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1.把$9mn + 6mn^2$分解因式，应提取的公因式是（
A.$3m$
B.$mn$
C.$3mn$
D.$mn^2$
C
）。A.$3m$
B.$mn$
C.$3mn$
D.$mn^2$
答案
1.C
解析
【分析】
要确定多项式提取的公因式，需按照“三定”原则逐步推导：第一步定系数，找各项系数的最大公约数；第二步定字母，找所有项都含有的相同字母；第三步定指数，找相同字母的最低次幂，三者结合就是所求公因式。本题可按照该思路分析多项式$9mn + 6mn^2$的两项即可。
【解析】
1. 定系数：多项式两项的系数分别为9和6，二者的最大公约数是3；
2. 定字母：观察两项，都含有的相同字母是m和n；
3. 定指数：字母m在两项中的次数都是1，最低次幂为$m$；字母n在第一项的次数是1，在第二项的次数是2，最低次幂为$n$。
将系数、相同字母、最低次幂组合，得到公因式为$3mn$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查公因式的确定方法，只要熟练掌握找公因式的三步规则，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
要确定多项式提取的公因式，需按照“三定”原则逐步推导：第一步定系数，找各项系数的最大公约数；第二步定字母，找所有项都含有的相同字母；第三步定指数，找相同字母的最低次幂，三者结合就是所求公因式。本题可按照该思路分析多项式$9mn + 6mn^2$的两项即可。
【解析】
1. 定系数：多项式两项的系数分别为9和6，二者的最大公约数是3；
2. 定字母：观察两项，都含有的相同字母是m和n；
3. 定指数：字母m在两项中的次数都是1，最低次幂为$m$；字母n在第一项的次数是1，在第二项的次数是2，最低次幂为$n$。
将系数、相同字母、最低次幂组合，得到公因式为$3mn$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查公因式的确定方法，只要熟练掌握找公因式的三步规则，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
2.下列多项式中,不能用提公因式法分解因式的是(
A.$6x^2 - 3y$
B.$x^2y - xy^2$
C.$x^2 + 2xy + y^2$
D.$16x^3y^2z + 8x^2y^3$
C
).A.$6x^2 - 3y$
B.$x^2y - xy^2$
C.$x^2 + 2xy + y^2$
D.$16x^3y^2z + 8x^2y^3$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确提公因式法分解因式的适用条件：若多项式的各项含有公共的因式（即公因式），就可以用提公因式法分解因式。解题思路是逐一分析每个选项中多项式的各项是否存在公因式，没有公因式的选项即为正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 多项式$6x^2 - 3y$的两项有公因式3，可分解为$3(2x^2 - y)$，能用提公因式法分解，不符合题意；
B. 多项式$x^2y - xy^2$的两项有公因式$xy$，可分解为$xy(x - y)$，能用提公因式法分解，不符合题意；
C. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项没有公共的因式，无法用提公因式法分解，需用完全平方公式分解，符合题意；
D. 多项式$16x^3y^2z + 8x^2y^3$的两项有公因式$8x^2y^2$，可分解为$8x^2y^2(2xz + y)$，能用提公因式法分解，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的识别
【点评】
本题主要考查对提公因式法分解因式的理解，解题关键是熟练掌握公因式的确定方法，注意区分提公因式法和其他因式分解方法的适用情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确提公因式法分解因式的适用条件：若多项式的各项含有公共的因式（即公因式），就可以用提公因式法分解因式。解题思路是逐一分析每个选项中多项式的各项是否存在公因式，没有公因式的选项即为正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 多项式$6x^2 - 3y$的两项有公因式3，可分解为$3(2x^2 - y)$，能用提公因式法分解，不符合题意；
B. 多项式$x^2y - xy^2$的两项有公因式$xy$，可分解为$xy(x - y)$，能用提公因式法分解，不符合题意；
C. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项没有公共的因式，无法用提公因式法分解，需用完全平方公式分解，符合题意；
D. 多项式$16x^3y^2z + 8x^2y^3$的两项有公因式$8x^2y^2$，可分解为$8x^2y^2(2xz + y)$，能用提公因式法分解，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的识别
【点评】
本题主要考查对提公因式法分解因式的理解，解题关键是熟练掌握公因式的确定方法，注意区分提公因式法和其他因式分解方法的适用情况。
【难度系数】
0.8
3.分解因式 $x^2(y - 3) + x(3 - y)$ 的正确结果是(
A.$(y - 3)(x^2 + x)$
B.$x(y - 3)(x + 1)$
C.$(y - 3)(x^2 - x)$
D.$x(y - 3)(x - 1)$
D
).A.$(y - 3)(x^2 + x)$
B.$x(y - 3)(x + 1)$
C.$(y - 3)(x^2 - x)$
