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三、解答题
1. 如图7,在长方形ABCD中,AB = 5 cm,在CD上适当选定一点E,沿直线AE把△ADE折叠,使点D恰好落在边BC上的点F处,且△ABF的面积是30 cm².
(1)求BF的长;
(2)求AD的长;
(3)求ED的长.
1. 如图7,在长方形ABCD中,AB = 5 cm,在CD上适当选定一点E,沿直线AE把△ADE折叠,使点D恰好落在边BC上的点F处,且△ABF的面积是30 cm².
(1)求BF的长;
(2)求AD的长;
(3)求ED的长.
答案
解：
(1) ∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠B = 90°。
∵ $S_{△ ABF} = \frac{1}{2} · AB · BF = 30\ \mathrm{cm}^2$，$AB = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $\frac{1}{2} × 5 × BF = 30$，
解得 $BF = 12\ \mathrm{cm}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF^2 = AB^2 + BF^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，
∴ $AF = 13\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质可知 $AD = AF$，
∴ $AD = 13\ \mathrm{cm}$。
(3) 设 $ED = x\ \mathrm{cm}$，
由折叠的性质得 $EF = ED = x\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $CD = AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = AD = 13\ \mathrm{cm}$，$∠ C = 90°$，
∴ $EC = (5 - x)\ \mathrm{cm}$，$FC = BC - BF = 13 - 12 = 1\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得：
$EC^2 + FC^2 = EF^2$，
即 $(5 - x)^2 + 1^2 = x^2$，
$25 - 10x + x^2 + 1 = x^2$，
解得 $x = \frac{13}{5} = 2.6\ \mathrm{cm}$。
答：(1) BF的长为12 cm；(2) AD的长为13 cm；(3) ED的长为2.6 cm。
(1) ∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠B = 90°。
∵ $S_{△ ABF} = \frac{1}{2} · AB · BF = 30\ \mathrm{cm}^2$，$AB = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $\frac{1}{2} × 5 × BF = 30$，
解得 $BF = 12\ \mathrm{cm}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF^2 = AB^2 + BF^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，
∴ $AF = 13\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质可知 $AD = AF$，
∴ $AD = 13\ \mathrm{cm}$。
(3) 设 $ED = x\ \mathrm{cm}$，
由折叠的性质得 $EF = ED = x\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $CD = AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = AD = 13\ \mathrm{cm}$，$∠ C = 90°$，
∴ $EC = (5 - x)\ \mathrm{cm}$，$FC = BC - BF = 13 - 12 = 1\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得：
$EC^2 + FC^2 = EF^2$，
即 $(5 - x)^2 + 1^2 = x^2$，
$25 - 10x + x^2 + 1 = x^2$，
解得 $x = \frac{13}{5} = 2.6\ \mathrm{cm}$。
答：(1) BF的长为12 cm；(2) AD的长为13 cm；(3) ED的长为2.6 cm。
解析
【分析】
1. 求BF的长：长方形的内角为直角，可知△ABF是直角三角形，已知△ABF的面积和直角边AB的长度，直接代入直角三角形面积公式即可求出BF的长度。
2. 求AD的长：先在Rt△ABF中用勾股定理求出斜边AF的长度，再根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，即AD=AF，即可得到AD的长度。
3. 求ED的长：设ED的长度为x，由折叠性质可得EF=ED=x，先根据长方形的边长关系求出EC、FC的长度，再在Rt△EFC中利用勾股定理列关于x的一元一次方程，解方程即可求出ED的长度。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠B = 90°。
∵ $S_{△ ABF} = \frac{1}{2} · AB · BF = 30\ \mathrm{cm}^2$，$AB = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $\frac{1}{2} × 5 × BF = 30$，
