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三、用反证法证明下列命题
1. 反证法是数学证明的一种重要方法. 请将下面运用反证法进行证明的过程补全.
已知:在$△ ABC$中,$AB=AC$. 求证:$∠ C＜90°$.
证明:假设.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C≥90°$,
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$,
这与,
$\therefore$不成立,
$\therefore ∠ C＜90°$.
2. 如果两个整数的积是偶数,那么这两个整数中至少有一个是偶数.
1. 反证法是数学证明的一种重要方法. 请将下面运用反证法进行证明的过程补全.
已知:在$△ ABC$中,$AB=AC$. 求证:$∠ C＜90°$.
证明:假设.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C≥90°$,
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$,
这与,
$\therefore$不成立,
$\therefore ∠ C＜90°$.
2. 如果两个整数的积是偶数,那么这两个整数中至少有一个是偶数.
答案
1. 补全证明过程
证明:假设$\boldsymbol{∠ C ≥ 90°}$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C ≥ 90°$,
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$,
这与$\boldsymbol{三角形的内角和等于180°矛盾}$,
$\therefore \boldsymbol{假设}$不成立,
$\therefore ∠ C＜90°$.
---
2. 命题证明
证明：假设这两个整数都不是偶数，即这两个整数均为奇数。
设这两个整数分别为$a$、$b$，取整数$m$、$n$使得$a=2m+1$，$b=2n+1$，
则$ab=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1$，
可知$ab$是奇数，这与已知“两个整数的积是偶数”矛盾。
$\therefore$ 假设不成立，
$\therefore$ 如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数。
证明:假设$\boldsymbol{∠ C ≥ 90°}$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C ≥ 90°$,
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$,
这与$\boldsymbol{三角形的内角和等于180°矛盾}$,
$\therefore \boldsymbol{假设}$不成立,
$\therefore ∠ C＜90°$.
---
2. 命题证明
证明：假设这两个整数都不是偶数，即这两个整数均为奇数。
设这两个整数分别为$a$、$b$，取整数$m$、$n$使得$a=2m+1$，$b=2n+1$，
则$ab=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1$，
可知$ab$是奇数，这与已知“两个整数的积是偶数”矛盾。
$\therefore$ 假设不成立，
$\therefore$ 如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数。
解析
【分析】
反证法解题遵循三个步骤：第一步反设，即假设待证结论不成立，取结论的反面；第二步归谬，从假设出发结合已知条件推导，得出与定理、已知条件等矛盾的结果；第三步存真，由矛盾判定假设错误，从而肯定原结论正确。
第1题待证结论为$∠ C＜90°$，反设应为$∠ C\ge90°$；结合等腰三角形等边对等角的性质可推出三个内角和大于$180°$，和三角形内角和定理矛盾，即可判定假设不成立，原结论成立。
第2题待证结论为“两个整数中至少有一个是偶数”，反设应为“两个整数都不是偶数（均为奇数）”；设出奇数的代数形式计算乘积，可推出乘积为奇数，和已知“积是偶数”矛盾，即可判定假设不成立，原结论成立。
【解析】
1. 补全证明过程：
第一个空需要否定待证结论，因此填$∠ C\ge90°$；
推导得到的$∠ A+∠ B+∠ C＞180°$违背了三角形内角和的基本定理，因此第二个空填“三角形的内角和等于$180°$矛盾”；
出现矛盾说明最初的假设错误，因此第三个空填“假设”。
2. 命题证明：
首先反设结论不成立：假设这两个整数都不是偶数，即这两个整数均为奇数；
设两个整数分别为$a$、$b$，取整数$m$、$n$使得$a=2m+1$，$b=2n+1$；
计算乘积得$ab=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1$，由整数运算性质可知$ab$是奇数，这与已知“两个整数的积是偶数”矛盾；
因此假设不成立，原命题得证。
【答案】
1. 补全证明过程
证明:假设$\boldsymbol{∠ C ≥ 90°}$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C ≥ 90°$,
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$,
这与$\boldsymbol{三角形的内角和等于180°矛盾}$,
$\therefore \boldsymbol{假设}$不成立,
$\therefore ∠ C＜90°$.
