登录
10.先分解因式，再求值：$30x^2(y+4)-15x(y+4)$，其中$x=2,y=-2$。
答案
10.原式$=15x(y+4)(2x-1)$.
当 $x=2,y=-2$ 时，原式$=15×2×(-2+4)×(2×2-1)=180$.
当 $x=2,y=-2$ 时，原式$=15×2×(-2+4)×(2×2-1)=180$.
解析
【分析】
解题分为两个步骤：①分解因式：首先观察多项式的两项，找到共同的因式即公因式，系数的最大公约数是15，共有的字母因式是x，共有的多项式因式是(y+4)，因此公因式为15x(y+4)，提取公因式即可完成因式分解；②代入求值：将x、y的取值代入分解后的式子计算，比直接代入原式计算更简便，能减少计算量。
【解析】
1. 分解因式：
观察多项式$30x^2(y+4)-15x(y+4)$，确定公因式为$15x(y+4)$，提取公因式可得：
$30x^2(y+4)-15x(y+4)=15x(y+4)(2x-1)$
2. 代入求值：
将$x=2$，$y=-2$代入上述分解后的式子：
$\begin{aligned}原式&=15×2×(-2+4)×(2×2-1)\\&=30×2×3\\&=180\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{180}$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式确定，代数式求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，通过先分解因式再代入求值的方式可简化计算，降低出错率，解题时要注意公因式需提取完整，避免漏提系数或多项式因式。
【难度系数】
0.8
解题分为两个步骤：①分解因式：首先观察多项式的两项，找到共同的因式即公因式，系数的最大公约数是15，共有的字母因式是x，共有的多项式因式是(y+4)，因此公因式为15x(y+4)，提取公因式即可完成因式分解；②代入求值：将x、y的取值代入分解后的式子计算，比直接代入原式计算更简便，能减少计算量。
【解析】
1. 分解因式：
观察多项式$30x^2(y+4)-15x(y+4)$，确定公因式为$15x(y+4)$，提取公因式可得：
$30x^2(y+4)-15x(y+4)=15x(y+4)(2x-1)$
2. 代入求值：
将$x=2$，$y=-2$代入上述分解后的式子：
$\begin{aligned}原式&=15×2×(-2+4)×(2×2-1)\\&=30×2×3\\&=180\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{180}$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式确定，代数式求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，通过先分解因式再代入求值的方式可简化计算，降低出错率，解题时要注意公因式需提取完整，避免漏提系数或多项式因式。
【难度系数】
0.8
11.阅读下列分解因式的过程,再回答问题.
分解因式:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$.
解:原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)]$
$=(1+x)[(1+x)(1+x)]$
$=(1+x)^3$.
(1)上述分解因式的方法是
(2)分解因式$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3$.
(3)猜想$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+\dots+x(1+x)^n$分解因式的结果.
分解因式:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$.
解:原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)]$
$=(1+x)[(1+x)(1+x)]$
$=(1+x)^3$.
(1)上述分解因式的方法是
提公因式法
，共应用了$2$
次.(2)分解因式$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3$.
(3)猜想$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+\dots+x(1+x)^n$分解因式的结果.
答案
11.(1)提公因式法 2
(2)原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2]$
$=(1+x)^2[1+x+x(1+x)]=(1+x)^2[(1+x)(1+x)]=(1+x)^4$.
(3)原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+\dots+x(1+x)^n$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)+\dots+x(1+x)^{n-1}]=(1+x)^{n+1}$.
(2)原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2]$
$=(1+x)^2[1+x+x(1+x)]=(1+x)^2[(1+x)(1+x)]=(1+x)^4$.
(3)原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+\dots+x(1+x)^n$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)+\dots+x(1+x)^{n-1}]=(1+x)^{n+1}$.