D.$x(y - 3)(x - 1)$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先统一相同因式，观察到式子中(y-3)和(3-y)互为相反数，可将(3-y)转化为-(y-3)，使两项含有相同的因式；第二步找公因式，两项的公因式为x(y-3)，提取公因式后得到结果；第三步验证结果是否满足因式分解的彻底性，即每个因式都不能再分解，同时注意符号不要出错，最后对应选项即可。
【解析】
解：首先对原式中的(3-y)进行变形，可得$3-y=-(y-3)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=x^2(y - 3) + x×[-(y - 3)]\\&=x^2(y - 3) - x(y - 3)\end{aligned}$
观察两项的公因式为$x(y - 3)$，提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=x(y - 3)· x - x(y - 3)·1\\&=x(y - 3)(x - 1)\end{aligned}$
逐一验证选项：A、C选项提取公因式不彻底，剩余因式仍含有公因式x；B选项符号错误，只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.相反数的代数式变形
3.因式分解的彻底性
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点有两个：一是处理(y-3)和(3-y)的变形时符号出错，二是提取公因式不彻底，忘记提取剩余因式里的公因式x，解题时要注意先统一相同因式，再准确提取公因式，最后检查分解是否完全。
【难度系数】
0.7
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先统一相同因式，观察到式子中(y-3)和(3-y)互为相反数，可将(3-y)转化为-(y-3)，使两项含有相同的因式；第二步找公因式，两项的公因式为x(y-3)，提取公因式后得到结果；第三步验证结果是否满足因式分解的彻底性，即每个因式都不能再分解，同时注意符号不要出错，最后对应选项即可。
【解析】
解：首先对原式中的(3-y)进行变形，可得$3-y=-(y-3)$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=x^2(y - 3) + x×[-(y - 3)]\\&=x^2(y - 3) - x(y - 3)\end{aligned}$
观察两项的公因式为$x(y - 3)$，提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=x(y - 3)· x - x(y - 3)·1\\&=x(y - 3)(x - 1)\end{aligned}$
逐一验证选项：A、C选项提取公因式不彻底，剩余因式仍含有公因式x；B选项符号错误，只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.相反数的代数式变形
3.因式分解的彻底性
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点有两个：一是处理(y-3)和(3-y)的变形时符号出错，二是提取公因式不彻底，忘记提取剩余因式里的公因式x，解题时要注意先统一相同因式，再准确提取公因式，最后检查分解是否完全。
【难度系数】
0.7
4.下列因式分解正确的有(
①$3x^2 - 6xy + x = x(3x - 6y) = 3x(x - 2y)$；
②$-5x + 5xy = -5x(1 + y)$；
③$4x^3 - 2x^2y = 2x^2(2x - y)$；
④$6a^3b^3 + 4a^2b^2 + 2ab = 2ab(3a^2b^2 + 2ab)$；
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
).①$3x^2 - 6xy + x = x(3x - 6y) = 3x(x - 2y)$；
②$-5x + 5xy = -5x(1 + y)$；
③$4x^3 - 2x^2y = 2x^2(2x - y)$；
④$6a^3b^3 + 4a^2b^2 + 2ab = 2ab(3a^2b^2 + 2ab)$；
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式的正误判断，解题时需依据提公因式的规则逐个验证每个式子：首先确定多项式各项的公因式（系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂），提取公因式后剩余的多项式项数要和原式一致，同时注意符号处理是否正确，最后可将分解后的式子展开与原式对比，确认是否相等。
【解析】
我们逐个分析4个式子：
① 原式$3x^2 - 6xy + x$的公因式为$x$，提取公因式后应为$x(3x - 6y + 1)$，该式提取时漏了最后一项的常数项1，后续还错误提取系数3，故①错误；
② 原式$-5x + 5xy$的公因式为$-5x$，提取公因式后应为$-5x(1 - y)$，该式第二项符号处理错误，故②错误；
③ 原式$4x^3 - 2x^2y$的公因式为$2x^2$，提取公因式得$2x^2(2x - y)$，展开后与原式一致，故③正确；
④ 原式$6a^3b^3 + 4a^2b^2 + 2ab$的公因式为$2ab$，提取公因式后应为$2ab(3a^2b^2 + 2ab + 1)$，该式提取时漏了最后一项的常数项1，故④错误。
综上，只有1个式子分解正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，易错点为提取公因式时漏项、符号处理错误，做题时可将分解后的代数式展开还原，快速验证分解是否正确。
【难度系数】
0.7
