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9.若$x^2 - x -1=0$，则$x^3 -2x +1$的值为（
A.$\sqrt{5}-1$
B.2
C.$-1$
D.$-2$
B
）.A.$\sqrt{5}-1$
B.2
C.$-1$
D.$-2$
答案
9.B
解析
【分析】
已知条件是关于x的二次等式，所求代数式为三次多项式，若直接解方程求x再代入计算过程繁琐。我们可以利用降次思想，先从已知等式得到$x^2=x+1$的关系，再将三次项$x^3$拆分为$x· x^2$，通过代入化简，结合整体代入的方法求出代数式的值，避免复杂运算。
【解析】
解：已知$x^2 - x -1=0$，移项可得：
$x^2 = x + 1$，且$x^2 - x =1$。
对所求代数式变形：
$x^3 - 2x +1 = x· x^2 - 2x +1$
将$x^2 = x + 1$代入上式：
$= x(x + 1) - 2x +1$
展开得：
$= x^2 + x - 2x +1 = x^2 - x +1$
再将$x^2 - x =1$整体代入：
$=1 +1 = 2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、整体代入思想、降次法
【点评】
本题是整式运算中代数式求值的典型题型，核心考查降次技巧和整体代入思想的运用，无需计算未知数的具体值即可快速求解，能有效锻炼学生的转化思维，减少运算量。
【难度系数】
0.7
已知条件是关于x的二次等式，所求代数式为三次多项式，若直接解方程求x再代入计算过程繁琐。我们可以利用降次思想，先从已知等式得到$x^2=x+1$的关系，再将三次项$x^3$拆分为$x· x^2$，通过代入化简，结合整体代入的方法求出代数式的值，避免复杂运算。
【解析】
解：已知$x^2 - x -1=0$，移项可得：
$x^2 = x + 1$，且$x^2 - x =1$。
对所求代数式变形：
$x^3 - 2x +1 = x· x^2 - 2x +1$
将$x^2 = x + 1$代入上式：
$= x(x + 1) - 2x +1$
展开得：
$= x^2 + x - 2x +1 = x^2 - x +1$
再将$x^2 - x =1$整体代入：
$=1 +1 = 2$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、整体代入思想、降次法
【点评】
本题是整式运算中代数式求值的典型题型，核心考查降次技巧和整体代入思想的运用，无需计算未知数的具体值即可快速求解，能有效锻炼学生的转化思维，减少运算量。
【难度系数】
0.7
10.已知$a+b=3$，$ab=2$，则$-a^2b -ab^2=$
$-6$
。答案
10.$-6$
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现其两项均含有公因式$-ab$，因此第一步先用提公因式法对所求代数式进行因式分解，将其变形为含有$a+b$和$ab$的形式，再把题目给出的$a+b$、$ab$的值整体代入计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
先对$-a^2b -ab^2$提公因式分解因式：
$\begin{aligned}-a^2b -ab^2&=-ab· a -ab· b\\&=-ab(a+b)\end{aligned}$
已知$a+b=3$，$ab=2$，将其代入上式得：
$-ab(a+b)=-2×3=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题核心是考查因式分解中提公因式法的应用，解题的关键是通过因式分解把所求代数式转化为包含已知条件的形式，运用整体代入思想快速求解，避免了求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的结构，发现其两项均含有公因式$-ab$，因此第一步先用提公因式法对所求代数式进行因式分解，将其变形为含有$a+b$和$ab$的形式，再把题目给出的$a+b$、$ab$的值整体代入计算即可，不需要单独求解$a$、$b$的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
先对$-a^2b -ab^2$提公因式分解因式：
$\begin{aligned}-a^2b -ab^2&=-ab· a -ab· b\\&=-ab(a+b)\end{aligned}$
已知$a+b=3$，$ab=2$，将其代入上式得：
$-ab(a+b)=-2×3=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题核心是考查因式分解中提公因式法的应用，解题的关键是通过因式分解把所求代数式转化为包含已知条件的形式，运用整体代入思想快速求解，避免了求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
11.已知实数$a$，$b$满足$a+b=6$，$ab=7$，则$a^2b+ab^2$的值为
$42$
.答案
11.42
解析
【分析】
首先观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，发现两项均含有公因式$ab$，因此可以先利用提公因式法对其进行因式分解，将其转化为含有已知条件$a+b$、$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$a^2b+ab^2 = ab(a + b)$
已知$a+b=6$，$ab=7$，将其代入上式可得：
原式$= 7×6 = 42$
【答案】
42
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题属于基础题，主要考查因式分解在代数式求值中的应用，通过提公因式将所求式转化为已知条件的组合形式，再用整体代入法计算，避免了求解未知数的复杂运算，掌握提公因式法是解题的关键。
【难度系数】
0.85
首先观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，发现两项均含有公因式$ab$，因此可以先利用提公因式法对其进行因式分解，将其转化为含有已知条件$a+b$、$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$a^2b+ab^2 = ab(a + b)$
已知$a+b=6$，$ab=7$，将其代入上式可得：
原式$= 7×6 = 42$
【答案】
42
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题属于基础题，主要考查因式分解在代数式求值中的应用，通过提公因式将所求式转化为已知条件的组合形式，再用整体代入法计算，避免了求解未知数的复杂运算，掌握提公因式法是解题的关键。
【难度系数】
0.85
12.已知$2x-y=\frac{1}{3},xy=2$,求$2x^4y^3 - x^3y^4$的值.
