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2. 如图8,已知△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF.若BE=12,CF=5,求线段EF的长. 
答案
解：连接AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD=BD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即∠ADF+∠CDF=90°，
又∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，即∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED和△CFD中，
$\{\begin{array}{l}∠EAD=∠C \\AD=CD \\∠EDA=∠FDC\end{array} $
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，
同理可证△BED≌△AFD，得AF=BE=12，
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理得：
$EF^2=AE^2+AF^2=5^2+12^2=169$，
∴EF=13。
答：线段EF的长为13。
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD=BD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即∠ADF+∠CDF=90°，
又∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，即∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED和△CFD中，
$\{\begin{array}{l}∠EAD=∠C \\AD=CD \\∠EDA=∠FDC\end{array} $
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，
同理可证△BED≌△AFD，得AF=BE=12，
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理得：
$EF^2=AE^2+AF^2=5^2+12^2=169$，
∴EF=13。
答：线段EF的长为13。
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，已知等腰直角三角形及斜边中点，可优先连接AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到相等的边和角；再结合DE⊥DF的条件，通过同角的余角相等推导得到相等的角，证明三角形全等，将已知的BE、CF转化为直角△AEF的两条直角边的长度；最后使用勾股定理即可求出EF的长。
【解析】
连接AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD=BD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即∠ADF+∠CDF=90°，
又
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，即∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED和△CFD中，
$\{\begin{array}{l}∠EAD=∠C \\AD=CD \\∠EDA=∠FDC\end{array} $
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，
同理可证△BED≌△AFD，得AF=BE=12，
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理得：
$EF^2=AE^2+AF^2=5^2+12^2=169$，
∴EF=13。
【答案】
13
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，融合了多个核心几何知识点，解题的关键是正确作出辅助线连接AD，通过全等三角形实现线段的等量转换，再利用勾股定理求解，对学生的条件转化能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察题目条件，已知等腰直角三角形及斜边中点，可优先连接AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质得到相等的边和角；再结合DE⊥DF的条件，通过同角的余角相等推导得到相等的角，证明三角形全等，将已知的BE、CF转化为直角△AEF的两条直角边的长度；最后使用勾股定理即可求出EF的长。
【解析】
连接AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD=BD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即∠ADF+∠CDF=90°，
又
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，即∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED和△CFD中，
$\{\begin{array}{l}∠EAD=∠C \\AD=CD \\∠EDA=∠FDC\end{array} $
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，
同理可证△BED≌△AFD，得AF=BE=12，
∵∠BAC=90°，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理得：
$EF^2=AE^2+AF^2=5^2+12^2=169$，
∴EF=13。
【答案】
13
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，融合了多个核心几何知识点，解题的关键是正确作出辅助线连接AD，通过全等三角形实现线段的等量转换，再利用勾股定理求解，对学生的条件转化能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.6
背景介绍:勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.千百年来,人们执着于对它的证明,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.
(1)把两个全等的直角三角形如图9-1放置,其三边长分别为$a,b,c$,$∠ DAB=∠ B=90°$,显然$AC⊥ DE$.用含$a,b,c$的式子分别表示出梯形$ABCD$、四边形$AECD$、$△ EBC$的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理.上述图形的面积满足的关系式为(用含$a,b,c$的式子表示),经化简,可得到勾股定理$a^2+b^2=c^2$.
(2)如图9-2,铁路(铁路看成线段)上$A,B$两点相距40千米,$C,D$为两个村庄,$AD⊥ AB$,$BC⊥ AB$,垂足分别为$A,B$,$AD=24$千米,$BC=16$千米,则两个村庄的距离为千米.
(3)在图9-2的条件下,要在$AB$上建造一个供应站$P$,使得$PC=PD$,作出点$P$并求出$AP$的长.
(1)把两个全等的直角三角形如图9-1放置,其三边长分别为$a,b,c$,$∠ DAB=∠ B=90°$,显然$AC⊥ DE$.用含$a,b,c$的式子分别表示出梯形$ABCD$、四边形$AECD$、$△ EBC$的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理.上述图形的面积满足的关系式为(用含$a,b,c$的式子表示),经化简,可得到勾股定理$a^2+b^2=c^2$.
(2)如图9-2,铁路(铁路看成线段)上$A,B$两点相距40千米,$C,D$为两个村庄,$AD⊥ AB$,$BC⊥ AB$,垂足分别为$A,B$,$AD=24$千米,$BC=16$千米,则两个村庄的距离为千米.
(3)在图9-2的条件下,要在$AB$上建造一个供应站$P$,使得$PC=PD$,作出点$P$并求出$AP$的长.