解析
【分析】
本题围绕提公因式法分解因式设置问题，解题思路如下：
(1) 观察题干给出的分解过程，每一步都是提取公因式$(1+x)$，第一次提取后剩余的多项式仍含有公因式$(1+x)$，需再次提取，统计提取次数即可得到答案；
(2) 参照题干的分解方法，逐次提取公因式$(1+x)$，每次提取后整理剩余部分，直到没有公因式可提即可完成分解；
(3) 根据前两问的分解结果归纳规律：式子中$(1+x)$的最高次数为$k$时，分解结果为$(1+x)^{k+1}$，也可通过反复提取公因式的方法推导一般结论。
【解析】
(1) 题干分解过程中，两次提取公因式$(1+x)$完成因式分解，因此分解方法为提公因式法，共应用2次。
(2) 对$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3$分解时，每次提取公因式$(1+x)$，剩余部分仍存在相同公因式，反复提取3次后无公因式可提，得到最终结果。
(3) 对于含$n$次项的一般式，逐次提取公因式$(1+x)$，共提取$(n+1)$次后可得到最终分解结果。
【答案】
(1)提公因式法 2
(2)原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2]$
$=(1+x)^2[1+x+x(1+x)]=(1+x)^2[(1+x)(1+x)]=(1+x)^4$
(3)原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+\dots+x(1+x)^n$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)+\dots+x(1+x)^{n-1}]=(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法分解因式、规律探究、因式分解的应用
【点评】
本题重点考查提公因式法分解因式的反复应用，解题时需注意每次提取公因式后要检查剩余整式是否还存在公因式，直至不能再提取为止；同时通过从特殊到一般的归纳思想推导普遍规律，对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
本题围绕提公因式法分解因式设置问题，解题思路如下：
(1) 观察题干给出的分解过程，每一步都是提取公因式$(1+x)$，第一次提取后剩余的多项式仍含有公因式$(1+x)$，需再次提取，统计提取次数即可得到答案；
(2) 参照题干的分解方法，逐次提取公因式$(1+x)$，每次提取后整理剩余部分，直到没有公因式可提即可完成分解；
(3) 根据前两问的分解结果归纳规律：式子中$(1+x)$的最高次数为$k$时，分解结果为$(1+x)^{k+1}$，也可通过反复提取公因式的方法推导一般结论。
【解析】
(1) 题干分解过程中，两次提取公因式$(1+x)$完成因式分解，因此分解方法为提公因式法，共应用2次。
(2) 对$1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3$分解时，每次提取公因式$(1+x)$，剩余部分仍存在相同公因式，反复提取3次后无公因式可提，得到最终结果。
(3) 对于含$n$次项的一般式，逐次提取公因式$(1+x)$，共提取$(n+1)$次后可得到最终分解结果。
【答案】
(1)提公因式法 2
(2)原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)^2]$
$=(1+x)^2[1+x+x(1+x)]=(1+x)^2[(1+x)(1+x)]=(1+x)^4$
(3)原式$=(1+x)+x(1+x)+x(1+x)^2+\dots+x(1+x)^n$
$=(1+x)[1+x+x(1+x)+\dots+x(1+x)^{n-1}]=(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法分解因式、规律探究、因式分解的应用
【点评】
本题重点考查提公因式法分解因式的反复应用，解题时需注意每次提取公因式后要检查剩余整式是否还存在公因式，直至不能再提取为止；同时通过从特殊到一般的归纳思想推导普遍规律，对观察归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
12.【观察思考】古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数.如图①，当小石子的个数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫作三角形数.如图②，当小石子的个数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫作正方形数.
【发现规律】(1)图①中，第n个三角形数是
【猜想验证】(2)毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：1＋3＝4，6＋10＝16.请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数.
【发现规律】(1)图①中，第n个三角形数是
$\frac{n(n+1)}{2}$
；图②中，第n个正方形数是$n^2$
.(用含n的式子表示)【猜想验证】(2)毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：1＋3＝4，6＋10＝16.请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数.
答案
12.(1)由题意知第 $n$ 个三角形数为 $1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$,第 $n$ 个正方形数为 $n^2$.
故答案为$\frac{n(n+1)}{2}$,$n^2$.
(2)设任意两个相邻的三角形数为第 $k$ 个数和第 $(k+1)$ 个数，则$\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}$
$=\frac{(k+1)}{2}[k+(k+2)]=\frac{(k+1)}{2}(2k+2)=(k+1)^2$,所以任意相邻的第 $k$ 个数和第 $(k+1)$ 个三角形数之和恰等于第 $(k+1)$ 个正方形数.即任意两个相邻三角形数之和是正方形数.
故答案为$\frac{n(n+1)}{2}$,$n^2$.
