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11. 我国自主研发的新一代隐身战斗机歼-20，其部分机身采用了高性能碳纤维复合材料，这种材料的使用显著提高了抗疲劳、耐腐蚀等性能，同时减小了机身的质量。将一个体积为0.02 m³的钢制零件替换成碳纤维复合材料零件，在体积不变的情况下，质量减小122 kg。已知$\rho_{\mathrm{钢}} = 7.9 × 10^3 \ \mathrm{kg/m}^3$。
（1）求碳纤维复合材料零件的质量。
（2）求此碳纤维复合材料的密度。
（1）求碳纤维复合材料零件的质量。
（2）求此碳纤维复合材料的密度。
答案
11. 解（1）$m_\mathrm{钢}=\rho_\mathrm{钢}\ V=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.02\ \mathrm{m}^3=158\ \mathrm{kg}$，$m_\mathrm{复合}=m_\mathrm{钢}-m_\mathrm{减}=158\ \mathrm{kg}-122\ \mathrm{kg}=36\ \mathrm{kg}$。
（2）$\rho_\mathrm{复合}=\frac{m_\mathrm{复合}}{V}=\frac{36\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m}^3}=1.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
（2）$\rho_\mathrm{复合}=\frac{m_\mathrm{复合}}{V}=\frac{36\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m}^3}=1.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
解析
【分析】
要解决这道题，需利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$及其变形公式$m=\rho V$。首先，根据钢制零件的密度和体积，计算出钢制零件的质量；再结合替换后质量减小122kg，求出碳纤维复合材料零件的质量；最后，利用复合材料零件的质量和不变的体积，计算出其密度。
【解析】
（1）根据密度公式的变形$m=\rho V$，先计算钢制零件的质量：
$m_{\mathrm{钢}}=\rho_{\mathrm{钢}} V=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.02\ \mathrm{m}^3=158\ \mathrm{kg}$
已知替换后质量减小122kg，所以碳纤维复合材料零件的质量：
$m_{\mathrm{复合}}=m_{\mathrm{钢}} - \Delta m=158\ \mathrm{kg} - 122\ \mathrm{kg}=36\ \mathrm{kg}$
（2）碳纤维复合材料零件的体积与钢制零件体积相等，即$V=0.02\ \mathrm{m}^3$，根据密度公式：
$\rho_{\mathrm{复合}}=\frac{m_{\mathrm{复合}}}{V}=\frac{36\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m}^3}=1.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
（1）碳纤维复合材料零件的质量为36 kg；（2）此碳纤维复合材料的密度为$1.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【知识点】
密度公式的应用，质量与密度的计算
【点评】
本题是密度公式的基础应用题，核心是抓住替换零件体积不变的条件，通过质量差求出复合材料的质量，进而计算密度，考察学生对密度公式的基本掌握和应用能力，属于密度章节的常规基础题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需利用密度公式$\rho=\frac{m}{V}$及其变形公式$m=\rho V$。首先，根据钢制零件的密度和体积，计算出钢制零件的质量；再结合替换后质量减小122kg，求出碳纤维复合材料零件的质量；最后，利用复合材料零件的质量和不变的体积，计算出其密度。
【解析】
（1）根据密度公式的变形$m=\rho V$，先计算钢制零件的质量：
$m_{\mathrm{钢}}=\rho_{\mathrm{钢}} V=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×0.02\ \mathrm{m}^3=158\ \mathrm{kg}$
已知替换后质量减小122kg，所以碳纤维复合材料零件的质量：
$m_{\mathrm{复合}}=m_{\mathrm{钢}} - \Delta m=158\ \mathrm{kg} - 122\ \mathrm{kg}=36\ \mathrm{kg}$
（2）碳纤维复合材料零件的体积与钢制零件体积相等，即$V=0.02\ \mathrm{m}^3$，根据密度公式：
$\rho_{\mathrm{复合}}=\frac{m_{\mathrm{复合}}}{V}=\frac{36\ \mathrm{kg}}{0.02\ \mathrm{m}^3}=1.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【答案】
（1）碳纤维复合材料零件的质量为36 kg；（2）此碳纤维复合材料的密度为$1.8×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【知识点】
密度公式的应用，质量与密度的计算
【点评】
本题是密度公式的基础应用题，核心是抓住替换零件体积不变的条件，通过质量差求出复合材料的质量，进而计算密度，考察学生对密度公式的基本掌握和应用能力，属于密度章节的常规基础题。
【难度系数】
0.8
12. 实验室有一个铁球，为了判断它是不是空心的，小明用天平、量筒和水测得如下数据。
已知$\rho_{\mathrm{铁}}=7.9×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，量筒内的水始终没有溢出。请你根据实验数据回答下列问题。