---
2. 命题证明
证明：假设这两个整数都不是偶数，即这两个整数均为奇数。
设这两个整数分别为$a$、$b$，取整数$m$、$n$使得$a=2m+1$，$b=2n+1$，
则$ab=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1$，
可知$ab$是奇数，这与已知“两个整数的积是偶数”矛盾。
$\therefore$ 假设不成立，
$\therefore$ 如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数。
【知识点】
反证法，三角形内角和定理，整数奇偶性性质
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题核心是正确对结论进行反设，再通过合理推导得出矛盾，从而证明原命题。需掌握常见结论的反设表述规律，如“小于”的反面为“大于或等于”，“至少有一个”的反面为“全都不”。
【难度系数】
0.8
反证法解题遵循三个步骤：第一步反设，即假设待证结论不成立，取结论的反面；第二步归谬，从假设出发结合已知条件推导，得出与定理、已知条件等矛盾的结果；第三步存真，由矛盾判定假设错误，从而肯定原结论正确。
第1题待证结论为$∠ C＜90°$，反设应为$∠ C\ge90°$；结合等腰三角形等边对等角的性质可推出三个内角和大于$180°$，和三角形内角和定理矛盾，即可判定假设不成立，原结论成立。
第2题待证结论为“两个整数中至少有一个是偶数”，反设应为“两个整数都不是偶数（均为奇数）”；设出奇数的代数形式计算乘积，可推出乘积为奇数，和已知“积是偶数”矛盾，即可判定假设不成立，原结论成立。
【解析】
1. 补全证明过程：
第一个空需要否定待证结论，因此填$∠ C\ge90°$；
推导得到的$∠ A+∠ B+∠ C＞180°$违背了三角形内角和的基本定理，因此第二个空填“三角形的内角和等于$180°$矛盾”；
出现矛盾说明最初的假设错误，因此第三个空填“假设”。
2. 命题证明：
首先反设结论不成立：假设这两个整数都不是偶数，即这两个整数均为奇数；
设两个整数分别为$a$、$b$，取整数$m$、$n$使得$a=2m+1$，$b=2n+1$；
计算乘积得$ab=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1$，由整数运算性质可知$ab$是奇数，这与已知“两个整数的积是偶数”矛盾；
因此假设不成立，原命题得证。
【答案】
1. 补全证明过程
证明:假设$\boldsymbol{∠ C ≥ 90°}$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C ≥ 90°$,
$\therefore ∠ A+∠ B+∠ C＞180°$,
这与$\boldsymbol{三角形的内角和等于180°矛盾}$,
$\therefore \boldsymbol{假设}$不成立,
$\therefore ∠ C＜90°$.
---
2. 命题证明
证明：假设这两个整数都不是偶数，即这两个整数均为奇数。
设这两个整数分别为$a$、$b$，取整数$m$、$n$使得$a=2m+1$，$b=2n+1$，
则$ab=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1$，
可知$ab$是奇数，这与已知“两个整数的积是偶数”矛盾。
$\therefore$ 假设不成立，
$\therefore$ 如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数。
【知识点】
反证法，三角形内角和定理，整数奇偶性性质
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题核心是正确对结论进行反设，再通过合理推导得出矛盾，从而证明原命题。需掌握常见结论的反设表述规律，如“小于”的反面为“大于或等于”，“至少有一个”的反面为“全都不”。
【难度系数】
0.8
3: 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数$\sqrt{2}$，导致了第一次数学危机. 教材在第10章给出了“$\sqrt{2}$不是有理数”的推理，请结合课本的推理过程，证明：$\sqrt{3}$不是有理数.