答案
解：
(1) 梯形ABCD的面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，$△ EBC$的面积为$\frac{1}{2}ab$，四边形AECD的面积为$\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$，由三个图形的面积关系可得：
$\frac{1}{2}(a+b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
(2) 过点C作$CE⊥ AD$于点E，
$\because AD⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形ABCE是矩形，
$\therefore CE=AB=40$千米，$AE=BC=16$千米，
$\therefore DE=AD-AE=24-16=8$千米，
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{40^2+8^2}=8\sqrt{26}$千米。
(3) 作线段CD的垂直平分线，交AB于点P，点P即为所求供应站的位置。
设$AP=x$千米，则$PB=(40-x)$千米，
$\because AD⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$，
在$Rt△ ADP$中，$PD^2=AP^2+AD^2=x^2+24^2$，
在$Rt△ BCP$中，$PC^2=PB^2+BC^2=(40-x)^2+16^2$，
$\because PC=PD$，
$\therefore x^2+24^2=(40-x)^2+16^2$，
展开整理得：$80x=1280$，
解得$x=16$。
答：AP的长为16千米。
(1) 梯形ABCD的面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，$△ EBC$的面积为$\frac{1}{2}ab$，四边形AECD的面积为$\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$，由三个图形的面积关系可得：
$\frac{1}{2}(a+b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
(2) 过点C作$CE⊥ AD$于点E，
$\because AD⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形ABCE是矩形，
$\therefore CE=AB=40$千米，$AE=BC=16$千米，
$\therefore DE=AD-AE=24-16=8$千米，
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{40^2+8^2}=8\sqrt{26}$千米。
(3) 作线段CD的垂直平分线，交AB于点P，点P即为所求供应站的位置。
设$AP=x$千米，则$PB=(40-x)$千米，
$\because AD⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$，
在$Rt△ ADP$中，$PD^2=AP^2+AD^2=x^2+24^2$，
在$Rt△ BCP$中，$PC^2=PB^2+BC^2=(40-x)^2+16^2$，
$\because PC=PD$，
$\therefore x^2+24^2=(40-x)^2+16^2$，
展开整理得：$80x=1280$，
解得$x=16$。
答：AP的长为16千米。
解析
【分析】
(1) 本问用面积法推导勾股定理，先分别计算梯形ABCD、△EBC、四边形AECD的面积，再根据“梯形ABCD的面积=四边形AECD的面积+△EBC的面积”列等式，化简即可得到勾股定理相关关系式。
(2) 求CD长度时，通过作辅助线构造直角三角形，将CD放在直角三角形中，结合矩形的性质求出直角边长，再用勾股定理计算即可。
(3) 根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”先确定点P的位置，再设AP的长度为未知数，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示PD²和PC²，根据PC=PD列方程求解即可。
【解析】
(1) 梯形ABCD的面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，$△ EBC$的面积为$\frac{1}{2}ab$，四边形AECD的面积为$\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$，根据三个图形的面积关系可得：
$\frac{1}{2}(a+b)^2 = \frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab$，整理得$\frac{1}{2}(a+b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$。
(2) 过点C作$CE⊥ AD$于点E，
$\because AD⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形ABCE是矩形，
$\therefore CE=AB=40$千米，$AE=BC=16$千米，
$\therefore DE=AD-AE=24-16=8$千米，
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{40^2+8^2}=8\sqrt{26}$千米。
(3) 作线段CD的垂直平分线，交AB于点P，点P即为所求供应站的位置。
设$AP=x$千米，则$PB=(40-x)$千米，
$\because AD⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$，
在$Rt△ ADP$中，$PD^2=AP^2+AD^2=x^2+24^2$，
在$Rt△ BCP$中，$PC^2=PB^2+BC^2=(40-x)^2+16^2$，
$\because PC=PD$，
$\therefore x^2+24^2=(40-x)^2+16^2$，
展开整理得：$80x=1280$，
解得$x=16$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}(a+b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
(2) $8\sqrt{26}$
(3) 点P位置见解析，AP的长为16千米。
【知识点】
勾股定理；面积法；方程思想
【点评】
本题围绕勾股定理的证明与实际应用设置问题，既考查了面积法推导勾股定理的思路，又结合实际场景考查了构造直角三角形、用方程思想求解几何问题的能力，综合性适中，能有效巩固勾股定理相关知识。
【难度系数】
0.7
(1) 本问用面积法推导勾股定理，先分别计算梯形ABCD、△EBC、四边形AECD的面积，再根据“梯形ABCD的面积=四边形AECD的面积+△EBC的面积”列等式，化简即可得到勾股定理相关关系式。
(2) 求CD长度时，通过作辅助线构造直角三角形，将CD放在直角三角形中，结合矩形的性质求出直角边长，再用勾股定理计算即可。
(3) 根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”先确定点P的位置，再设AP的长度为未知数，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示PD²和PC²，根据PC=PD列方程求解即可。
【解析】
(1) 梯形ABCD的面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$，$△ EBC$的面积为$\frac{1}{2}ab$，四边形AECD的面积为$\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab$，根据三个图形的面积关系可得：
$\frac{1}{2}(a+b)^2 = \frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab$，整理得$\frac{1}{2}(a+b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$。
(2) 过点C作$CE⊥ AD$于点E，
$\because AD⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形ABCE是矩形，
$\therefore CE=AB=40$千米，$AE=BC=16$千米，
$\therefore DE=AD-AE=24-16=8$千米，
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{40^2+8^2}=8\sqrt{26}$千米。
(3) 作线段CD的垂直平分线，交AB于点P，点P即为所求供应站的位置。
设$AP=x$千米，则$PB=(40-x)$千米，
$\because AD⊥ AB$，$BC⊥ AB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=90°$，
在$Rt△ ADP$中，$PD^2=AP^2+AD^2=x^2+24^2$，
在$Rt△ BCP$中，$PC^2=PB^2+BC^2=(40-x)^2+16^2$，
$\because PC=PD$，
$\therefore x^2+24^2=(40-x)^2+16^2$，
展开整理得：$80x=1280$，
解得$x=16$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}(a+b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$
(2) $8\sqrt{26}$
(3) 点P位置见解析，AP的长为16千米。
【知识点】
勾股定理；面积法；方程思想
【点评】
本题围绕勾股定理的证明与实际应用设置问题，既考查了面积法推导勾股定理的思路，又结合实际场景考查了构造直角三角形、用方程思想求解几何问题的能力，综合性适中，能有效巩固勾股定理相关知识。
【难度系数】
0.7
