1. 计算$(3x-2)(3x+2)$的结果是()

A.$9x^2 - 4$
B.$9x^2 + 4$
C.$6x^2 - 4$
D.$9x^2 - 12x - 4$

A

【分析】
本题考查整式乘法相关计算，解题思路如下：首先观察算式的结构，两个因式中3x是相同的项，-2和+2是互为相反数的项，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构特征，可直接套用公式快速计算，也可以通过多项式乘多项式的法则展开计算验证结果。
【解析】
方法一：使用平方差公式计算
确定公式中相同项$a=3x$，相反项的绝对值$b=2$，代入平方差公式：
原式$=(3x)^2 - 2^2$
$=9x^2 - 4$
方法二：用多项式乘多项式法则展开验证
根据多项式乘多项式运算规则$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$展开：
原式$=3x·3x + 3x·2 + (-2)·3x + (-2)·2$
$=9x^2 +6x -6x -4$
$=9x^2 -4$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，熟练掌握平方差公式的结构特征即可快速解题，也可通过多项式乘法展开计算验证，减少出错可能。
【难度系数】
0.9

2. 下列计算正确的是()

A.$(2x+y)(2x-y)=2x^2 - y^2$
B.$(3-5x)(3+5x)=9 - 25x^2$
C.$(3m-n)(-3m+n)=9m^2 - n^2$
D.$(-3x-2y)(3x+2y)=-9x^2 -4y^2$

B

【分析】
本题考查乘法公式的应用，解题的核心是先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，结果是相同项的平方减去相反项的平方，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；若两个二项式的两项均互为相反数，则需转化为完全平方公式计算。我们只需逐个验证每个选项是否符合对应公式的运算规则即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：$(2x+y)(2x-y)$符合平方差公式特征，其中相同项是$2x$，相反项是$y$，运算结果应为$(2x)^2 - y^2=4x^2 - y^2$，选项给出的结果是$2x^2 - y^2$，计算错误。
选项B：$(3-5x)(3+5x)$符合平方差公式特征，其中相同项是$3$，相反项是$5x$，运算结果为$3^2 - (5x)^2=9 - 25x^2$，计算正确。
选项C：$(3m-n)(-3m+n)$中两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，可变形为$-(3m-n)^2=-(9m^2 - 6mn + n^2)=-9m^2 + 6mn - n^2$，和选项给出的$9m^2 - n^2$不符，计算错误。
选项D：$(-3x-2y)(3x+2y)$中两项均互为相反数，不符合平方差公式特征，可变形为$-(3x+2y)^2=-(9x^2 + 12xy + 4y^2)=-9x^2 -12xy -4y^2$，和选项给出的$-9x^2 -4y^2$不符，计算错误。
综上，只有选项B计算正确。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是乘法公式的基础考查题，解题的关键是准确区分平方差公式和完全平方公式的结构特征，计算时注意不要漏算系数的平方，也不要漏掉完全平方公式的中间交叉项。
【难度系数】
0.8

3. 下列各式中,运算结果是$9a^2 -16b^2$的是()