(2)设任意两个相邻的三角形数为第 $k$ 个数和第 $(k+1)$ 个数，则$\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}$
$=\frac{(k+1)}{2}[k+(k+2)]=\frac{(k+1)}{2}(2k+2)=(k+1)^2$,所以任意相邻的第 $k$ 个数和第 $(k+1)$ 个三角形数之和恰等于第 $(k+1)$ 个正方形数.即任意两个相邻三角形数之和是正方形数.
解析
【分析】
(1) 探究三角形数规律时，观察前几个三角形数的构成：第1个是1，第2个是1+2=3，第3个是1+2+3=6，可知第n个三角形数是从1到n的连续整数之和，用求和公式即可推导表达式；探究正方形数规律时，观察前几个正方形数：第1个是$1=1^2$，第2个是$4=2^2$，第3个是$9=3^2$，直接可归纳出第n个正方形数的表达式。
(2) 要证明相邻两个三角形数之和是正方形数，先设相邻的两个三角形数为第k个和第k+1个，写出二者的表达式后相加，再用提公因式法对和进行化简，若最终结果是完全平方的形式，即可证明结论成立。
【解析】
(1) 对图①的三角形数：
第1个：$1=\frac{1×(1+1)}{2}$
第2个：$1+2=\frac{2×(2+1)}{2}=3$
第3个：$1+2+3=\frac{3×(3+1)}{2}=6$
……
以此类推，第n个三角形数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
对图②的正方形数：
第1个：$1=1^2$
第2个：$4=2^2$
第3个：$9=3^2$
……
以此类推，第n个正方形数为$n^2$。
(2) 设两个相邻的三角形数分别为第k个和第$(k+1)$个，将二者求和：
$\begin{aligned}&\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}\\=&\frac{k+1}{2}[k+(k+2)]\\=&\frac{k+1}{2}×(2k+2)\\=&\frac{k+1}{2}×2(k+1)\\=&(k+1)^2\end{aligned}$
$(k+1)^2$是第$(k+1)$个正方形数，因此任意两个相邻三角形数之和是正方形数。
【答案】
(1) $\frac{n(n+1)}{2}$；$n^2$
(2) 证明如上，结论成立。
【知识点】
规律探究，提公因式法因式分解，整式化简
【点评】
本题以古代形数文化为背景，结合了归纳推理和整式运算的知识点，既考查了学生找规律的能力，又能让学生体会到数形结合的数学思想，侧重基础方法的应用。
【难度系数】
0.75
(1) 探究三角形数规律时，观察前几个三角形数的构成：第1个是1，第2个是1+2=3，第3个是1+2+3=6，可知第n个三角形数是从1到n的连续整数之和，用求和公式即可推导表达式；探究正方形数规律时，观察前几个正方形数：第1个是$1=1^2$，第2个是$4=2^2$，第3个是$9=3^2$，直接可归纳出第n个正方形数的表达式。
(2) 要证明相邻两个三角形数之和是正方形数，先设相邻的两个三角形数为第k个和第k+1个，写出二者的表达式后相加，再用提公因式法对和进行化简，若最终结果是完全平方的形式，即可证明结论成立。
【解析】
(1) 对图①的三角形数：
第1个：$1=\frac{1×(1+1)}{2}$
第2个：$1+2=\frac{2×(2+1)}{2}=3$
第3个：$1+2+3=\frac{3×(3+1)}{2}=6$
……
以此类推，第n个三角形数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
对图②的正方形数：
第1个：$1=1^2$
第2个：$4=2^2$
第3个：$9=3^2$
……
以此类推，第n个正方形数为$n^2$。
(2) 设两个相邻的三角形数分别为第k个和第$(k+1)$个，将二者求和：
$\begin{aligned}&\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}\\=&\frac{k+1}{2}[k+(k+2)]\\=&\frac{k+1}{2}×(2k+2)\\=&\frac{k+1}{2}×2(k+1)\\=&(k+1)^2\end{aligned}$
$(k+1)^2$是第$(k+1)$个正方形数，因此任意两个相邻三角形数之和是正方形数。
【答案】
(1) $\frac{n(n+1)}{2}$；$n^2$
(2) 证明如上，结论成立。
【知识点】
规律探究，提公因式法因式分解，整式化简
【点评】
本题以古代形数文化为背景，结合了归纳推理和整式运算的知识点，既考查了学生找规律的能力，又能让学生体会到数形结合的数学思想，侧重基础方法的应用。
【难度系数】
0.75
