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3*. 如图2,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ ACB = 90°$,按下列步骤作图:①分别以点B,C为圆心,大于$\frac{1}{2}BC$长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN交AB于点D;②连接CD,以C为圆心,CD长为半径画弧交AB于点E.若$AC=3$,$BC=4$,则线段DE的长为()
A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{7}{5}$
C.$\frac{8}{5}$
D.$\frac{9}{5}$
A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{7}{5}$
C.$\frac{8}{5}$
D.$\frac{9}{5}$
答案
B
解析
【分析】
首先明确作图步骤的性质：步骤①得到的直线MN是BC的垂直平分线，可推出D是AB的中点，结合直角三角形斜边中线的性质得到CD的长度；步骤②可知CE=CD，即△CDE是等腰三角形。接下来先通过勾股定理求AB的长度，再用面积法求出AB边上的高，最后利用等腰三角形三线合一和勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 由作图步骤①可知MN是BC的垂直平分线，故$MN⊥ BC$，又$AC⊥ BC$，因此$MN// AC$，且MN平分BC，可得D是AB的中点。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
3. 由作图步骤②得$CE=CD=\frac{5}{2}$。过C作$CF⊥ AB$于F，
由三角形面积公式：$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CF$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CF$，解得$CF=\frac{12}{5}$。
4. 因为$CE=CD$，$CF⊥ DE$，根据等腰三角形三线合一，F是DE的中点，即$DE=2DF$。
在$\mathrm{Rt}△CFD$中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{CD^2-CF^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10}$，
因此$DE=2×\frac{7}{10}=\frac{7}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基础性质的综合应用，解题的核心是先判断作图得到的线段、直线的性质，再灵活运用直角三角形、等腰三角形的相关性质计算，能有效锻炼对基础知识点的整合应用能力。
【难度系数】
0.6
首先明确作图步骤的性质：步骤①得到的直线MN是BC的垂直平分线，可推出D是AB的中点，结合直角三角形斜边中线的性质得到CD的长度；步骤②可知CE=CD，即△CDE是等腰三角形。接下来先通过勾股定理求AB的长度，再用面积法求出AB边上的高，最后利用等腰三角形三线合一和勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 由作图步骤①可知MN是BC的垂直平分线，故$MN⊥ BC$，又$AC⊥ BC$，因此$MN// AC$，且MN平分BC，可得D是AB的中点。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
3. 由作图步骤②得$CE=CD=\frac{5}{2}$。过C作$CF⊥ AB$于F，
由三角形面积公式：$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CF$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CF$，解得$CF=\frac{12}{5}$。
4. 因为$CE=CD$，$CF⊥ DE$，根据等腰三角形三线合一，F是DE的中点，即$DE=2DF$。
在$\mathrm{Rt}△CFD$中，由勾股定理得：
$DF=\sqrt{CD^2-CF^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{49}{100}}=\frac{7}{10}$，
因此$DE=2×\frac{7}{10}=\frac{7}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基础性质的综合应用，解题的核心是先判断作图得到的线段、直线的性质，再灵活运用直角三角形、等腰三角形的相关性质计算，能有效锻炼对基础知识点的整合应用能力。
【难度系数】
0.6
1. 如图3是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度a(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是.
