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一、选择题
1. 如图
，分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为$ S_1 $，右边阴影部分的面积和为$ S_2 $，则()
A.$ S_1 = S_2 $
B.$ S_1 ＜ S_2 $
C.$ S_1 ＞ S_2 $
D.无法确定
1. 如图
，分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为$ S_1 $，右边阴影部分的面积和为$ S_2 $，则()A.$ S_1 = S_2 $
B.$ S_1 ＜ S_2 $
C.$ S_1 ＞ S_2 $
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要比较S₁和S₂的大小，我们可以先将两个阴影面积用直角三角形的边长表示：首先回忆半圆的面积公式，设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，先分别写出以三边为直径的半圆面积；再观察图形特征，发现S₁、S₂都可以表示为对应半圆面积减去公共空白部分的面积，最后结合勾股定理a²+b²=c²比较两者的大小即可。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c。
根据半圆面积公式：半圆面积 = $\frac{1}{2}πr^2$（r为半径），可得：
以直角边a为直径的半圆面积：$S_a=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{πa^2}{8}$
以直角边b为直径的半圆面积：$S_b=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{πb^2}{8}$
以斜边c为直径的半圆面积：$S_c=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{πc^2}{8}$
观察图形可知：
$S_1 = S_c - S_{空白}$（$S_{空白}$为图形中公共的空白部分面积）
$S_2 = S_a + S_b - S_{空白}$
根据勾股定理，直角三角形中$a^2 + b^2 = c^2$，因此：
$S_a + S_b = \frac{π(a^2 + b^2)}{8} = \frac{πc^2}{8} = S_c$
将该关系代入S₁和S₂的表达式，可得：$S_c - S_{空白} = S_a + S_b - S_{空白}$，即$S_1 = S_2$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，半圆面积计算，面积和差计算
【点评】
本题是勾股定理应用的经典题型，解题的核心是利用转化思想，将阴影面积转化为半圆面积与公共空白面积的差，避免了复杂的图形拆分计算，只需结合勾股定理即可快速判断面积大小关系。
【难度系数】
0.7
要比较S₁和S₂的大小，我们可以先将两个阴影面积用直角三角形的边长表示：首先回忆半圆的面积公式，设直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，先分别写出以三边为直径的半圆面积；再观察图形特征，发现S₁、S₂都可以表示为对应半圆面积减去公共空白部分的面积，最后结合勾股定理a²+b²=c²比较两者的大小即可。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c。
根据半圆面积公式：半圆面积 = $\frac{1}{2}πr^2$（r为半径），可得：
以直角边a为直径的半圆面积：$S_a=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{πa^2}{8}$
以直角边b为直径的半圆面积：$S_b=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{πb^2}{8}$
以斜边c为直径的半圆面积：$S_c=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{πc^2}{8}$
观察图形可知：
$S_1 = S_c - S_{空白}$（$S_{空白}$为图形中公共的空白部分面积）
$S_2 = S_a + S_b - S_{空白}$
根据勾股定理，直角三角形中$a^2 + b^2 = c^2$，因此：
$S_a + S_b = \frac{π(a^2 + b^2)}{8} = \frac{πc^2}{8} = S_c$
将该关系代入S₁和S₂的表达式，可得：$S_c - S_{空白} = S_a + S_b - S_{空白}$，即$S_1 = S_2$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，半圆面积计算，面积和差计算
【点评】
本题是勾股定理应用的经典题型，解题的核心是利用转化思想，将阴影面积转化为半圆面积与公共空白面积的差，避免了复杂的图形拆分计算，只需结合勾股定理即可快速判断面积大小关系。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD面积的比是()
A.3:4
B.1:2
C.9:6
D.5:8
A.3:4
B.1:2
C.9:6
D.5:8