解得 $BF = 12\ \mathrm{cm}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF^2 = AB^2 + BF^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，
∴ $AF = 13\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质可知 $AD = AF$，
∴ $AD = 13\ \mathrm{cm}$。
(3) 设 $ED = x\ \mathrm{cm}$，
由折叠的性质得 $EF = ED = x\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $CD = AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = AD = 13\ \mathrm{cm}$，$∠ C = 90°$，
∴ $EC = (5 - x)\ \mathrm{cm}$，$FC = BC - BF = 13 - 12 = 1\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得：
$EC^2 + FC^2 = EF^2$，
即 $(5 - x)^2 + 1^2 = x^2$，
$25 - 10x + x^2 + 1 = x^2$，
解得 $x = \frac{13}{5} = 2.6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) BF的长为12 cm；(2) AD的长为13 cm；(3) ED的长为2.6 cm。
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何基础计算类题目，将长方形、折叠的对称性和勾股定理的知识点结合，既考查了直角三角形面积、边长的基础计算，也考查了方程思想在几何求解中的应用，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，合理选用直角三角形运用勾股定理计算。
【难度系数】
0.7
1. 求BF的长：长方形的内角为直角，可知△ABF是直角三角形，已知△ABF的面积和直角边AB的长度，直接代入直角三角形面积公式即可求出BF的长度。
2. 求AD的长：先在Rt△ABF中用勾股定理求出斜边AF的长度，再根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，即AD=AF，即可得到AD的长度。
3. 求ED的长：设ED的长度为x，由折叠性质可得EF=ED=x，先根据长方形的边长关系求出EC、FC的长度，再在Rt△EFC中利用勾股定理列关于x的一元一次方程，解方程即可求出ED的长度。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠B = 90°。
∵ $S_{△ ABF} = \frac{1}{2} · AB · BF = 30\ \mathrm{cm}^2$，$AB = 5\ \mathrm{cm}$，
∴ $\frac{1}{2} × 5 × BF = 30$，
解得 $BF = 12\ \mathrm{cm}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF^2 = AB^2 + BF^2 = 5^2 + 12^2 = 169$，
∴ $AF = 13\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质可知 $AD = AF$，
∴ $AD = 13\ \mathrm{cm}$。
(3) 设 $ED = x\ \mathrm{cm}$，
由折叠的性质得 $EF = ED = x\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $CD = AB = 5\ \mathrm{cm}$，$BC = AD = 13\ \mathrm{cm}$，$∠ C = 90°$，
∴ $EC = (5 - x)\ \mathrm{cm}$，$FC = BC - BF = 13 - 12 = 1\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得：
$EC^2 + FC^2 = EF^2$，
即 $(5 - x)^2 + 1^2 = x^2$，
$25 - 10x + x^2 + 1 = x^2$，
解得 $x = \frac{13}{5} = 2.6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) BF的长为12 cm；(2) AD的长为13 cm；(3) ED的长为2.6 cm。
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何基础计算类题目，将长方形、折叠的对称性和勾股定理的知识点结合，既考查了直角三角形面积、边长的基础计算，也考查了方程思想在几何求解中的应用，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，合理选用直角三角形运用勾股定理计算。
【难度系数】
0.7
2. 如图8是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处.若∠AOC=90°，点A与点B的高度差AD=1米，水平距离BD=4米，求点C与点B的高度差CE的长度.
图8
图8答案
解：
过点A作AF⊥OB于点F，过点C作CG⊥OB于点G。
∵ AD⊥DE，OB⊥DE，
∴ 四边形ADBF是矩形，
∴ AF=BD=4米，BF=AD=1米。
设OA=OB=x米，则OF=OB-BF=(x-1)米。
在Rt△AOF中，由勾股定理得：
$AF^2 + OF^2 = OA^2$
即 $4^2 + (x-1)^2 = x^2$，
解得 $x=8.5$，即 $OA=OB=8.5$ 米。