答案
解：
当吸管竖直放置时，罐内部分长度最短，此时长度等于圆柱的高，即最短长度为12。
当吸管斜放，一端在上底面中心，另一端落在下底面的边缘时，罐内部分长度最长。
此时两条直角边的长度分别为圆柱的高12、底面半径5，由勾股定理得最长长度为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
因此直吸管在罐内部分的长度$a$的范围是$\boldsymbol{12 ≤ a ≤ 13}$。
当吸管竖直放置时，罐内部分长度最短，此时长度等于圆柱的高，即最短长度为12。
当吸管斜放，一端在上底面中心，另一端落在下底面的边缘时，罐内部分长度最长。
此时两条直角边的长度分别为圆柱的高12、底面半径5，由勾股定理得最长长度为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
因此直吸管在罐内部分的长度$a$的范围是$\boldsymbol{12 ≤ a ≤ 13}$。
解析
【分析】
要求吸管在罐内部分的长度范围，只需要找到长度的最小值和最大值即可。首先思考最短的情况：当吸管竖直放进罐内时，罐内长度刚好等于圆柱的高，这是最短的长度。再思考最长的情况：当吸管斜放，一端在上底面的中心孔处，另一端伸到下底面离中心最远的位置（即下底面的边缘）时，罐内吸管长度最长，此时吸管长度、圆柱的高、底面半径刚好构成直角三角形，可通过勾股定理计算最长长度，最终得到a的取值范围。
【解析】
当吸管竖直放置时，罐内部分长度最短，此时长度等于圆柱的高，即最短长度为12。
当吸管斜放，一端在上底面中心，另一端落在下底面的边缘时，罐内部分长度最长。
此时两条直角边的长度分别为圆柱的高12、底面半径5，由勾股定理得最长长度为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
因此直吸管在罐内部分的长度$a$的范围是$12 ≤ a ≤ 13$。
【答案】
$\boldsymbol{12 ≤ a ≤ 13}$
【知识点】
勾股定理的应用；圆柱的特征
【点评】
本题将立体图形的长度计算问题转化为平面直角三角形的求解问题，解题核心是准确找到吸管长度的两种极端情形，能有效考查学生的空间想象能力和转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
要求吸管在罐内部分的长度范围，只需要找到长度的最小值和最大值即可。首先思考最短的情况：当吸管竖直放进罐内时，罐内长度刚好等于圆柱的高，这是最短的长度。再思考最长的情况：当吸管斜放，一端在上底面的中心孔处，另一端伸到下底面离中心最远的位置（即下底面的边缘）时，罐内吸管长度最长，此时吸管长度、圆柱的高、底面半径刚好构成直角三角形，可通过勾股定理计算最长长度，最终得到a的取值范围。
【解析】
当吸管竖直放置时，罐内部分长度最短，此时长度等于圆柱的高，即最短长度为12。
当吸管斜放，一端在上底面中心，另一端落在下底面的边缘时，罐内部分长度最长。
此时两条直角边的长度分别为圆柱的高12、底面半径5，由勾股定理得最长长度为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$
因此直吸管在罐内部分的长度$a$的范围是$12 ≤ a ≤ 13$。
【答案】
$\boldsymbol{12 ≤ a ≤ 13}$
【知识点】
勾股定理的应用；圆柱的特征
【点评】
本题将立体图形的长度计算问题转化为平面直角三角形的求解问题，解题核心是准确找到吸管长度的两种极端情形，能有效考查学生的空间想象能力和转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
2. 如图4,已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=4\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$. 现将$△ ABC$进行折叠,使顶点$A$,$B$重合,则折痕$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$
由折叠性质可知，折痕$DE$垂直平分$AB$，
∴ $AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，$AD=BD$，$∠ AED=90°$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，则$AD=BD=(4-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC^2+CD^2=BD^2$
即 $3^2+x^2=(4-x)^2$，
展开整理得 $9+x^2=16-8x+x^2$，
解得 $x=\frac{7}{8}$，
∴ $AD=4-\frac{7}{8}=\frac{25}{8}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{25}{8})^2-(\frac{5}{2})^2}=\sqrt{\frac{225}{64}}=\frac{15}{8}\ \mathrm{cm}$
$\dfrac{15}{8}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$
由折叠性质可知，折痕$DE$垂直平分$AB$，
∴ $AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，$AD=BD$，$∠ AED=90°$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，则$AD=BD=(4-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC^2+CD^2=BD^2$
即 $3^2+x^2=(4-x)^2$，
展开整理得 $9+x^2=16-8x+x^2$，
解得 $x=\frac{7}{8}$，
∴ $AD=4-\frac{7}{8}=\frac{25}{8}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{25}{8})^2-(\frac{5}{2})^2}=\sqrt{\frac{225}{64}}=\frac{15}{8}\ \mathrm{cm}$