A.$(-3a+4b)(-3a-4b)$
B.$(-4a+3b)(-4b-3a)$
C.$(4b+3a)(4b-3a)$
D.$(3a+2b)(3a-8b)$

A

【分析】
这道题考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先明确平方差公式的形式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$。我们先把目标结果$9a^2-16b^2$变形为$(3a)^2-(4b)^2$，对应公式的标准形式为$(3a+4b)(3a-4b)$，或是相同项为$-3a$、相反项为$4b$的变形形式，接下来逐一验证每个选项的运算结果，和目标式对比即可选出正确答案。
【解析】
我们结合平方差公式逐个计算选项：
平方差公式：$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$，其中$m$是两个括号中相同的项，$n$是符号相反的项。
选项A：$(-3a+4b)(-3a-4b)$，相同项为$-3a$，相反项为$4b$和$-4b$，代入公式得：
$(-3a)^2 - (4b)^2 = 9a^2 - 16b^2$，符合题意；
选项B：$(-4a+3b)(-4b-3a)$，两个括号没有完全相同的项，展开计算得：
$16ab+12a^2-12b^2-9ab=12a^2+7ab-12b^2$，不符合题意；
选项C：$(4b+3a)(4b-3a)$，相同项为$4b$，相反项为$3a$和$-3a$，代入公式得：
$(4b)^2-(3a)^2=16b^2-9a^2$，和目标结果符号相反，不符合题意；
选项D：$(3a+2b)(3a-8b)$，展开多项式计算得：
$9a^2-24ab+6ab-16b^2=9a^2-18ab-16b^2$，多了一次项，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，多项式乘多项式
【点评】
解题核心是准确识别平方差公式中相同的项和符号相反的项，要注意区分相同项和相反项，避免出现符号错误，也可以通过直接展开多项式的方法验证结果，两种方法结合使用能提高准确率。
【难度系数】
0.8

4. 下列各式可以用公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$计算的是()

A.$(2x+3y)(2x+3y)$
B.$(2x-3y)(3x+2y)$
C.$(-2x+3y)(2x+3y)$
D.$(-2x+3y)(2x-3y)$

C

【分析】
要判断哪个式子能用平方差公式计算，首先要明确平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数。解题时逐一分析每个选项中两个因式的项，判断是否符合上述特征即可。
【解析】
平方差公式的适用条件为：相乘的两个二项式中，一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐一分析选项：
A选项：两个因式均为$2x+3y$，两项都完全相同，符合完全平方公式的特征，不符合平方差公式，排除；
B选项：两个因式为$(2x-3y)$和$(3x+2y)$，既无完全相同的项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式，排除；
C选项：两个因式为$(-2x+3y)$和$(2x+3y)$，相同项是$3y$，$-2x$和$2x$互为相反数，可变形为$(3y-2x)(3y+2x)$，符合平方差公式的结构特征，可以用平方差公式计算；
D选项：两个因式为$(-2x+3y)$和$(2x-3y)$，$-2x$与$2x$互为相反数，$3y$与$-3y$也互为相反数，两项都相反，不符合平方差公式的特征，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式乘法
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构识别，解题的关键是准确区分相乘的两个二项式中的相同项和相反项，熟练掌握公式结构即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

1. 计算:$(3a-5b)(3a+5b)=$;$(x-3y)(x+3y)=$.

$\boldsymbol{9a^2-25b^2}$；$\boldsymbol{x^2-9y^2}$

【分析】
首先观察两个算式的结构，均符合“两个数的和与这两个数的差相乘”的形式，可直接使用平方差公式求解。解题时先找出每个算式中两个因式的相同项（对应公式中的a）和互为相反数的项（对应公式中的b），再代入平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算即可，计算时要注意项的系数也要同时平方。
【解析】
我们使用平方差公式：两数和与两数差的积，等于它们的平方差，公式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。
1. 计算$(3a-5b)(3a+5b)$：
相同项为$3a$，相反项为$-5b$和$5b$，代入公式得：
$(3a-5b)(3a+5b)=(3a)^2 - (5b)^2 = 9a^2 - 25b^2$
2. 计算$(x-3y)(x+3y)$：
相同项为$x$，相反项为$-3y$和$3y$，代入公式得：
$(x-3y)(x+3y)=x^2 - (3y)^2 = x^2 - 9y^2$
【答案】
$9a^2-25b^2$；$x^2-9y^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查平方差公式的直接应用，解题关键是准确区分相同项和相反项，计算时注意不要漏乘项的平方，掌握公式特征后很容易得分。
【难度系数】
0.9

2. 计算:$(-3a+2b)(3a+2b)=$;$(-x+2y)(-x-2y)=$.