答案
证明：假设$\sqrt{3}$是有理数，
则存在两个互素的正整数$m$、$n$，使得$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$，
两边同时平方，得$3 = \frac{m^2}{n^2}$，即$m^2 = 3n^2$。
由此可知$m^2$是3的倍数，因此$m$是3的倍数。
设$m=3k$（$k$为正整数），将其代入$m^2=3n^2$，得：
$(3k)^2 = 3n^2$，化简得$n^2 = 3k^2$，
因此$n^2$也是3的倍数，同理可得$n$也是3的倍数。
此时$m$、$n$都有公因数3，这与$m$、$n$互素的假设矛盾。
因此假设“$\sqrt{3}$是有理数”不成立，
即$\sqrt{3}$不是有理数。
则存在两个互素的正整数$m$、$n$，使得$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$，
两边同时平方，得$3 = \frac{m^2}{n^2}$，即$m^2 = 3n^2$。
由此可知$m^2$是3的倍数，因此$m$是3的倍数。
设$m=3k$（$k$为正整数），将其代入$m^2=3n^2$，得：
$(3k)^2 = 3n^2$，化简得$n^2 = 3k^2$，
因此$n^2$也是3的倍数，同理可得$n$也是3的倍数。
此时$m$、$n$都有公因数3，这与$m$、$n$互素的假设矛盾。
因此假设“$\sqrt{3}$是有理数”不成立，
即$\sqrt{3}$不是有理数。
解析
【分析】
要证明$\sqrt{3}$不是有理数，属于否定性命题，直接证明难度较大，因此采用反证法。反证法的核心思路是先假设原命题的反面成立，即假设$\sqrt{3}$是有理数，再根据有理数的定义（所有有理数都可以写成两个互素的正整数的比值）展开推导，若推出和已知前提、公理矛盾的结论，就说明假设错误，原命题成立。具体推导时先将$\sqrt{3}$写成分数形式，平方后利用整除的性质推出分子、分母存在公共因数，和“互素”的前提矛盾，即可完成证明。
【解析】
证明：假设$\sqrt{3}$是有理数，
则存在两个互素的正整数$m$、$n$，使得$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$，
两边同时平方，得$3 = \frac{m^2}{n^2}$，即$m^2 = 3n^2$。
由此可知$m^2$是3的倍数，因此$m$是3的倍数。
设$m=3k$（$k$为正整数），将其代入$m^2=3n^2$，得：
$(3k)^2 = 3n^2$，化简得$n^2 = 3k^2$，
因此$n^2$也是3的倍数，同理可得$n$也是3的倍数。
此时$m$、$n$都有公因数3，这与$m$、$n$互素的假设矛盾。
因此假设“$\sqrt{3}$是有理数”不成立，
即$\sqrt{3}$不是有理数。
【答案】
$\sqrt{3}$不是有理数，证明过程如上。
【知识点】
反证法，有理数的概念，互素的定义
【点评】
本题是反证法的典型应用，通过类比课本中$\sqrt{2}$不是有理数的证明过程，能够帮助学生掌握反证法的基本步骤，深化对有理数、无理数概念的理解，同时培养逻辑推理的严谨性。
【难度系数】
0.6
要证明$\sqrt{3}$不是有理数，属于否定性命题，直接证明难度较大，因此采用反证法。反证法的核心思路是先假设原命题的反面成立，即假设$\sqrt{3}$是有理数，再根据有理数的定义（所有有理数都可以写成两个互素的正整数的比值）展开推导，若推出和已知前提、公理矛盾的结论，就说明假设错误，原命题成立。具体推导时先将$\sqrt{3}$写成分数形式，平方后利用整除的性质推出分子、分母存在公共因数，和“互素”的前提矛盾，即可完成证明。
【解析】
证明：假设$\sqrt{3}$是有理数，
则存在两个互素的正整数$m$、$n$，使得$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$，
两边同时平方，得$3 = \frac{m^2}{n^2}$，即$m^2 = 3n^2$。
由此可知$m^2$是3的倍数，因此$m$是3的倍数。
设$m=3k$（$k$为正整数），将其代入$m^2=3n^2$，得：
$(3k)^2 = 3n^2$，化简得$n^2 = 3k^2$，
因此$n^2$也是3的倍数，同理可得$n$也是3的倍数。
此时$m$、$n$都有公因数3，这与$m$、$n$互素的假设矛盾。
因此假设“$\sqrt{3}$是有理数”不成立，
即$\sqrt{3}$不是有理数。
【答案】
$\sqrt{3}$不是有理数，证明过程如上。
【知识点】
反证法，有理数的概念，互素的定义
【点评】
本题是反证法的典型应用，通过类比课本中$\sqrt{2}$不是有理数的证明过程，能够帮助学生掌握反证法的基本步骤，深化对有理数、无理数概念的理解，同时培养逻辑推理的严谨性。
【难度系数】
0.6