$\dfrac{15}{8}$
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形的两条直角边，利用勾股定理求出斜边AB的长度；再根据折叠的性质可知折痕DE垂直平分AB，可得AE的长度及AD=BD的等量关系；接着设CD的长为x，用含x的式子表示BD的长度，在Rt△BCD中利用勾股定理列方程求出x的值，进而得到AD的长度；最后在Rt△ADE中再次利用勾股定理即可求出折痕DE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$
由折叠性质可知，折痕$DE$垂直平分$AB$，
∴ $AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，$AD=BD$，$∠ AED=90°$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，则$AD=BD=(4-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC^2+CD^2=BD^2$
即 $3^2+x^2=(4-x)^2$，
展开整理得 $9+x^2=16-8x+x^2$，
解得 $x=\frac{7}{8}$，
∴ $AD=4-\frac{7}{8}=\frac{25}{8}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{25}{8})^2-(\frac{5}{2})^2}=\sqrt{\frac{225}{64}}=\frac{15}{8}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\dfrac{15}{8}$
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型题型，解题的核心是利用折叠的性质得到相等的线段，通过设未知数列方程的方式求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据直角三角形的两条直角边，利用勾股定理求出斜边AB的长度；再根据折叠的性质可知折痕DE垂直平分AB，可得AE的长度及AD=BD的等量关系；接着设CD的长为x，用含x的式子表示BD的长度，在Rt△BCD中利用勾股定理列方程求出x的值，进而得到AD的长度；最后在Rt△ADE中再次利用勾股定理即可求出折痕DE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \mathrm{cm}$
由折叠性质可知，折痕$DE$垂直平分$AB$，
∴ $AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，$AD=BD$，$∠ AED=90°$。
设$CD=x\ \mathrm{cm}$，则$AD=BD=(4-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC^2+CD^2=BD^2$
即 $3^2+x^2=(4-x)^2$，
展开整理得 $9+x^2=16-8x+x^2$，
解得 $x=\frac{7}{8}$，
∴ $AD=4-\frac{7}{8}=\frac{25}{8}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{(\frac{25}{8})^2-(\frac{5}{2})^2}=\sqrt{\frac{225}{64}}=\frac{15}{8}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\dfrac{15}{8}$
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型题型，解题的核心是利用折叠的性质得到相等的线段，通过设未知数列方程的方式求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
3. 如图5,在$△ ABC$中,$AB=AC$,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作$BF// AC$,且$BF=AE$,连接CF. 若$AC=13$,$BC=10$,则四边形EBFC的面积为.
答案
$\boldsymbol{60}$
解析
【分析】
要计算四边形EBFC的面积，可先拆分面积为$△ EBC$和$△ BCF$的面积之和。结合已知条件：$AB=AC$、$BF// AC$、$BF=AE$，可先通过SAS证明$△ ACE≌△ BCF$，得到两三角形面积相等，即可将四边形面积转化为$△ ABC$的面积。再利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求出$△ ABC$的高，进而算出其面积，即为所求四边形的面积。
【解析】
1. 证明三角形全等：
$\because AC// BF$，$AB$为截线，
$\therefore ∠ A=∠ ABF$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because AB=AC$，$BF=AE$，
在$△ ACE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}AC=AB \\∠ A=∠ ABF \\AE=BF\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ BCF}$。
2. 计算$△ ABC$的面积：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$（等腰三角形三线合一）。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×10×12=60$。
3. 转化求四边形面积：
$\because S_{\mathrm{四边形}EBFC}=S_{△ EBC}+S_{△ BCF}$，且$S_{△ BCF}=S_{△ ACE}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}EBFC}=S_{△ EBC}+S_{△ ACE}=S_{△ ABC}=60$。