$\boldsymbol{4b^2-9a^2}$；$\boldsymbol{x^2-4y^2}$

【分析】
这两道题都符合平方差公式的结构特征，解题时先找出每组相乘的多项式中相同的项和互为相反数的项，再套用平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$计算，最后化简结果即可。第一个式子中相同项是$2b$，相反项是$-3a$和$3a$；第二个式子中相同项是$-x$，相反项是$2y$和$-2y$，分别对应公式中的$m$和$n$代入计算即可。
【解析】
1. 计算$(-3a+2b)(3a+2b)$：
调整式子顺序为$(2b-3a)(2b+3a)$，符合平方差公式结构，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=(2b)^2-(3a)^2\\&=4b^2-9a^2\end{aligned}$
2. 计算$(-x+2y)(-x-2y)$：
直接识别相同项和相反项，代入平方差公式得：
$\begin{aligned}原式&=(-x)^2-(2y)^2\\&=x^2-4y^2\end{aligned}$
【答案】
$4b^2-9a^2$；$x^2-4y^2$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是平方差公式的基础应用，解题核心是准确识别两个相乘多项式中的相同项和互为相反数的项，套用公式计算时要注意各项乘方后的符号，避免运算错误。
【难度系数】
0.8

3. 若$a - b = 2$，$a^2 - b^2 = 3$，则$a + b = \_\_\_\_\_\_$

$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$

【分析】
解题时首先观察已知条件的特征，发现出现了$a^2 - b^2$的形式，这符合平方差公式的结构，因此可以利用平方差公式对$a^2 - b^2$进行因式分解，分解后式子中会出现$a - b$和$a + b$两个因式，正好已知$a - b$和$a^2 - b^2$的值，代入后即可求出$a + b$的结果。
【解析】
根据平方差公式可得：$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$
已知$a - b=2$，$a^2 - b^2=3$，将其代入上述公式得：
$3=2×(a + b)$
等式两边同时除以2，解得：$a + b=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 代数式求值
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，能快速将平方差形式的多项式因式分解，搭建已知条件和所求代数式的关联，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8

4. 把长为$(a+b)$、宽为$(a-b)$的长方形纸片剪成两块上底为$b$、下底为$a$、高为$(a-b)$的直角梯形$(a＞b)$（如右图），拼成一个如右图所示的图形。分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是________（用字母表示）。

解：
左侧原长方形阴影部分的面积为：
$S_1=(a+b)(a-b)$
右侧拼接后图形的阴影部分面积，等于边长为$a$的大正方形面积减去边长为$b$的空白小正方形面积：
$S_2=a^2 - b^2$
拼接前后阴影部分面积相等，即$S_1=S_2$，因此验证的乘法公式为：
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

【分析】
解题核心是利用“拼接前后阴影部分面积相等”的等量关系推导公式。第一步先计算左侧原长方形的阴影面积，根据长方形面积=长×宽，直接代入已知的长(a+b)和宽(a-b)即可得到第一个面积表达式；第二步计算右侧拼接后阴影的面积，观察图形可知拼接后整体是边长为a的大正方形，空白部分为边长是b的小正方形，阴影面积等于大正方形面积减去空白小正方形面积；第三步联立两个面积相等的表达式，即可得到对应的乘法公式。
【解析】
1. 计算左侧原长方形阴影部分的面积：
根据长方形面积公式，长为$(a+b)$，宽为$(a-b)$，因此
$S_1=(a+b)(a-b)$
2. 计算右侧拼接后图形的阴影部分面积：
拼接后整体是边长为$a$的正方形，空白部分是边长为$b$的小正方形，阴影面积为大正方形面积减去空白小正方形面积，因此
$S_2=a^2 - b^2$
3. 由于拼接前后阴影部分面积不变，即$S_1=S_2$，因此可得：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
【答案】
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 面积割补法
3. 矩形与正方形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的割补拼接，将代数公式与几何图形结合，直观验证了平方差公式，体现了数形结合的思想，能帮助我们更好地理解乘法公式的几何意义，是公式验证类的典型题目。
【难度系数】
0.8

5*. 已知$(x-ay)(x+ay)=x^2-16y^2$,则a=.

