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1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(
A.$m^2 -1$
B.$m^2 +1$
C.$m^2n +n$
D.$mn -4$
A
).A.$m^2 -1$
B.$m^2 +1$
C.$m^2n +n$
D.$mn -4$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先明确平方差公式分解因式的适用条件：多项式为二项式，两项都可以写成某个整式的平方形式，且两项符号相反（一正一负）。我们只需将四个选项逐一对照该条件排查即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，逐一分析选项：
A. $m^2 -1$是二项式，$m^2$是$m$的平方，$1$是$1$的平方，两项符号一正一负，符合平方差公式结构，可分解为$(m+1)(m-1)$，符合要求；
B. $m^2 +1$两项符号均为正，不符合“两项异号”的要求，不能用平方差公式分解；
C. $m^2n +n$的两项不都为整式的平方形式，提取公因式$n$后得到$n(m^2 +1)$，剩余部分仍不符合平方差结构，不能用平方差公式分解；
D. $mn -4$的第一项$mn$不是某个整式的平方，不符合要求，不能用平方差公式分解。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的适用条件，属于基础题型，解题关键是牢记平方差公式的结构特征，逐一排查选项即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先明确平方差公式分解因式的适用条件：多项式为二项式，两项都可以写成某个整式的平方形式，且两项符号相反（一正一负）。我们只需将四个选项逐一对照该条件排查即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，逐一分析选项：
A. $m^2 -1$是二项式，$m^2$是$m$的平方，$1$是$1$的平方，两项符号一正一负，符合平方差公式结构，可分解为$(m+1)(m-1)$，符合要求；
B. $m^2 +1$两项符号均为正，不符合“两项异号”的要求，不能用平方差公式分解；
C. $m^2n +n$的两项不都为整式的平方形式，提取公因式$n$后得到$n(m^2 +1)$，剩余部分仍不符合平方差结构，不能用平方差公式分解；
D. $mn -4$的第一项$mn$不是某个整式的平方，不符合要求，不能用平方差公式分解。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的适用条件，属于基础题型，解题关键是牢记平方差公式的结构特征，逐一排查选项即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(
A.$a^2+(-b)^2$
B.$5m^2-20mn$
C.$-x^2-y^2$
D.$-x^2+9$
D
).A.$a^2+(-b)^2$
B.$5m^2-20mn$
C.$-x^2-y^2$
D.$-x^2+9$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确能用平方差公式分解因式的多项式的结构特征：平方差公式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对应的多项式需要满足三个条件：一是仅含两项，二是两项都可以表示为某个整式的平方形式，三是两项的符号相反（一正一负）。接下来按照这个特征逐一判断每个选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确平方差公式分解因式的适用条件：①为两项式；②两项均能写成整式的平方形式；③两项符号相反。
选项A：$a^2+(-b)^2=a^2+b^2$，两项符号均为正，不符合“一正一负”的要求，不能用平方差公式分解；
选项B：$5m^2-20mn$，第二项$20mn$不是整式的平方形式，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项C：$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，括号内两项符号均为正，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项D：$-x^2+9=3^2 - x^2$，满足两项、均为平方形式、符号相反的要求，可分解为$(3+x)(3-x)$，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 因式分解的公式法
【点评】
本题主要考查平方差公式分解因式的适用条件，牢记平方差公式“两项平方异号”的结构特征是解题的关键，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要明确能用平方差公式分解因式的多项式的结构特征：平方差公式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对应的多项式需要满足三个条件：一是仅含两项，二是两项都可以表示为某个整式的平方形式，三是两项的符号相反（一正一负）。接下来按照这个特征逐一判断每个选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确平方差公式分解因式的适用条件：①为两项式；②两项均能写成整式的平方形式；③两项符号相反。
选项A：$a^2+(-b)^2=a^2+b^2$，两项符号均为正，不符合“一正一负”的要求，不能用平方差公式分解；
选项B：$5m^2-20mn$，第二项$20mn$不是整式的平方形式，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项C：$-x^2-y^2=-(x^2+y^2)$，括号内两项符号均为正，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项D：$-x^2+9=3^2 - x^2$，满足两项、均为平方形式、符号相反的要求，可分解为$(3+x)(3-x)$，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 因式分解的公式法
【点评】
本题主要考查平方差公式分解因式的适用条件，牢记平方差公式“两项平方异号”的结构特征是解题的关键，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.85
3.因式分解$(x-1)^2 -9$的结果是(
A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
D
).A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
答案
3.D
解析
【分析】
拿到本题首先观察待分解的式子结构，式子为两项，且两项均为平方形式、符号相反，符合平方差公式因式分解的特征。首先确定平方差公式中对应的a和b：a为$(x-1)$，b为3（因为$9=3^2$），再代入平方差公式展开，最后合并括号内的同类项，化简后对应选项即可得到结果。
【解析】
解：对$(x-1)^2 -9$因式分解：
1. 变形为平方差形式：$(x-1)^2 - 3^2$