本题考查提公因式法分解因式的正误判断，解题时需依据提公因式的规则逐个验证每个式子：首先确定多项式各项的公因式（系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂），提取公因式后剩余的多项式项数要和原式一致，同时注意符号处理是否正确，最后可将分解后的式子展开与原式对比，确认是否相等。
【解析】
我们逐个分析4个式子：
① 原式$3x^2 - 6xy + x$的公因式为$x$，提取公因式后应为$x(3x - 6y + 1)$，该式提取时漏了最后一项的常数项1，后续还错误提取系数3，故①错误；
② 原式$-5x + 5xy$的公因式为$-5x$，提取公因式后应为$-5x(1 - y)$，该式第二项符号处理错误，故②错误；
③ 原式$4x^3 - 2x^2y$的公因式为$2x^2$，提取公因式得$2x^2(2x - y)$，展开后与原式一致，故③正确；
④ 原式$6a^3b^3 + 4a^2b^2 + 2ab$的公因式为$2ab$，提取公因式后应为$2ab(3a^2b^2 + 2ab + 1)$，该式提取时漏了最后一项的常数项1，故④错误。
综上，只有1个式子分解正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，易错点为提取公因式时漏项、符号处理错误，做题时可将分解后的代数式展开还原，快速验证分解是否正确。
【难度系数】
0.7
5.分解因式 $ m^2 - mn + mx - nx = $
$(m-n)(m+x)$
.答案
5.$(m-n)(m+x)$
解析
【分析】
本题是四项式的因式分解，没有整体公因式可以直接提取，因此考虑用分组分解法：将式子按两两分组的思路，把前两项、后两项分别划为一组，先在每组内提取公因式，再观察两组的公共因式，提取公共因式即可完成分解。
【解析】
解：对原式分组后逐步提取公因式：
$\begin{split}m^2 - mn + mx - nx&=(m^2 - mn)+(mx - nx)\\&=m(m - n)+x(m - n)\\&=(m - n)(m + x)\end{split}$
【答案】
$(m-n)(m+x)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.分组分解法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查分组提公因式的技巧，合理分组是解题的关键，分组后既要保证每组内部可提取公因式，也要保证组间存在公因式可继续分解，是因式分解部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
本题是四项式的因式分解，没有整体公因式可以直接提取，因此考虑用分组分解法：将式子按两两分组的思路，把前两项、后两项分别划为一组，先在每组内提取公因式，再观察两组的公共因式，提取公共因式即可完成分解。
【解析】
解：对原式分组后逐步提取公因式：
$\begin{split}m^2 - mn + mx - nx&=(m^2 - mn)+(mx - nx)\\&=m(m - n)+x(m - n)\\&=(m - n)(m + x)\end{split}$
【答案】
$(m-n)(m+x)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.分组分解法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查分组提公因式的技巧，合理分组是解题的关键，分组后既要保证每组内部可提取公因式，也要保证组间存在公因式可继续分解，是因式分解部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
6.多项式$a^2(m+n)$和$bm+bn$的公因式是
$(m+n)$
。答案
6.$(m+n)$
解析
【分析】
要确定两个多项式的公因式，需先把两个多项式都整理为乘积形式，再找它们共同含有的因式。首先观察第二个多项式$bm+bn$，可先通过提公因式法对其分解因式，再和第一个多项式$a^2(m+n)$对比，找出公共的因式即可。
【解析】
第一步：对多项式$bm+bn$提公因式$b$分解因式，可得：
$bm+bn = b(m+n)$
第二步：对比两个多项式的因式：
第一个多项式为$a^2(m+n)$，包含因式$a^2$、$(m+n)$；
第二个多项式分解后为$b(m+n)$，包含因式$b$、$(m+n)$；
两个多项式共同含有的因式为$(m+n)$，即它们的公因式是$(m+n)$。
【答案】
$(m+n)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题是找公因式的基础题，解题的关键是先将不是乘积形式的多项式分解因式，注意公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式形式。
【难度系数】
0.8
要确定两个多项式的公因式，需先把两个多项式都整理为乘积形式，再找它们共同含有的因式。首先观察第二个多项式$bm+bn$，可先通过提公因式法对其分解因式，再和第一个多项式$a^2(m+n)$对比，找出公共的因式即可。
【解析】
第一步：对多项式$bm+bn$提公因式$b$分解因式，可得：
$bm+bn = b(m+n)$
第二步：对比两个多项式的因式：
第一个多项式为$a^2(m+n)$，包含因式$a^2$、$(m+n)$；
第二个多项式分解后为$b(m+n)$，包含因式$b$、$(m+n)$；
两个多项式共同含有的因式为$(m+n)$，即它们的公因式是$(m+n)$。
【答案】
$(m+n)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题是找公因式的基础题，解题的关键是先将不是乘积形式的多项式分解因式，注意公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式形式。
【难度系数】
0.8
7.分解因式.