解：由平方差公式可得
$(x-ay)(x+ay)=x^2-(ay)^2=x^2-a^2y^2$
已知$(x-ay)(x+ay)=x^2-16y^2$，因此
$x^2-a^2y^2=x^2-16y^2$
对应项系数相等，得$a^2=16$
解得$a=\pm4$

【分析】
首先观察等式左侧的式子，是两个二项式相乘，满足“一项相同，另一项互为相反数”的平方差公式结构，所以优先用平方差公式展开左侧；再根据等式两边的多项式相等时，对应同类项的系数相等，即可得到关于a的关系式，求解时注意平方等于正数的数有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
由平方差公式可得：
$(x-ay)(x+ay)=x^2-(ay)^2=x^2-a^2y^2$
已知$(x-ay)(x+ay)=x^2-16y^2$，因此：
$x^2-a^2y^2=x^2-16y^2$
根据等式两边对应项系数相等，得$a^2=16$
解得$a=\pm4$
【答案】
$\pm4$
【知识点】
平方差公式；同类项系数相等；开平方运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，展开后对比系数即可求解，易错点是容易遗漏a的负数值。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 计算：
(1) $(ab+3)(ab-3)$；
(2) $(x+\dfrac{1}{4}y)(x-\dfrac{1}{4}y)$；
(3) $(-x-3y)(-x+3y)$；
(4) $(2-x)(-2-x)$；
(5) $(m-n)(m+n)-m(m-n)+n(m+n)$；
(6) $(x+3)(x-3)-x(x-5)$；

解：
(1) 原式$=(ab)^2 - 3^2$
$=a^2b^2 - 9$
(2) 原式$=x^2 - (\dfrac{1}{4}y)^2$
$=x^2 - \dfrac{1}{16}y^2$
(3) 原式$=(-x)^2 - (3y)^2$
$=x^2 - 9y^2$
(4) 原式$=(-x+2)(-x-2)$
$=(-x)^2 - 2^2$
$=x^2 - 4$
(5) 原式$=(m^2 - n^2) - (m^2 - mn) + (mn + n^2)$
$=m^2 - n^2 - m^2 + mn + mn + n^2$
$=2mn$
(6) 原式$=(x^2 - 9) - (x^2 - 5x)$
$=x^2 - 9 - x^2 + 5x$
$=5x - 9$

【分析】
这6道小题均围绕整式乘法相关公式和运算法则考查，解题思路如下：①前4道是两个二项式相乘的题型，先找出两个括号中完全相同的项（对应平方差公式中的$a$）和互为相反数的项（对应平方差公式中的$b$），直接套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，再化简结果即可；②后2道是整式混合运算题型，先分别用平方差公式、单项式乘多项式法则计算各乘法部分，再去括号（注意括号前是负号时括号内各项要变号），最后合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 原式$=(ab)^2 - 3^2$
$=a^2b^2 - 9$
(2) 原式$=x^2 - (\dfrac{1}{4}y)^2$
$=x^2 - \dfrac{1}{16}y^2$
(3) 原式$=(-x)^2 - (3y)^2$
$=x^2 - 9y^2$
(4) 原式$=(-x+2)(-x-2)$
$=(-x)^2 - 2^2$
$=x^2 - 4$
(5) 原式$=(m^2 - n^2) - (m^2 - mn) + (mn + n^2)$
$=m^2 - n^2 - m^2 + mn + mn + n^2$
$=2mn$
(6) 原式$=(x^2 - 9) - (x^2 - 5x)$
$=x^2 - 9 - x^2 + 5x$
$=5x - 9$
【答案】
(1)$a^2b^2 - 9$；(2)$x^2 - \dfrac{1}{16}y^2$；(3)$x^2 - 9y^2$；(4)$x^2 - 4$；(5)$2mn$；(6)$5x - 9$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，核心考查平方差公式的灵活运用，解题易错点为无法准确区分相同项和相反项，以及混合运算去括号时出现符号错误，熟练掌握本题型可为后续学习更复杂的乘法运算打好基础。
【难度系数】
0.85