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们只需要分别求出阴影部分和正方形ABCD的面积，再作比化简即可。首先我们可以设每个小正方形的边长为1，先计算大正方形ABCD的面积，它的边长很容易从网格中得到。再计算阴影部分的面积：阴影是正方形，我们可以利用刚学的勾股定理求它的边长，进而得到面积；也可以用割补法，用大正方形面积减去周围4个直角三角形的面积得到阴影面积，最后将两个面积作比就能得出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算正方形ABCD的面积：
正方形ABCD的边长为4，因此面积 $ S_{ABCD} = 4 × 4 = 16 $。
2. 计算阴影部分的面积：
阴影部分为正方形，它的边长是直角边分别为1、3的直角三角形的斜边长，根据勾股定理可得，阴影正方形边长的平方为 $ 1^2 + 3^2 = 10 $。
因为正方形的面积等于边长的平方，所以阴影部分面积 $ S_{阴影}=10 $。
3. 计算面积比：
$ S_{阴影}:S_{ABCD}=10:16=5:8 $。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用，正方形面积计算，网格图形面积求解
【点评】
本题结合网格背景考查面积比的计算，解题方法灵活，既可以用割补法也可以用勾股定理求解，能很好地锻炼学生的数形结合思维和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们只需要分别求出阴影部分和正方形ABCD的面积，再作比化简即可。首先我们可以设每个小正方形的边长为1，先计算大正方形ABCD的面积，它的边长很容易从网格中得到。再计算阴影部分的面积：阴影是正方形，我们可以利用刚学的勾股定理求它的边长，进而得到面积；也可以用割补法，用大正方形面积减去周围4个直角三角形的面积得到阴影面积，最后将两个面积作比就能得出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算正方形ABCD的面积：
正方形ABCD的边长为4，因此面积 $ S_{ABCD} = 4 × 4 = 16 $。
2. 计算阴影部分的面积：
阴影部分为正方形，它的边长是直角边分别为1、3的直角三角形的斜边长，根据勾股定理可得，阴影正方形边长的平方为 $ 1^2 + 3^2 = 10 $。
因为正方形的面积等于边长的平方，所以阴影部分面积 $ S_{阴影}=10 $。
3. 计算面积比：
$ S_{阴影}:S_{ABCD}=10:16=5:8 $。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用，正方形面积计算，网格图形面积求解
【点评】
本题结合网格背景考查面积比的计算，解题方法灵活，既可以用割补法也可以用勾股定理求解，能很好地锻炼学生的数形结合思维和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
3*. 如图3,图①是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图②,则图②中大正方形的面积为()
A.24
B.36
C.40
D.44
A.24
B.36
C.40
D.44
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确两个拼接图形的边长与直角三角形三边的关系，可设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c。首先根据图①的大、小正方形面积，分别得到c²的值和(b-a)²的值；再结合勾股定理得到a²+b²=c²，将(b-a)²展开后代入a²+b²的值，求出2ab的值；最后图②的大正方形边长为a+b，其面积为(a+b)²，展开后代入a²+b²和2ab的值即可求出结果，全程用整体代入的方法不需要单独求a、b的具体值，简化计算。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为a、b（a＜b），斜边长为c。
1. 由图①可知：大正方形的边长等于直角三角形的斜边长，因此$c^2=24$；小正方形的边长为长直角边减短直角边，因此小正方形面积$(b-a)^2=4$。
2. 根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2=24$。
3. 将$(b-a)^2=4$展开得：$a^2+b^2-2ab=4$，把$a^2+b^2=24$代入上式，得$24-2ab=4$，解得$2ab=20$。
4. 图②中大正方形的边长为两条直角边的和$a+b$，因此其面积为$(a+b)^2$，展开得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，代入$a^2+b^2=24$、$2ab=20$，得$(a+b)^2=24+20=44$。
【答案】
D
【知识点】
1.勾股定理 2.完全平方公式 3.面积计算
【点评】
本题结合古代弦图考查几何图形拼接与代数公式的结合应用，解题关键是找准不同拼接方式下正方形边长与直角三角形边长的对应关系，利用整体代入思想计算可避免复杂运算，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时先明确两个拼接图形的边长与直角三角形三边的关系，可设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c。首先根据图①的大、小正方形面积，分别得到c²的值和(b-a)²的值；再结合勾股定理得到a²+b²=c²，将(b-a)²展开后代入a²+b²的值，求出2ab的值；最后图②的大正方形边长为a+b，其面积为(a+b)²，展开后代入a²+b²和2ab的值即可求出结果，全程用整体代入的方法不需要单独求a、b的具体值，简化计算。