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠AOF + ∠COG=90°，
又∵ ∠AOF + ∠OAF=90°，
∴ ∠OAF=∠COG。
在△AOF和△OCG中：
$\begin{cases}∠AFO=∠OGC=90° \\∠OAF=∠COG \\OA=OC\end{cases}$
∴ △AOF ≌ △OCG（AAS），
∴ OG=AF=4米。
∵ CE⊥DE，OB⊥DE，
∴ 四边形CEBG是矩形，
∴ CE=BG=OB - OG=8.5 - 4=4.5米。
答：点C与点B的高度差CE的长度为4.5米。
过点A作AF⊥OB于点F，过点C作CG⊥OB于点G。
∵ AD⊥DE，OB⊥DE，
∴ 四边形ADBF是矩形，
∴ AF=BD=4米，BF=AD=1米。
设OA=OB=x米，则OF=OB-BF=(x-1)米。
在Rt△AOF中，由勾股定理得：
$AF^2 + OF^2 = OA^2$
即 $4^2 + (x-1)^2 = x^2$，
解得 $x=8.5$，即 $OA=OB=8.5$ 米。
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠AOF + ∠COG=90°，
又∵ ∠AOF + ∠OAF=90°，
∴ ∠OAF=∠COG。
在△AOF和△OCG中：
$\begin{cases}∠AFO=∠OGC=90° \\∠OAF=∠COG \\OA=OC\end{cases}$
∴ △AOF ≌ △OCG（AAS），
∴ OG=AF=4米。
∵ CE⊥DE，OB⊥DE，
∴ 四边形CEBG是矩形，
∴ CE=BG=OB - OG=8.5 - 4=4.5米。
答：点C与点B的高度差CE的长度为4.5米。
解析
【分析】
解题的隐含条件是秋千摆长不变，即$OA=OB=OC$，可按三步推导：第一步，作辅助线$AF⊥OB$，借助矩形性质得到$AF$、$BF$的长度，设摆长为$x$，利用勾股定理列方程求出摆长；第二步，根据$∠AOC=90°$推导角的等量关系，证明$△ AOF$和$△ OCG$全等，得到$OG$的长度；第三步，利用矩形$CEBG$的性质，可知$CE=BG=OB-OG$，代入数值计算即可得结果。
【解析】
过点$A$作$AF⊥OB$于点$F$，过点$C$作$CG⊥OB$于点$G$。
∵ $AD⊥DE$，$OB⊥DE$，
∴ 四边形$ADBF$是矩形，
∴ $AF=BD=4$米，$BF=AD=1$米。
设$OA=OB=x$米，则$OF=OB-BF=(x-1)$米。
在$Rt△ AOF$中，由勾股定理得：
$AF^2 + OF^2 = OA^2$
即 $4^2 + (x-1)^2 = x^2$，
解得 $x=8.5$，即 $OA=OB=8.5$ 米。
∵ $∠AOC=90°$，
∴ $∠AOF + ∠COG=90°$，
又
∵ $∠AOF + ∠OAF=90°$，
∴ $∠OAF=∠COG$。
在$△ AOF$和$△ OCG$中：
$\begin{cases}∠AFO=∠OGC=90° \\∠OAF=∠COG \\OA=OC\end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ OCG$（AAS），
∴ $OG=AF=4$米。
∵ $CE⊥DE$，$OB⊥DE$，
∴ 四边形$CEBG$是矩形，
∴ $CE=BG=OB - OG=8.5 - 4=4.5$米。
【答案】
4.5米
【知识点】
勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质、矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的综合应用，解题核心是挖掘“秋千摆长不变”的隐含条件，通过作辅助线构造直角三角形和全等三角形建立等量关系，能有效锻炼学生的几何建模和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题的隐含条件是秋千摆长不变，即$OA=OB=OC$，可按三步推导：第一步，作辅助线$AF⊥OB$，借助矩形性质得到$AF$、$BF$的长度，设摆长为$x$，利用勾股定理列方程求出摆长；第二步，根据$∠AOC=90°$推导角的等量关系，证明$△ AOF$和$△ OCG$全等，得到$OG$的长度；第三步，利用矩形$CEBG$的性质，可知$CE=BG=OB-OG$，代入数值计算即可得结果。
【解析】
过点$A$作$AF⊥OB$于点$F$，过点$C$作$CG⊥OB$于点$G$。
∵ $AD⊥DE$，$OB⊥DE$，
∴ 四边形$ADBF$是矩形，
∴ $AF=BD=4$米，$BF=AD=1$米。
设$OA=OB=x$米，则$OF=OB-BF=(x-1)$米。
在$Rt△ AOF$中，由勾股定理得：
$AF^2 + OF^2 = OA^2$
即 $4^2 + (x-1)^2 = x^2$，
解得 $x=8.5$，即 $OA=OB=8.5$ 米。
∵ $∠AOC=90°$，
∴ $∠AOF + ∠COG=90°$，
又
∵ $∠AOF + ∠OAF=90°$，
∴ $∠OAF=∠COG$。
在$△ AOF$和$△ OCG$中：
$\begin{cases}∠AFO=∠OGC=90° \\∠OAF=∠COG \\OA=OC\end{cases}$
∴ $△ AOF ≌ △ OCG$（AAS），
∴ $OG=AF=4$米。
∵ $CE⊥DE$，$OB⊥DE$，
∴ 四边形$CEBG$是矩形，
∴ $CE=BG=OB - OG=8.5 - 4=4.5$米。
【答案】
4.5米
【知识点】
勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质、矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的综合应用，解题核心是挖掘“秋千摆长不变”的隐含条件，通过作辅助线构造直角三角形和全等三角形建立等量关系，能有效锻炼学生的几何建模和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