【答案】
$\boldsymbol{60}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题核心是通过全等三角形实现不规则四边形面积到规则等腰三角形面积的转化，结合等腰三角形性质和勾股定理求解，解题关键是找到全等关系完成面积转化。
【难度系数】
0.65
要计算四边形EBFC的面积，可先拆分面积为$△ EBC$和$△ BCF$的面积之和。结合已知条件：$AB=AC$、$BF// AC$、$BF=AE$，可先通过SAS证明$△ ACE≌△ BCF$，得到两三角形面积相等，即可将四边形面积转化为$△ ABC$的面积。再利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求出$△ ABC$的高，进而算出其面积，即为所求四边形的面积。
【解析】
1. 证明三角形全等：
$\because AC// BF$，$AB$为截线，
$\therefore ∠ A=∠ ABF$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because AB=AC$，$BF=AE$，
在$△ ACE$和$△ BCF$中：
$\begin{cases}AC=AB \\∠ A=∠ ABF \\AE=BF\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore S_{△ ACE}=S_{△ BCF}$。
2. 计算$△ ABC$的面积：
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
$\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$（等腰三角形三线合一）。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×10×12=60$。
3. 转化求四边形面积：
$\because S_{\mathrm{四边形}EBFC}=S_{△ EBC}+S_{△ BCF}$，且$S_{△ BCF}=S_{△ ACE}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}EBFC}=S_{△ EBC}+S_{△ ACE}=S_{△ ABC}=60$。
【答案】
$\boldsymbol{60}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题核心是通过全等三角形实现不规则四边形面积到规则等腰三角形面积的转化，结合等腰三角形性质和勾股定理求解，解题关键是找到全等关系完成面积转化。
【难度系数】
0.65
4*. 如图6,四边形ABCD是一块长方形地面,AB=20 cm,AD=10 cm,中间有一堵墙,墙高MN=2 cm.
蚂蚁从点A到点C,必须翻过中间这堵墙,则它至少要爬cm.
蚂蚁从点A到点C,必须翻过中间这堵墙,则它至少要爬cm.
答案
解：将墙的两个侧面展开，与长方形地面平铺在同一平面内，此时得到的新长方形的长为 $ AB + 2MN = 20 + 2×2 = 24\ \mathrm{cm} $，宽为 $ AD = 10\ \mathrm{cm} $。
根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路径为该新长方形的对角线长：
$\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26\ \mathrm{cm}$
答：它至少要爬26 cm。
根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路径为该新长方形的对角线长：
$\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26\ \mathrm{cm}$
答：它至少要爬26 cm。
解析
【分析】
要求蚂蚁翻过墙从A到C的最短爬行路径，我们可以用“平面展开法”转化问题：首先，两点之间线段最短，但因为有墙的阻隔，蚂蚁需要走过墙的两个侧面才能翻越，所以我们把墙的两个侧面和地面展开到同一个平面上，此时A、C两点就在同一个长方形内，最短路径就是这个新长方形的对角线。展开后长方形的宽和原长方形的宽AD相等，长会比原AB多2倍的墙高MN（因为墙的两个侧面展开后各增加了MN的长度），最后用勾股定理计算对角线长度即可。
【解析】
解：将墙的左右两个侧面与长方形地面展开到同一平面，此时得到的新长方形的长为：
$AB + 2MN = 20 + 2×2 = 24\ \mathrm{cm}$，宽为$AD = 10\ \mathrm{cm}$。
根据两点之间线段最短，蚂蚁爬行的最短路径就是这个新长方形的对角线长度，由勾股定理得：
对角线长$=\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26\ \mathrm{cm}$。
【答案】
26
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径问题，平面展开图
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用题型，解题的关键是利用平面展开法将翻越障碍的立体路径转化为同一平面内的线段，再结合勾股定理求解，能较好地考查学生的空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
要求蚂蚁翻过墙从A到C的最短爬行路径，我们可以用“平面展开法”转化问题：首先，两点之间线段最短，但因为有墙的阻隔，蚂蚁需要走过墙的两个侧面才能翻越，所以我们把墙的两个侧面和地面展开到同一个平面上，此时A、C两点就在同一个长方形内，最短路径就是这个新长方形的对角线。展开后长方形的宽和原长方形的宽AD相等，长会比原AB多2倍的墙高MN（因为墙的两个侧面展开后各增加了MN的长度），最后用勾股定理计算对角线长度即可。
【解析】
解：将墙的左右两个侧面与长方形地面展开到同一平面，此时得到的新长方形的长为：
$AB + 2MN = 20 + 2×2 = 24\ \mathrm{cm}$，宽为$AD = 10\ \mathrm{cm}$。
根据两点之间线段最短，蚂蚁爬行的最短路径就是这个新长方形的对角线长度，由勾股定理得：