【解析】
设直角三角形的两条直角边长分别为a、b（a＜b），斜边长为c。
1. 由图①可知：大正方形的边长等于直角三角形的斜边长，因此$c^2=24$；小正方形的边长为长直角边减短直角边，因此小正方形面积$(b-a)^2=4$。
2. 根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2=24$。
3. 将$(b-a)^2=4$展开得：$a^2+b^2-2ab=4$，把$a^2+b^2=24$代入上式，得$24-2ab=4$，解得$2ab=20$。
4. 图②中大正方形的边长为两条直角边的和$a+b$，因此其面积为$(a+b)^2$，展开得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，代入$a^2+b^2=24$、$2ab=20$，得$(a+b)^2=24+20=44$。
【答案】
D
【知识点】
1.勾股定理 2.完全平方公式 3.面积计算
【点评】
本题结合古代弦图考查几何图形拼接与代数公式的结合应用，解题关键是找准不同拼接方式下正方形边长与直角三角形边长的对应关系，利用整体代入思想计算可避免复杂运算，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
1. 如图4-1,在跳绳时,小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长:双脚踩住绳子的中央,手肘靠近身体,两肘弯曲$90°$,小臂水平转向两侧,两手将绳拉直,绳长即合适长度. 将图4-1抽象成图4-2,若两手握住的绳柄两端的距离约为1米,小臂到地面的距离约为1.2米,则适合小红的绳长为米.
答案
解：由题意，被脚踩住的绳子中点到任意一只手的线段为直角三角形的斜边，该直角三角形两条直角边的长度分别为：
水平直角边长：$\frac{1}{2} × 1 = 0.5$ 米，
竖直直角边长：1.2 米。
根据勾股定理，该斜边长度为：
$\sqrt{0.5^2 + 1.2^2} = \sqrt{0.25 + 1.44} = \sqrt{1.69} = 1.3$ 米。
总绳长为两段该斜边长度之和：$2 × 1.3 = 2.6$ 米。
答：适合小红的绳长为2.6米。
水平直角边长：$\frac{1}{2} × 1 = 0.5$ 米，
竖直直角边长：1.2 米。
根据勾股定理，该斜边长度为：
$\sqrt{0.5^2 + 1.2^2} = \sqrt{0.25 + 1.44} = \sqrt{1.69} = 1.3$ 米。
总绳长为两段该斜边长度之和：$2 × 1.3 = 2.6$ 米。
答：适合小红的绳长为2.6米。
解析
【分析】
我们可以将这个实际问题转化为直角三角形的计算问题：首先绳子中点被双脚踩住，因此总绳长等于2倍的绳子中点到单只手的距离。绳子中点到单只手的线段是直角三角形的斜边，两条直角边分别为：①两手距离的一半，即水平方向长度，两手相距1米，所以半长为0.5米；②小臂到地面的竖直高度1.2米。接下来用勾股定理求出单段斜边的长度，再乘2即可得到总绳长。
【解析】
解：由题意得，绳子中点到任意一只手的线段为直角三角形的斜边，该直角三角形两条直角边的长度分别为：
水平直角边长：$\frac{1}{2} × 1 = 0.5$ 米，
竖直直角边长：1.2 米。
根据勾股定理，该斜边长度为：
$\sqrt{0.5^2 + 1.2^2} = \sqrt{0.25 + 1.44} = \sqrt{1.69} = 1.3$ 米。
总绳长为两段该斜边长度之和：$2 × 1.3 = 2.6$ 米。
【答案】
2.6
【知识点】
勾股定理、勾股定理的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查数学知识的应用，解题关键是将实际问题抽象为直角三角形模型，准确找到直角边的长度后用勾股定理计算即可，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.8
我们可以将这个实际问题转化为直角三角形的计算问题：首先绳子中点被双脚踩住，因此总绳长等于2倍的绳子中点到单只手的距离。绳子中点到单只手的线段是直角三角形的斜边，两条直角边分别为：①两手距离的一半，即水平方向长度，两手相距1米，所以半长为0.5米；②小臂到地面的竖直高度1.2米。接下来用勾股定理求出单段斜边的长度，再乘2即可得到总绳长。
【解析】
解：由题意得，绳子中点到任意一只手的线段为直角三角形的斜边，该直角三角形两条直角边的长度分别为：
水平直角边长：$\frac{1}{2} × 1 = 0.5$ 米，
竖直直角边长：1.2 米。
根据勾股定理，该斜边长度为：
$\sqrt{0.5^2 + 1.2^2} = \sqrt{0.25 + 1.44} = \sqrt{1.69} = 1.3$ 米。
总绳长为两段该斜边长度之和：$2 × 1.3 = 2.6$ 米。
【答案】
2.6
【知识点】
勾股定理、勾股定理的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查数学知识的应用，解题关键是将实际问题抽象为直角三角形模型，准确找到直角边的长度后用勾股定理计算即可，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.8
2.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图5所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面尺高.