(1)$x(x-y)-y(y-x)$.
(2)$m(x-y)^2 -x + y$.
(1)$x(x-y)-y(y-x)$.
(2)$m(x-y)^2 -x + y$.
答案
7.(1)$(x+y)(x-y)$. (2)$(x-y)(mx-my-1)$.
解析
【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路为：首先观察式子结构，将互为相反数的因式进行符号变形，找到式子中隐藏的公因式；再提取公因式，最后整理剩余项得到分解结果，注意提取公因式时要避免漏项、错写符号。
第(1)题：先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，即可得到公因式$(x-y)$，提取后整理即可；
第(2)题：先将$-x+y$变形为$-(x-y)$，即可得到公因式$(x-y)$，提取后展开剩余的整式即可。
【解析】
(1) 先对原式的符号进行变形：
$\begin{aligned}x(x-y)-y(y-x)&=x(x-y)+y(x-y)\\&=(x-y)(x+y)\end{aligned}$
(2) 先对原式后两项变形，再提取公因式：
$\begin{aligned}m(x-y)^2 -x + y&=m(x-y)^2 - (x-y)\\&=(x-y)[m(x-y)-1]\\&=(x-y)(mx-my-1)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x+y)(x-y)$；(2)$(x-y)(mx-my-1)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 代数式符号变形
【点评】
这两道是提公因式法分解因式的典型基础题，核心是识别出隐藏的公因式，尤其注意互为相反数的因式的符号转换，提取公因式后要检查剩余项是否漏项、符号是否正确。
【难度系数】
0.85
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路为：首先观察式子结构，将互为相反数的因式进行符号变形，找到式子中隐藏的公因式；再提取公因式，最后整理剩余项得到分解结果，注意提取公因式时要避免漏项、错写符号。
第(1)题：先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，即可得到公因式$(x-y)$，提取后整理即可；
第(2)题：先将$-x+y$变形为$-(x-y)$，即可得到公因式$(x-y)$，提取后展开剩余的整式即可。
【解析】
(1) 先对原式的符号进行变形：
$\begin{aligned}x(x-y)-y(y-x)&=x(x-y)+y(x-y)\\&=(x-y)(x+y)\end{aligned}$
(2) 先对原式后两项变形，再提取公因式：
$\begin{aligned}m(x-y)^2 -x + y&=m(x-y)^2 - (x-y)\\&=(x-y)[m(x-y)-1]\\&=(x-y)(mx-my-1)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x+y)(x-y)$；(2)$(x-y)(mx-my-1)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 代数式符号变形
【点评】
这两道是提公因式法分解因式的典型基础题，核心是识别出隐藏的公因式，尤其注意互为相反数的因式的符号转换，提取公因式后要检查剩余项是否漏项、符号是否正确。
【难度系数】
0.85
8.若多项式$(x+2)(2x-1)-(x+2)$可以因式分解成$2(x+m)(x+n)$，则$m-n$的值是________.