（1）小明通过计算判断出铁球是空心的，请你写出他的判断依据。
（2）铁球空心部分的体积$V_{\mathrm{空}}$是多少？
已知$\rho_{\mathrm{铁}}=7.9×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，量筒内的水始终没有溢出。请你根据实验数据回答下列问题。（1）小明通过计算判断出铁球是空心的，请你写出他的判断依据。
（2）铁球空心部分的体积$V_{\mathrm{空}}$是多少？
答案
12. 解（1）已知$\rho_\mathrm{铁}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，由$\rho =\frac{m}{V}$可得，铁的体积$V_\mathrm{铁}=\frac{m}{\rho_\mathrm{铁}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$，铁球的体积$V_\mathrm{球}=V_\mathrm{总}-V_\mathrm{水}=150\ \mathrm{mL}-100\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$，因为$V_\mathrm{球}＞V_\mathrm{铁}$，所以铁球是空心的。
（2）空心部分的体积$V_\mathrm{空}=V_\mathrm{球}-V_\mathrm{铁}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$。
（2）空心部分的体积$V_\mathrm{空}=V_\mathrm{球}-V_\mathrm{铁}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】要判断铁球是否为空心，需先利用排水法求出铁球的实际体积，再根据铁的密度和铁球质量计算同质量实心铁的体积，通过比较两者体积大小判断是否空心；空心部分体积等于铁球体积减去实心铁的体积。解题时需统一单位，正确运用密度公式。
【解析】（1）先换算铁的密度单位：$\rho_{\mathrm{铁}}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$。根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，计算同质量实心铁的体积：$V_{\mathrm{铁}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{铁}}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$。铁球体积为水和铁球的总体积减去水的体积：$V_{\mathrm{球}}=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{水}}=150\ \mathrm{mL}-100\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$。因为$V_{\mathrm{球}}＞V_{\mathrm{铁}}$，所以铁球是空心的。（2）空心部分体积为铁球体积减去实心铁的体积：$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铁}}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】（1）同质量实心铁的体积为$20\ \mathrm{cm}^3$，铁球体积为$50\ \mathrm{cm}^3$，铁球体积大于同质量实心铁的体积，故铁球是空心的；（2）$30\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】密度公式应用、空心物体判断、排水法测体积
【点评】本题是密度知识的基础应用题，考查学生对密度公式的掌握及应用，以及排水法测体积的方法，解题关键是明确空心体积的计算逻辑，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】（1）先换算铁的密度单位：$\rho_{\mathrm{铁}}=7.9×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$。根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，计算同质量实心铁的体积：$V_{\mathrm{铁}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{铁}}}=\frac{158\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=20\ \mathrm{cm}^3$。铁球体积为水和铁球的总体积减去水的体积：$V_{\mathrm{球}}=V_{\mathrm{总}}-V_{\mathrm{水}}=150\ \mathrm{mL}-100\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{mL}=50\ \mathrm{cm}^3$。因为$V_{\mathrm{球}}＞V_{\mathrm{铁}}$，所以铁球是空心的。（2）空心部分体积为铁球体积减去实心铁的体积：$V_{\mathrm{空}}=V_{\mathrm{球}}-V_{\mathrm{铁}}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】（1）同质量实心铁的体积为$20\ \mathrm{cm}^3$，铁球体积为$50\ \mathrm{cm}^3$，铁球体积大于同质量实心铁的体积，故铁球是空心的；（2）$30\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】密度公式应用、空心物体判断、排水法测体积
【点评】本题是密度知识的基础应用题，考查学生对密度公式的掌握及应用，以及排水法测体积的方法，解题关键是明确空心体积的计算逻辑，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】0.6
