6.如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD=DE，连结AE.
(1)求证:AB=EC.
(2)若△ABC的周长为19 cm，AC=8 cm，则DC的长为多少？

(1) 证明：
∵ $AD ⊥ BC$，$BD=DE$，
∴ $AD$ 垂直平分线段 $BE$，
∴ $AB=AE$。
∵ $EF$ 垂直平分 $AC$，
∴ $AE=EC$，
∴ $AB=EC$。
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(2) 解：
∵ $△ ABC$ 的周长为 $19\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB + BC = 19 - 8 = 11\ \mathrm{cm}$。
由(1)得 $AB=EC$，又 $BD=DE$，
∴ $AB + BC = EC + BD + DE + EC = 2(DE + EC)$，
又∵ $DC = DE + EC$，
∴ $2DC = 11\ \mathrm{cm}$，
解得 $DC = 5.5\ \mathrm{cm}$。
答：$DC$ 的长为 $5.5\ \mathrm{cm}$。

7.如图，△ABC中，∠BAC=80°,MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数.
(2)△APQ周长为12,BC长为8,求PQ的长.

解：
(1) ∵ MP垂直平分AB，
∴ AP = BP，
∴ ∠B = ∠BAP。
∵ NQ垂直平分AC，
∴ AQ = CQ，
∴ ∠C = ∠CAQ。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∵ ∠BAC = 80°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - 80° = 100°，
∴ ∠BAP + ∠CAQ = ∠B + ∠C = 100°，
∴ ∠PAQ = ∠BAP + ∠CAQ - ∠BAC = 100° - 80° = 20°。
(2) ∵ △APQ的周长为12，
∴ AP + PQ + AQ = 12，
∵ AP = BP，AQ = CQ，
∴ BP + CQ + PQ = 12。
由线段和关系可知 BP + CQ = BC + PQ，
代入得 BC + PQ + PQ = 12，
∵ BC = 8，
∴ 8 + 2PQ = 12，
解得 PQ = 2。
综上，(1) ∠PAQ的度数为20°；(2) PQ的长为2。

8.【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【自主研究】
(1)如图1，直线$ l $是线段$ AB $的垂直平分线，点$ P $在直线$ l $的左侧，经测量，$ PA＜PB $，请证明这个结论.
【迁移研究】
(2)如图2，直线$ l $是线段$ AB $的垂直平分线，点$ C $在直线$ l $外，且与点$ A $在直线$ l $的同侧.点$ D $是直线$ l $上的任意一点，连结$ AD $，$ BC $，$ CD $，试判断$ BC $和$ AD＋CD $之间的大小关系，并说明理由.

证明：(1) 连接PB，交直线l于点E，连接AE。
∵ 直线l是线段AB的垂直平分线，点E在直线l上，
∴ EA = EB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ PB = PE + EB = PE + EA。
在△PAE中，由三角形任意两边之和大于第三边，得PE + EA ＞ PA，
∴ PB ＞ PA，即PA ＜ PB。
解：(2) $BC ＜ AD + CD$，理由如下：
∵ 直线l是线段AB的垂直平分线，点D在直线l上，
∴ AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ AD + CD = BD + CD。
在△BCD中，由三角形任意两边之和大于第三边，得BD + CD ＞ BC，
∴ AD + CD ＞ BC，即$BC ＜ AD + CD$。