A=90°,点B的坐标为$(-2\sqrt{2},0)$。以点O为位似中心,作△OCD与△ABO位似,点C的坐标为$(\sqrt{2},0)$,则点D的坐标为(
A.(1,1)
B.(1,-1)
C.$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
D.$(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$
D
)。A.(1,1)
B.(1,-1)
C.$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
D.$(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$
答案
2.D
解析
【分析】
解题需分三步思考：第一步先求等腰直角△ABO顶点A的坐标，已知B点坐标和三角形性质，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的特点，结合A所在象限即可求出A的坐标；第二步确定位似比，点B和点C是位似对应点，根据两点坐标计算出位似比，注意两点分别在原点两侧，属于反向位似，位似比为负数；第三步利用原点为位似中心的坐标变换规律，用A的坐标乘位似比即可得到对应点D的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知点B坐标为$(-2\sqrt{2},0)$，可得$OB=2\sqrt{2}$。
过A作$AH⊥ OB$于H，因为△ABO是等腰直角三角形，$∠ A=90°$，所以H是OB中点，$AH=\frac{1}{2}OB=\sqrt{2}$。
H点坐标为$(-\sqrt{2},0)$，A在第二象限，因此A的坐标为$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。
2. 计算位似比：
△OCD与△ABO以O为位似中心，点B的对应点为C，$OC=\sqrt{2}$，反向位似的位似比$k=-\frac{OC}{OB}=-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$。
3. 求点D的坐标：
以原点为位似中心时，对应点坐标为原坐标乘位似比，点A的对应点为D，因此D的坐标为：
$(-\sqrt{2}×(-\frac{1}{2}),\sqrt{2}×(-\frac{1}{2}))=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形性质，位似的性质，位似的坐标变换
【点评】
本题重点考查位似变换的坐标规律，易错点是容易忽略反向位似的位似比为负，解题时要结合对应点的位置判断位似方向，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题需分三步思考：第一步先求等腰直角△ABO顶点A的坐标，已知B点坐标和三角形性质，利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半的特点，结合A所在象限即可求出A的坐标；第二步确定位似比，点B和点C是位似对应点，根据两点坐标计算出位似比，注意两点分别在原点两侧，属于反向位似，位似比为负数；第三步利用原点为位似中心的坐标变换规律，用A的坐标乘位似比即可得到对应点D的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知点B坐标为$(-2\sqrt{2},0)$，可得$OB=2\sqrt{2}$。
过A作$AH⊥ OB$于H，因为△ABO是等腰直角三角形，$∠ A=90°$，所以H是OB中点，$AH=\frac{1}{2}OB=\sqrt{2}$。
H点坐标为$(-\sqrt{2},0)$，A在第二象限，因此A的坐标为$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。
2. 计算位似比：
△OCD与△ABO以O为位似中心，点B的对应点为C，$OC=\sqrt{2}$，反向位似的位似比$k=-\frac{OC}{OB}=-\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$。
3. 求点D的坐标：
以原点为位似中心时，对应点坐标为原坐标乘位似比，点A的对应点为D，因此D的坐标为：
$(-\sqrt{2}×(-\frac{1}{2}),\sqrt{2}×(-\frac{1}{2}))=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形性质，位似的性质，位似的坐标变换
【点评】
本题重点考查位似变换的坐标规律，易错点是容易忽略反向位似的位似比为负，解题时要结合对应点的位置判断位似方向，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
3.在平面直角坐标系中，$△ ABC$的顶点A的坐标为$(2,-5)$，若以原点O为位似中心，作$△ ABC$的位似图形$△ A_1B_1C_1$，使$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的位似比为$2:1$，且点$A_1$和点A不在同一象限内，则点$A_1$的坐标为
(-1,2.5)
。答案
3.$(-1,2.5)$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：若位似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘k或-k。第一步先确定位似比对应的缩放系数，题目中△ABC与△A₁B₁C₁的位似比为2:1，即新图形的边长是原图形的$\frac{1}{2}$，所以缩放系数为±$\frac{1}{2}$；第二步根据“点A₁和点A不在同一象限”的限制条件，确定符号的选取，点A在第四象限，不在同一象限则缩放系数取负数，最后代入计算即可得到A₁的坐标。