答案
12.$\frac{8}{3}$.
解析
【分析】
本题直接求解x、y的值计算量较大，因此优先考虑对待求式进行因式分解，将其转化为含已知条件$2x-y$和$xy$的形式，再整体代入求值即可。第一步先找待求多项式的公因式，提取公因式后再利用积的乘方的逆运算变形，最后代入已知数值计算。
【解析】
先对待求式分解因式：
$\begin{aligned}2x^4y^3 - x^3y^4&=x^3y^3(2x - y)\\&=(xy)^3·(2x - y)\end{aligned}$
将$2x-y=\frac{1}{3},xy=2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^3×\frac{1}{3}\\&=8×\frac{1}{3}\\&=\frac{8}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
提公因式法分解因式、代数式求值、积的乘方运算
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，核心解题技巧是通过提公因式将待求式转化为含已知条件的整体形式，无需单独求解未知数，大幅简化计算过程，是代数式求值中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
本题直接求解x、y的值计算量较大，因此优先考虑对待求式进行因式分解，将其转化为含已知条件$2x-y$和$xy$的形式，再整体代入求值即可。第一步先找待求多项式的公因式，提取公因式后再利用积的乘方的逆运算变形，最后代入已知数值计算。
【解析】
先对待求式分解因式：
$\begin{aligned}2x^4y^3 - x^3y^4&=x^3y^3(2x - y)\\&=(xy)^3·(2x - y)\end{aligned}$
将$2x-y=\frac{1}{3},xy=2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2^3×\frac{1}{3}\\&=8×\frac{1}{3}\\&=\frac{8}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
提公因式法分解因式、代数式求值、积的乘方运算
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，核心解题技巧是通过提公因式将待求式转化为含已知条件的整体形式，无需单独求解未知数，大幅简化计算过程，是代数式求值中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
13.已知实数$a$满足$a^2 - 2a - 3 = 0$，求代数式$a^3 - 2a^2 - 3a + 5$的值.
答案
13.5.
解析
【分析】
本题已知关于a的二次方程，要求三次代数式的值，若先解方程求a的值再代入计算会比较繁琐。观察所求代数式的结构，前三项含有公因式a，可先提取公因式，将代数式变形为含有已知式$a^2 - 2a - 3$的形式，再利用整体代入法计算即可，无需解出a的具体值，简化运算。
【解析】
解：已知$a^2 - 2a - 3 = 0$，
对代数式$a^3 - 2a^2 - 3a + 5$提取公因式变形：
$a^3 - 2a^2 - 3a + 5$
$= a(a^2 - 2a - 3) + 5$
将$a^2 - 2a - 3 = 0$代入上式：
原式$= a×0 + 5 = 5$
【答案】
5
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是通过提公因式将所求代数式变形，结合整体代入思想求解，避免了求解一元二次方程的复杂运算，是代数式求值中的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
本题已知关于a的二次方程，要求三次代数式的值，若先解方程求a的值再代入计算会比较繁琐。观察所求代数式的结构，前三项含有公因式a，可先提取公因式，将代数式变形为含有已知式$a^2 - 2a - 3$的形式，再利用整体代入法计算即可，无需解出a的具体值，简化运算。
【解析】
解：已知$a^2 - 2a - 3 = 0$，
对代数式$a^3 - 2a^2 - 3a + 5$提取公因式变形：
$a^3 - 2a^2 - 3a + 5$
$= a(a^2 - 2a - 3) + 5$
将$a^2 - 2a - 3 = 0$代入上式：
原式$= a×0 + 5 = 5$
【答案】
5
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题关键是通过提公因式将所求代数式变形，结合整体代入思想求解，避免了求解一元二次方程的复杂运算，是代数式求值中的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
14.设$n$为整数，且$n$除以4的余数为1.求证：$n^2 + 2n$除以32的余数为3.
