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2. 先化简后求值:$(x+1)(x-3)-(x-3)(x-1)$,其中$x=2.$
答案
解：
原式 = (x² - 3x + x - 3) - (x² - x - 3x + 3)
= x² - 2x - 3 - x² + 4x - 3
= 2x - 6
当x=2时，
原式 = 2×2 - 6 = -2
原式 = (x² - 3x + x - 3) - (x² - x - 3x + 3)
= x² - 2x - 3 - x² + 4x - 3
= 2x - 6
当x=2时，
原式 = 2×2 - 6 = -2
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路可分为两步：第一步先对原式进行化简，首先运用多项式乘多项式的法则分别计算两个乘积项，再通过去括号、合并同类项将原式化为最简整式；第二步将x=2代入化简后的整式计算结果即可。先化简再代值的方式比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：首先利用多项式乘多项式法则展开各项：
原式 = (x² - 3x + x - 3) - (x² - x - 3x + 3)
整理展开后的项：
= (x² - 2x - 3) - (x² - 4x + 3)
去括号，注意括号前为负号时括号内各项需变号：
= x² - 2x - 3 - x² + 4x - 3
合并同类项：
= 2x - 6
将x=2代入化简后的式子计算：
当x=2时，原式 = 2×2 - 6 = 4 - 6 = -2
【答案】
-2
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察多项式乘法运算规则及去括号、合并同类项的运算能力，去括号时的符号变化是本题的常见易错点，掌握先化简后求值的运算逻辑能有效提升运算准确率。
【难度系数】
0.8
本题属于整式化简求值类题目，解题思路可分为两步：第一步先对原式进行化简，首先运用多项式乘多项式的法则分别计算两个乘积项，再通过去括号、合并同类项将原式化为最简整式；第二步将x=2代入化简后的整式计算结果即可。先化简再代值的方式比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：首先利用多项式乘多项式法则展开各项：
原式 = (x² - 3x + x - 3) - (x² - x - 3x + 3)
整理展开后的项：
= (x² - 2x - 3) - (x² - 4x + 3)
去括号，注意括号前为负号时括号内各项需变号：
= x² - 2x - 3 - x² + 4x - 3
合并同类项：
= 2x - 6
将x=2代入化简后的式子计算：
当x=2时，原式 = 2×2 - 6 = 4 - 6 = -2
【答案】
-2
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察多项式乘法运算规则及去括号、合并同类项的运算能力，去括号时的符号变化是本题的常见易错点，掌握先化简后求值的运算逻辑能有效提升运算准确率。
【难度系数】
0.8
3*. (1)计算下列式子:
①$(x+2)(x+5)=$;②$(x-2)(x-5)=$;
③$(x+2)(x-5)=$;④$(x-2)(x+5)=$.
(2)从上面的计算中总结出规律:$(x+a)(x+b)=$,并用多项式的乘法法则进行检验.
(3)运用上面的规律,直接写出下列各式的结果:
①$(x+4)(x+7)=$;②$(m-2)(m+3)=$;
③$(x-3)(x-4)=$;④$(y-\dfrac{1}{2})(y+\dfrac{1}{3})=$.
①$(x+2)(x+5)=$;②$(x-2)(x-5)=$;
③$(x+2)(x-5)=$;④$(x-2)(x+5)=$.
(2)从上面的计算中总结出规律:$(x+a)(x+b)=$,并用多项式的乘法法则进行检验.
(3)运用上面的规律,直接写出下列各式的结果:
①$(x+4)(x+7)=$;②$(m-2)(m+3)=$;
③$(x-3)(x-4)=$;④$(y-\dfrac{1}{2})(y+\dfrac{1}{3})=$.