【解析】
解：
∵ 以原点O为位似中心，△ABC与△A₁B₁C₁的位似比为2:1
∴ 点A₁的坐标为点A的坐标乘以±$\frac{1}{2}$
已知点A坐标为$(2,-5)$，位于第四象限，且点A₁与点A不在同一象限
∴ 缩放系数取$-\frac{1}{2}$
则A₁的横坐标为：$2×(-\frac{1}{2})=-1$
A₁的纵坐标为：$-5×(-\frac{1}{2})=2.5$
即点A₁的坐标为$(-1,2.5)$
【答案】
$(-1,2.5)$
【知识点】
1. 位似的坐标变换 2. 象限的坐标特征
【点评】
本题考查原点为位似中心的位似图形坐标规律的应用，解题时需注意位似比的前后顺序，同时结合象限限制条件确定坐标的符号，避免漏看条件导致符号错误。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：若位似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘k或-k。第一步先确定位似比对应的缩放系数，题目中△ABC与△A₁B₁C₁的位似比为2:1，即新图形的边长是原图形的$\frac{1}{2}$，所以缩放系数为±$\frac{1}{2}$；第二步根据“点A₁和点A不在同一象限”的限制条件，确定符号的选取，点A在第四象限，不在同一象限则缩放系数取负数，最后代入计算即可得到A₁的坐标。
【解析】
解：
∵ 以原点O为位似中心，△ABC与△A₁B₁C₁的位似比为2:1
∴ 点A₁的坐标为点A的坐标乘以±$\frac{1}{2}$
已知点A坐标为$(2,-5)$，位于第四象限，且点A₁与点A不在同一象限
∴ 缩放系数取$-\frac{1}{2}$
则A₁的横坐标为：$2×(-\frac{1}{2})=-1$
A₁的纵坐标为：$-5×(-\frac{1}{2})=2.5$
即点A₁的坐标为$(-1,2.5)$
【答案】
$(-1,2.5)$
【知识点】
1. 位似的坐标变换 2. 象限的坐标特征
【点评】
本题考查原点为位似中心的位似图形坐标规律的应用，解题时需注意位似比的前后顺序，同时结合象限限制条件确定坐标的符号，避免漏看条件导致符号错误。
【难度系数】
0.7
4.如图,矩形EFGO的两边在坐标轴上,点O为平面直角坐标系的原点,以y轴上的某一点为位似中心,作位似图形ABCD,且点B,F的坐标分别为(-4,4),(2,1),则位似中心的坐标为
(0,2)
。答案
4.$(0,2)$
解析
【分析】
位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，本题已知位似中心在y轴上，因此我们可以选取一组已知坐标的对应点B、F，先求出直线BF的解析式，再计算该直线与y轴的交点，该交点就是所求的位似中心。
【解析】
设直线BF的解析式为$ y = kx + b \ (k ≠ 0) $，
将点B$(-4,4)$、F$(2,1)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}-4k + b = 4 \\2k + b = 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$ 6k = -3 $，解得$ k = -\frac{1}{2} $。
将$ k = -\frac{1}{2} $代入$ 2k + b = 1 $，得：$ 2 × (-\frac{1}{2}) + b = 1 $，解得$ b = 2 $。
因此直线BF的解析式为$ y = -\frac{1}{2}x + 2 $。
因为位似中心在y轴上，y轴上的点横坐标为0，将$ x = 0 $代入解析式，得$ y = 2 $。
即位似中心的坐标为$(0,2)$。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
位似图形的性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题的核心是理解位似中心是对应点连线的交点，结合题目给出的位似中心在y轴上的条件，通过计算对应点连线与y轴的交点即可得到结果，计算过程简单，需要熟练掌握位似的基本性质和一次函数的基础运算。
【难度系数】
0.7
位似图形的位似中心是所有对应顶点连线的公共交点，本题已知位似中心在y轴上，因此我们可以选取一组已知坐标的对应点B、F，先求出直线BF的解析式，再计算该直线与y轴的交点，该交点就是所求的位似中心。
【解析】
设直线BF的解析式为$ y = kx + b \ (k ≠ 0) $，
将点B$(-4,4)$、F$(2,1)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}-4k + b = 4 \\2k + b = 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$ 6k = -3 $，解得$ k = -\frac{1}{2} $。
将$ k = -\frac{1}{2} $代入$ 2k + b = 1 $，得：$ 2 × (-\frac{1}{2}) + b = 1 $，解得$ b = 2 $。
因此直线BF的解析式为$ y = -\frac{1}{2}x + 2 $。
因为位似中心在y轴上，y轴上的点横坐标为0，将$ x = 0 $代入解析式，得$ y = 2 $。
即位似中心的坐标为$(0,2)$。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
位似图形的性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题的核心是理解位似中心是对应点连线的交点，结合题目给出的位似中心在y轴上的条件，通过计算对应点连线与y轴的交点即可得到结果，计算过程简单，需要熟练掌握位似的基本性质和一次函数的基础运算。
【难度系数】
0.7