图4-1
图4-2
图4-1
图4-2
答案
解：设折断处离地面的高度为$x$尺，则折断部分的长度为$(10-x)$尺。
根据题意，竖直的竹干部分、地面上竹根到竹梢的距离、折断的竹梢部分构成直角三角形，由勾股定理得：
$x^2 + 3^2 = (10-x)^2$
展开等式右边：
$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
消去$x^2$后整理得：
$20x = 91$
解得：
$x = 4.55$
答：折断处离地面$\boldsymbol{4.55}$尺高。
根据题意，竖直的竹干部分、地面上竹根到竹梢的距离、折断的竹梢部分构成直角三角形，由勾股定理得：
$x^2 + 3^2 = (10-x)^2$
展开等式右边：
$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
消去$x^2$后整理得：
$20x = 91$
解得：
$x = 4.55$
答：折断处离地面$\boldsymbol{4.55}$尺高。
解析
【分析】解决这道题首先要将实际问题转化为几何模型：竹子折断后，未折断的竖直部分、地面上竹根到竹梢的水平距离、折断的竹梢部分恰好构成直角三角形，且未折断部分与水平距离为两条直角边，折断部分为斜边。已知竹子总高为10尺，水平距离为3尺，我们可以设折断处离地面高度为$x$尺，即可表示出折断部分的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：设折断处离地面的高度为$x$尺，则折断部分的长度为$(10-x)$尺。
根据题意，竖直的竹干部分、地面上竹根到竹梢的距离、折断的竹梢部分构成直角三角形，由勾股定理得：
$x^2 + 3^2 = (10-x)^2$
展开等式右边：
$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
消去$x^2$后整理得：
$20x = 91$
解得：
$x = 4.55$
【答案】
$\boldsymbol{4.55}$
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是中国古代经典数学名题，核心考查将实际问题转化为直角三角形模型的能力，结合勾股定理建立方程即可求解，也能让学生体会中国传统数学的智慧。
【难度系数】
0.7
【解析】
解：设折断处离地面的高度为$x$尺，则折断部分的长度为$(10-x)$尺。
根据题意，竖直的竹干部分、地面上竹根到竹梢的距离、折断的竹梢部分构成直角三角形，由勾股定理得：
$x^2 + 3^2 = (10-x)^2$
展开等式右边：
$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
消去$x^2$后整理得：
$20x = 91$
解得：
$x = 4.55$
【答案】
$\boldsymbol{4.55}$
【知识点】
勾股定理的应用；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是中国古代经典数学名题，核心考查将实际问题转化为直角三角形模型的能力，结合勾股定理建立方程即可求解，也能让学生体会中国传统数学的智慧。
【难度系数】
0.7
3. 如图6，在$△ ABC$中，$BC=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，$∠ C=45°$，$AB=\sqrt{2}AC$，则$AC$的长为.