答案
14.依题意，可设 $n=4m+1$,$m$ 为整数.
$n^2+2n=(4m+1)^2+2(4m+1)=16m^2+8m+1+8m+2=16m^2+16m+3=16m(m+1)+3.$
当 $m$ 为偶数时，$16m$ 能被 32 整除，$n^2+2n$ 余数为 3；
当 $m$ 为奇数时，$m+1$ 是偶数，$16m(m+1)$ 能被 32 整除，$n^2+2n$ 余数为 3.
故 $n^2+2n$ 除以 32 的余数为 3.
$n^2+2n=(4m+1)^2+2(4m+1)=16m^2+8m+1+8m+2=16m^2+16m+3=16m(m+1)+3.$
当 $m$ 为偶数时，$16m$ 能被 32 整除，$n^2+2n$ 余数为 3；
当 $m$ 为奇数时，$m+1$ 是偶数，$16m(m+1)$ 能被 32 整除，$n^2+2n$ 余数为 3.
故 $n^2+2n$ 除以 32 的余数为 3.
解析
【分析】
首先根据题目中“n除以4的余数为1”的条件，我们可以用带余除法的形式把n表示为4乘整数加1的形式，即设n=4m+1（m为整数）。要证明n²+2n除以32余3，只需将n的表达式代入待求式，通过整式运算化简，再分析化简结果的整除特征即可。化简后得到16m(m+1)+3，此时注意到m和m+1是相邻整数，必有一个是偶数，因此16m(m+1)一定是32的倍数，即可推导出余数为3。
【解析】
依题意，n除以4余数为1，可设$n=4m+1$（$m$为整数）。
将$n=4m+1$代入$n^2+2n$得：
$\begin{aligned}n^2+2n&=(4m+1)^2+2(4m+1)\\&=16m^2+8m+1+8m+2\\&=16m^2+16m+3\\&=16m(m+1)+3\end{aligned}$
分两种情况讨论：
1. 当$m$为偶数时，$m$是2的倍数，因此$16m$是32的倍数，即$16m(m+1)$能被32整除，此时$n^2+2n$除以32的余数为3；
2. 当$m$为奇数时，$m+1$为偶数，是2的倍数，因此$16(m+1)$是32的倍数，即$16m(m+1)$能被32整除，此时$n^2+2n$除以32的余数为3。
综上，$n^2+2n$除以32的余数为3。
【答案】
$n^2 + 2n$除以32的余数为3，得证。
【知识点】
带余除法表示、整式化简、奇偶性性质
【点评】
本题是整除类证明的常见基础题型，解题核心是根据余数条件将n转化为含参数的代数式，再通过整式变形将待证式子拆分为32的倍数和常数两部分，结合相邻整数一奇一偶的性质即可完成证明，解题规律清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.7
首先根据题目中“n除以4的余数为1”的条件，我们可以用带余除法的形式把n表示为4乘整数加1的形式，即设n=4m+1（m为整数）。要证明n²+2n除以32余3，只需将n的表达式代入待求式，通过整式运算化简，再分析化简结果的整除特征即可。化简后得到16m(m+1)+3，此时注意到m和m+1是相邻整数，必有一个是偶数，因此16m(m+1)一定是32的倍数，即可推导出余数为3。
【解析】
依题意，n除以4余数为1，可设$n=4m+1$（$m$为整数）。
将$n=4m+1$代入$n^2+2n$得：
$\begin{aligned}n^2+2n&=(4m+1)^2+2(4m+1)\\&=16m^2+8m+1+8m+2\\&=16m^2+16m+3\\&=16m(m+1)+3\end{aligned}$
分两种情况讨论：
1. 当$m$为偶数时，$m$是2的倍数，因此$16m$是32的倍数，即$16m(m+1)$能被32整除，此时$n^2+2n$除以32的余数为3；
2. 当$m$为奇数时，$m+1$为偶数，是2的倍数，因此$16(m+1)$是32的倍数，即$16m(m+1)$能被32整除，此时$n^2+2n$除以32的余数为3。
综上，$n^2+2n$除以32的余数为3。
【答案】
$n^2 + 2n$除以32的余数为3，得证。
【知识点】
带余除法表示、整式化简、奇偶性性质
【点评】
本题是整除类证明的常见基础题型，解题核心是根据余数条件将n转化为含参数的代数式，再通过整式变形将待证式子拆分为32的倍数和常数两部分，结合相邻整数一奇一偶的性质即可完成证明，解题规律清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.7