答案
8.3 或 $-3$
解析
【分析】
解题时首先观察待分解的多项式，发现两项均含有公因式$(x+2)$，因此优先用提公因式法分解因式，将原式化简为最简的因式乘积形式，再与题目给出的因式分解结果$2(x+m)(x+n)$对应，得到$m$、$n$的可能取值，最后计算$m-n$即可，注意$m$和$n$的顺序不固定，要考虑所有可能的对应情况。
【解析】
对多项式$(x+2)(2x-1)-(x+2)$因式分解：
1. 提取公因式$(x+2)$：
$\begin{aligned}原式&=(x+2)(2x-1) - (x+2)×1\\&=(x+2)[(2x-1)-1]\\&=(x+2)(2x-2)\end{aligned}$
2. 继续提取$2x-2$中的公因数2：
$原式=2(x+2)(x-1)$
已知该多项式因式分解结果为$2(x+m)(x+n)$，因此有两种对应情况：
情况1：$m=2$，$n=-1$，此时$m-n=2-(-1)=3$
情况2：$m=-1$，$n=2$，此时$m-n=-1-2=-3$
综上，$m-n$的值为3或$-3$。
【答案】
3或$-3$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.多项式相等的参数对应
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心是熟练掌握提公因式法的操作步骤，解题时需注意公因式要提尽，同时参数对应时不要漏去两种顺序的可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察待分解的多项式，发现两项均含有公因式$(x+2)$，因此优先用提公因式法分解因式，将原式化简为最简的因式乘积形式，再与题目给出的因式分解结果$2(x+m)(x+n)$对应，得到$m$、$n$的可能取值，最后计算$m-n$即可，注意$m$和$n$的顺序不固定，要考虑所有可能的对应情况。
【解析】
对多项式$(x+2)(2x-1)-(x+2)$因式分解：
1. 提取公因式$(x+2)$：
$\begin{aligned}原式&=(x+2)(2x-1) - (x+2)×1\\&=(x+2)[(2x-1)-1]\\&=(x+2)(2x-2)\end{aligned}$
2. 继续提取$2x-2$中的公因数2：
$原式=2(x+2)(x-1)$
已知该多项式因式分解结果为$2(x+m)(x+n)$，因此有两种对应情况：
情况1：$m=2$，$n=-1$，此时$m-n=2-(-1)=3$
情况2：$m=-1$，$n=2$，此时$m-n=-1-2=-3$
综上，$m-n$的值为3或$-3$。
【答案】
3或$-3$
【知识点】
1.提公因式法分解因式 2.多项式相等的参数对应
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心是熟练掌握提公因式法的操作步骤，解题时需注意公因式要提尽，同时参数对应时不要漏去两种顺序的可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9.已知$a+b=-4$，$ab=2$，求多项式$4a^2b+4ab^2-4a-4b$的值.
答案
9.$-16$.
解析
【分析】
本题已知$a+b$与$ab$的整体数值，无需计算$a$、$b$的具体值，解题思路为：先观察多项式的结构，通过分组后多次运用提公因式法分解因式，将多项式转化为含有$a+b$、$ab$的式子，再整体代入已知数值计算即可，既简化运算又能避免求解$a$、$b$的繁琐过程。
【解析】
解：对多项式因式分解：
$\begin{split}&4a^2b+4ab^2-4a-4b\\=&(4a^2b+4ab^2)-(4a+4b)\\=&4ab(a+b)-4(a+b)\\=&(a+b)(4ab-4)\end{split}$
将$a+b=-4$，$ab=2$代入上式：
$\begin{split}原式&=(-4)×(4×2 - 4)\\&=(-4)×(8-4)\\&=(-4)×4\\&=-16\end{split}$
【答案】
$-16$
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.代数式整体代入求值
【点评】
本题核心考查因式分解在代数式求值中的应用，解题关键是熟练掌握提公因式法，灵活运用整体代入思想，通过合理分组将多项式转化为已知代数式的组合形式，大幅降低运算量。
【难度系数】
0.7
本题已知$a+b$与$ab$的整体数值，无需计算$a$、$b$的具体值，解题思路为：先观察多项式的结构，通过分组后多次运用提公因式法分解因式，将多项式转化为含有$a+b$、$ab$的式子，再整体代入已知数值计算即可，既简化运算又能避免求解$a$、$b$的繁琐过程。
【解析】
解：对多项式因式分解：
$\begin{split}&4a^2b+4ab^2-4a-4b\\=&(4a^2b+4ab^2)-(4a+4b)\\=&4ab(a+b)-4(a+b)\\=&(a+b)(4ab-4)\end{split}$
将$a+b=-4$，$ab=2$代入上式：
$\begin{split}原式&=(-4)×(4×2 - 4)\\&=(-4)×(8-4)\\&=(-4)×4\\&=-16\end{split}$
【答案】
$-16$
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.代数式整体代入求值
【点评】
本题核心考查因式分解在代数式求值中的应用，解题关键是熟练掌握提公因式法，灵活运用整体代入思想，通过合理分组将多项式转化为已知代数式的组合形式，大幅降低运算量。
【难度系数】
0.7
