【拓展思考】
某校数学兴趣小组开展了测量学校旗杆AB高度的实践活动，小组同学经过讨论设计了以下两种方案：
| | 方案一 | 方案二 |
| --- | --- | --- |
| 测量工具 | 含$45°$角的教学用直角三角板、足够长的皮尺 | 升旗用的绳子、足够长的皮尺 |
| 测量方案示意图 | | |
| 实施方案及测量数据 | 在阳光的照射下，旗杆AB落在围墙上的影子为DC，测得CD为1.2米，旗杆底部B处与围墙的距离BC为10.8米.利用直角三角板得到此时太阳光与水平地面的夹角恰好是$45°$ | 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得$BC=5\mathrm{m}$ |
| 备注 | ①图上所有点均在同一平面内；②旗杆半径忽略不计 | 实施过程中，旗杆顶端绳子保持不动 |
请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆AB的高度.

选择方案二计算：
解：设旗杆AB的高度为$x\ \mathrm{m}$，
由题意可知$AB⊥ BC$，斜拉直的绳子长度为$(x+1)\ \mathrm{m}$，即$AC=(x+1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$BC=5\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数据得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开化简：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
$2x=24$
解得$x=12$。
答：旗杆AB的高度为12米。

【分析】
我们选择方案二进行计算，解题思路如下：首先明确旗杆AB垂直于地面BC，因此△ABC是直角三角形。设旗杆高度为x m，根据“绳子从旗杆顶端垂落地面还多出1m”可知绳子长度即斜边AC为(x+1)m，已知另一条直角边BC=5m，可利用勾股定理列出关于x的一元一次方程，解方程即可得到旗杆高度。
【解析】
设旗杆AB的高度为$x\ \mathrm{m}$，
由题意可知$AB⊥ BC$，斜拉直的绳子长度为$(x+1)\ \mathrm{m}$，即$AC=(x+1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$BC=5\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数据得：
$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开化简：
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
$2x=24$
解得$x=12$。
【答案】
旗杆AB的高度为12米。
【知识点】
勾股定理的应用；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中的旗杆测量场景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是梳理清楚各线段的数量关系，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，通过建立方程即可快速求解，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8

1. 若$△ ABC$的三边分别是$a,b,c$,则下列条件能判断$△ ABC$是直角三角形的是()

A.$∠ A=∠ B=2∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
C.$a=4,b=5,c=6$
D.$a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2(m＞n＞0)$

D

【分析】
判断△ABC是否为直角三角形有两种核心思路：一是角度判断，利用三角形内角和为180°，计算最大内角是否为90°；二是边长判断，利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们可逐个对选项进行验证，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知∠A=∠B=2∠C，结合三角形内角和为180°，代入得2∠C+2∠C+∠C=180°，解得∠C=36°，则∠A=∠B=72°，最大内角为72°，不是直角，故A错误。
B选项：∠A:∠B:∠C=3:4:5，总份数为3+4+5=12，每份对应角度为180°÷12=15°，最大角∠C=5×15°=75°，不是直角，故B错误。
C选项：边长a=4，b=5，c=6，最长边为c=6，计算得a²+b²=4²+5²=16+25=41，c²=6²=36，41≠36，不满足勾股定理的逆定理，故C错误。
D选项：已知m＞n＞0，故最长边为c=m²+n²，计算得：
a²+b²=(m²-n²)²+(2mn)²=m⁴-2m²n²+n⁴+4m²n²=m⁴+2m²n²+n⁴
c²=(m²+n²)²=m⁴+2m²n²+n⁴
因此a²+b²=c²，满足勾股定理的逆定理，可判定△ABC是直角三角形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，既可以从内角角度分析，也可以通过边长的平方关系验证，解题时要注意先确定最长边再验证勾股逆定理，整式运算时要注意完全平方公式的正确使用。
【难度系数】
0.75

2. 如图1所示,一段楼梯,高BC为3 m,且AB为5 m,现要在楼梯台阶上铺地毯,至少需要()

A.4 m
B.3 m
C.7 m
D.5 m

C

【分析】
要计算铺地毯的最小长度，首先明确地毯的长度等于所有台阶的竖直高度总和加水平宽度总和。通过平移可知，竖直高度总和就是楼梯的高BC，水平宽度总和就是楼梯的水平边长AC，因此只需要先求出AC的长度，再将AC与BC相加即可。已知△ABC是直角三角形，已知斜边AB和直角边BC，可通过勾股定理计算AC的长度。
【解析】
解：由图可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，
根据勾股定理：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入BC=3m，AB=5m，得：
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$，
因此$AC=4\mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
根据平移的性质，所有台阶的竖直高度之和等于BC的长度3m，所有台阶的水平宽度之和等于AC的长度4m，
因此所需地毯的最小长度为$3 + 4 = 7\mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；平移的应用；实际问题转化
【点评】
本题将生活场景转化为几何计算问题，解题关键是利用平移思想将零散的线段和转化为直角三角形两条直角边的和，再结合勾股定理求解，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7