对角线长$=\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26\ \mathrm{cm}$。
【答案】
26
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径问题，平面展开图
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用题型，解题的关键是利用平面展开法将翻越障碍的立体路径转化为同一平面内的线段，再结合勾股定理求解，能较好地考查学生的空间想象能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 如图7，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东$60°$方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东$30°$的方向以每小时15海里速度前进，两小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，求M岛与P岛之间的距离。
1. 如图7，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东$60°$方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东$30°$的方向以每小时15海里速度前进，两小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，求M岛与P岛之间的距离。
答案
解：
由题意可得：
甲船航行的路程 $BM = 8 × 2 = 16$（海里），
乙船航行的路程 $BP = 15 × 2 = 30$（海里）。
$\because ∠ MBP = 180° - 60° - 30° = 90°$，
$\therefore △ MBP$ 是直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ MBP$ 中，由勾股定理得：
$MP^2 = BM^2 + BP^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$，
$\therefore MP = \sqrt{1156} = 34$（海里）。
答：M岛与P岛之间的距离为34海里。
由题意可得：
甲船航行的路程 $BM = 8 × 2 = 16$（海里），
乙船航行的路程 $BP = 15 × 2 = 30$（海里）。
$\because ∠ MBP = 180° - 60° - 30° = 90°$，
$\therefore △ MBP$ 是直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ MBP$ 中，由勾股定理得：
$MP^2 = BM^2 + BP^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$，
$\therefore MP = \sqrt{1156} = 34$（海里）。
答：M岛与P岛之间的距离为34海里。
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步先根据路程=速度×时间，分别算出甲、乙两船航行2小时的路程，得到BM和BP的长度；第二步结合方位角的定义，计算∠MBP的度数，平角为180°，减去两个已知方位角的度数即可得到∠MBP的度数，判断出△MBP是直角三角形；第三步在直角三角形中，利用勾股定理计算斜边MP的长度，就是M岛和P岛之间的距离。
【解析】
解：由题意可得：
甲船航行的路程 $BM = 8 × 2 = 16$（海里），
乙船航行的路程 $BP = 15 × 2 = 30$（海里）。
$\because ∠ MBP = 180° - 60° - 30° = 90°$，
$\therefore △ MBP$ 是直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ MBP$ 中，由勾股定理得：
$MP^2 = BM^2 + BP^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$，
$\therefore MP = \sqrt{1156} = 34$（海里）。
【答案】
34海里
【知识点】
方位角的概念、勾股定理、路程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际航行场景中的应用，解题的核心是先通过方位角判断出三角形为直角三角形，再结合行程公式求出直角边长度，最终用勾股定理求解，较好地考察了学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时可分三步思考：第一步先根据路程=速度×时间，分别算出甲、乙两船航行2小时的路程，得到BM和BP的长度；第二步结合方位角的定义，计算∠MBP的度数，平角为180°，减去两个已知方位角的度数即可得到∠MBP的度数，判断出△MBP是直角三角形；第三步在直角三角形中，利用勾股定理计算斜边MP的长度，就是M岛和P岛之间的距离。
【解析】
解：由题意可得：
甲船航行的路程 $BM = 8 × 2 = 16$（海里），
乙船航行的路程 $BP = 15 × 2 = 30$（海里）。
$\because ∠ MBP = 180° - 60° - 30° = 90°$，
$\therefore △ MBP$ 是直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ MBP$ 中，由勾股定理得：
$MP^2 = BM^2 + BP^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$，
$\therefore MP = \sqrt{1156} = 34$（海里）。
【答案】
34海里
【知识点】
方位角的概念、勾股定理、路程计算
【点评】
本题是勾股定理在实际航行场景中的应用，解题的核心是先通过方位角判断出三角形为直角三角形，再结合行程公式求出直角边长度，最终用勾股定理求解，较好地考察了学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