答案
解：
(1) ① $(x+2)(x+5)=x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10$
② $(x-2)(x-5)=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10$
③ $(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10$
④ $(x-2)(x+5)=x^2+5x-2x-10=x^2+3x-10$
(2) 规律：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
检验：根据多项式乘法法则，将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加：
$(x+a)(x+b)=x· x + x· b + a· x + a· b = x^2+ax+bx+ab = x^2+(a+b)x+ab$，规律成立。
(3) ① $(x+4)(x+7)=x^2+11x+28$
② $(m-2)(m+3)=m^2+m-6$
③ $(x-3)(x-4)=x^2-7x+12$
④ $(y-\dfrac{1}{2})(y+\dfrac{1}{3})=y^2-\dfrac{1}{6}y-\dfrac{1}{6}$
(1) ① $(x+2)(x+5)=x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10$
② $(x-2)(x-5)=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10$
③ $(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10$
④ $(x-2)(x+5)=x^2+5x-2x-10=x^2+3x-10$
(2) 规律：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
检验：根据多项式乘法法则，将第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加：
$(x+a)(x+b)=x· x + x· b + a· x + a· b = x^2+ax+bx+ab = x^2+(a+b)x+ab$，规律成立。
(3) ① $(x+4)(x+7)=x^2+11x+28$
② $(m-2)(m+3)=m^2+m-6$
③ $(x-3)(x-4)=x^2-7x+12$
④ $(y-\dfrac{1}{2})(y+\dfrac{1}{3})=y^2-\dfrac{1}{6}y-\dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
本题分为三个梯度，解题思路如下：(1) 小题利用多项式乘多项式法则，将第一个二项式的每一项分别乘第二个二项式的每一项，再合并同类项即可得到结果；(2) 观察(1)中4个式子的一次项系数、常数项与原式中两个常数a、b的关系，总结出通用规律，再用多项式乘法法则展开验证规律的正确性；(3) 直接套用(2)中总结的规律，代入对应a、b的值计算即可，无需再逐项展开。
【解析】
(1) ① 根据多项式乘法法则展开：$(x+2)(x+5)=x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10$
② 展开计算：$(x-2)(x-5)=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10$
③ 展开计算：$(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10$
④ 展开计算：$(x-2)(x+5)=x^2+5x-2x-10=x^2+3x-10$
(2) 观察上述结果可总结规律：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
检验：根据多项式乘法法则，将两个多项式的项分别相乘再合并同类项：
$(x+a)(x+b)=x·x + x·b + a·x + a·b = x^2+bx+ax+ab = x^2+(a+b)x+ab$，与总结的规律一致，规律成立。
(3) 直接套用规律计算：
① $(x+4)(x+7)=x^2+(4+7)x+4×7=x^2+11x+28$
② $(m-2)(m+3)=m^2+(-2+3)m+(-2)×3=m^2+m-6$
③ $(x-3)(x-4)=x^2+(-3-4)x+(-3)×(-4)=x^2-7x+12$
④ $(y-\dfrac{1}{2})(y+\dfrac{1}{3})=y^2+(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3})y+(-\dfrac{1}{2})×\dfrac{1}{3}=y^2-\dfrac{1}{6}y-\dfrac{1}{6}$
【答案】
(1)①$x^2+7x+10$；②$x^2-7x+10$；③$x^2-3x-10$；④$x^2+3x-10$
(2)$x^2+(a+b)x+ab$
(3)①$x^2+11x+28$；②$m^2+m-6$；③$x^2-7x+12$；④$y^2-\dfrac{1}{6}y-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
多项式乘多项式，整式运算，规律归纳
【点评】
本题从具体的整式乘法计算入手，引导学生自主归纳通用的简便运算公式，既巩固了多项式乘法的基础运算能力，又锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，总结的规律也是后续因式分解、解一元二次方程的重要基础，实用性较强。
【难度系数】
0.8
本题分为三个梯度，解题思路如下：(1) 小题利用多项式乘多项式法则，将第一个二项式的每一项分别乘第二个二项式的每一项，再合并同类项即可得到结果；(2) 观察(1)中4个式子的一次项系数、常数项与原式中两个常数a、b的关系，总结出通用规律，再用多项式乘法法则展开验证规律的正确性；(3) 直接套用(2)中总结的规律，代入对应a、b的值计算即可，无需再逐项展开。
【解析】
(1) ① 根据多项式乘法法则展开：$(x+2)(x+5)=x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10$
② 展开计算：$(x-2)(x-5)=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10$
③ 展开计算：$(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10$
④ 展开计算：$(x-2)(x+5)=x^2+5x-2x-10=x^2+3x-10$
(2) 观察上述结果可总结规律：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
检验：根据多项式乘法法则，将两个多项式的项分别相乘再合并同类项：
$(x+a)(x+b)=x·x + x·b + a·x + a·b = x^2+bx+ax+ab = x^2+(a+b)x+ab$，与总结的规律一致，规律成立。
(3) 直接套用规律计算：
① $(x+4)(x+7)=x^2+(4+7)x+4×7=x^2+11x+28$
② $(m-2)(m+3)=m^2+(-2+3)m+(-2)×3=m^2+m-6$
③ $(x-3)(x-4)=x^2+(-3-4)x+(-3)×(-4)=x^2-7x+12$
④ $(y-\dfrac{1}{2})(y+\dfrac{1}{3})=y^2+(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3})y+(-\dfrac{1}{2})×\dfrac{1}{3}=y^2-\dfrac{1}{6}y-\dfrac{1}{6}$
【答案】
(1)①$x^2+7x+10$；②$x^2-7x+10$；③$x^2-3x-10$；④$x^2+3x-10$
(2)$x^2+(a+b)x+ab$
(3)①$x^2+11x+28$；②$m^2+m-6$；③$x^2-7x+12$；④$y^2-\dfrac{1}{6}y-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
多项式乘多项式，整式运算，规律归纳
【点评】
本题从具体的整式乘法计算入手，引导学生自主归纳通用的简便运算公式，既巩固了多项式乘法的基础运算能力，又锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，总结的规律也是后续因式分解、解一元二次方程的重要基础，实用性较强。
【难度系数】
0.8