答案
解：过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
$\because ∠ C=45°$，$∠ ADC=90°$，
$\therefore △ ADC$是等腰直角三角形。
设$AC=x$，则$AD=AC·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}x$，$CD=AC·\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
由题意得$AB=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}x$，
$BD=BC-CD=(\sqrt{6}+\sqrt{2})-\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
代入各表达式：
$(\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 + (\sqrt{6}+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 = (\sqrt{2}x)^2$
展开化简：
$\frac{1}{2}x^2 + 8 + 4\sqrt{3} - (2\sqrt{3}+2)x + \frac{1}{2}x^2 = 2x^2$
整理得：
$x^2 + (2\sqrt{3}+2)x - (8+4\sqrt{3})=0$
解得正根$x=2$，负根舍去。
答：$AC$的长为$\boldsymbol{2}$。
$\because ∠ C=45°$，$∠ ADC=90°$，
$\therefore △ ADC$是等腰直角三角形。
设$AC=x$，则$AD=AC·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}x$，$CD=AC·\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
由题意得$AB=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}x$，
$BD=BC-CD=(\sqrt{6}+\sqrt{2})-\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
代入各表达式：
$(\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 + (\sqrt{6}+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 = (\sqrt{2}x)^2$
展开化简：
$\frac{1}{2}x^2 + 8 + 4\sqrt{3} - (2\sqrt{3}+2)x + \frac{1}{2}x^2 = 2x^2$
整理得：
$x^2 + (2\sqrt{3}+2)x - (8+4\sqrt{3})=0$
解得正根$x=2$，负根舍去。
答：$AC$的长为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
题目给出了△ABC中∠C=45°、AB与AC的倍数关系及BC的长度，要求AC的长。解题思路如下：首先通过作高把斜三角形转化为直角三角形，过点A作AD⊥BC于D，此时△ADC为等腰直角三角形；再设AC的长为x，利用等腰直角三角形的三边关系，用含x的式子分别表示AD、CD、AB、BD的长度；最后在Rt△ABD中根据勾股定理列方程求解，结合边长为正的要求舍去负根即可得到结果。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
$\because ∠ C=45°$，$∠ ADC=90°$，
$\therefore △ ADC$是等腰直角三角形，$AD=CD$。
设$AC=x$，在$Rt△ADC$中由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，即$2AD^2=x^2$，因此$AD=CD=\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
由题意得$AB=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}x$，
$BD=BC-CD=(\sqrt{6}+\sqrt{2})-\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
代入各表达式：
$(\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 + (\sqrt{6}+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 = (\sqrt{2}x)^2$
展开化简：
$\frac{1}{2}x^2 + 8 + 4\sqrt{3} - (2\sqrt{3}+2)x + \frac{1}{2}x^2 = 2x^2$
整理得：
$x^2 + (2\sqrt{3}+2)x - (8+4\sqrt{3})=0$
解得正根$x=2$，负根不符合边长为正的实际意义，舍去。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；方程法解几何问题
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，核心是通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，结合特殊角的性质建立边的关系，再利用勾股定理列方程求解，解题时要注意对解的合理性进行检验。
【难度系数】
0.6
题目给出了△ABC中∠C=45°、AB与AC的倍数关系及BC的长度，要求AC的长。解题思路如下：首先通过作高把斜三角形转化为直角三角形，过点A作AD⊥BC于D，此时△ADC为等腰直角三角形；再设AC的长为x，利用等腰直角三角形的三边关系，用含x的式子分别表示AD、CD、AB、BD的长度；最后在Rt△ABD中根据勾股定理列方程求解，结合边长为正的要求舍去负根即可得到结果。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
$\because ∠ C=45°$，$∠ ADC=90°$，
$\therefore △ ADC$是等腰直角三角形，$AD=CD$。
设$AC=x$，在$Rt△ADC$中由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，即$2AD^2=x^2$，因此$AD=CD=\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
由题意得$AB=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}x$，
$BD=BC-CD=(\sqrt{6}+\sqrt{2})-\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$
代入各表达式：
$(\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 + (\sqrt{6}+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2 = (\sqrt{2}x)^2$
展开化简：
$\frac{1}{2}x^2 + 8 + 4\sqrt{3} - (2\sqrt{3}+2)x + \frac{1}{2}x^2 = 2x^2$
整理得：
$x^2 + (2\sqrt{3}+2)x - (8+4\sqrt{3})=0$
解得正根$x=2$，负根不符合边长为正的实际意义，舍去。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；方程法解几何问题
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，核心是通过作辅助线将非直角三角形转化为直角三角形，结合特殊角的性质建立边的关系，再利用勾股定理列方程求解，解题时要注意对解的合理性进行检验。
【难度系数】
0.6