2. 根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x-1$，$b=3$，可得：
$[(x-1)+3][(x-1)-3]$
3. 分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$x-1+3=x+2$
第二个括号：$x-1-3=x-4$
因此分解结果为$(x+2)(x-4)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整式化简
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，找准公式中对应的a、b，分解后注意合并同类项，保证结果为最简的因式乘积形式。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先观察待分解的式子结构，式子为两项，且两项均为平方形式、符号相反，符合平方差公式因式分解的特征。首先确定平方差公式中对应的a和b：a为$(x-1)$，b为3（因为$9=3^2$），再代入平方差公式展开，最后合并括号内的同类项，化简后对应选项即可得到结果。
【解析】
解：对$(x-1)^2 -9$因式分解：
1. 变形为平方差形式：$(x-1)^2 - 3^2$
2. 根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x-1$，$b=3$，可得：
$[(x-1)+3][(x-1)-3]$
3. 分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$x-1+3=x+2$
第二个括号：$x-1-3=x-4$
因此分解结果为$(x+2)(x-4)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整式化简
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，找准公式中对应的a、b，分解后注意合并同类项，保证结果为最简的因式乘积形式。
【难度系数】
0.8
4.分解因式：$x^2 - 9y^2 =$
$(x+3y)(x-3y)$
.答案
4.$(x+3y)(x-3y)$
解析
【分析】
首先观察待分解的式子，发现是两项，且两项都可以写成平方的形式、符号相反，符合平方差公式的结构特征。解题时先确定平方差公式中对应的a、b项，再代入公式即可完成因式分解。
【解析】
解：首先将原式转化为平方差的标准形式：
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，这里$a=x$，$b=3y$，代入得：
$x^2 - (3y)^2 = (x+3y)(x-3y)$
【答案】
$(x+3y)(x-3y)$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对平方差公式结构的识别能力，解题的关键是准确将原式转化为平方差的标准形式，注意第二项的系数也要化为平方的形式，避免遗漏系数的平方根。
【难度系数】
0.9
首先观察待分解的式子，发现是两项，且两项都可以写成平方的形式、符号相反，符合平方差公式的结构特征。解题时先确定平方差公式中对应的a、b项，再代入公式即可完成因式分解。
【解析】
解：首先将原式转化为平方差的标准形式：
$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，这里$a=x$，$b=3y$，代入得：
$x^2 - (3y)^2 = (x+3y)(x-3y)$
【答案】
$(x+3y)(x-3y)$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对平方差公式结构的识别能力，解题的关键是准确将原式转化为平方差的标准形式，注意第二项的系数也要化为平方的形式，避免遗漏系数的平方根。
【难度系数】
0.9
5.若整式$x^2+my^2$（$m$为常数，且$m≠0$）能在有理数范围内分解因式，则$m$的值可以是
$-1$（答案不唯一）
（写一个即可）。答案
5.$-1$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆因式分解常用的公式，两项式因式分解优先考虑平方差公式。平方差公式的结构为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，即需要两个平方项相减。已知整式为$x^2+my^2$，要满足平方差的结构，需要将加号变为减号，因此$m$必须为负数，且$\vert m\vert$是某个有理数的平方即可，我们可以取最简单的$m=-1$验证是否符合要求。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，当$m=-1$时：
原式$=x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，可在有理数范围内分解因式，符合题意。
（注：$m$还可取$-4$、$-9$等负的完全平方数，任选其一即可）
【答案】
$-1$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题为开放性试题，核心考查平方差公式的结构特征，只要准确把握平方差公式“两项、异号、均为平方项”的特点，就能快速写出符合要求的$m$值。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆因式分解常用的公式，两项式因式分解优先考虑平方差公式。平方差公式的结构为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，即需要两个平方项相减。已知整式为$x^2+my^2$，要满足平方差的结构，需要将加号变为减号，因此$m$必须为负数，且$\vert m\vert$是某个有理数的平方即可，我们可以取最简单的$m=-1$验证是否符合要求。
【解析】
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，当$m=-1$时：
原式$=x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，可在有理数范围内分解因式，符合题意。
（注：$m$还可取$-4$、$-9$等负的完全平方数，任选其一即可）
【答案】
$-1$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式；因式分解
【点评】
本题为开放性试题，核心考查平方差公式的结构特征，只要准确把握平方差公式“两项、异号、均为平方项”的特点，就能快速写出符合要求的$m$值。
【难度系数】
0.8
6.若$a+b=3$，则$a^2 - b^2 + 6b$的值为
$9$
。答案
6.$9$
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，发现式中含有$a^2-b^2$，符合平方差公式的特征，因此第一步优先考虑用平方差公式对$a^2-b^2$分解因式；再将已知条件$a+b=3$整体代入分解后的式子，对式子进行化简整理，最后再次整体代入$a+b=3$即可求出结果。
【解析】
首先利用平方差公式对所求式子变形：
$a^2 - b^2 + 6b=(a+b)(a-b)+6b$
已知$a+b=3$，将其代入上式得：
原式$=3(a-b)+6b$
展开并合并同类项：
$=3a - 3b + 6b$
$=3a + 3b$
提取公因式得：
$=3(a+b)$
再次将$a+b=3$代入得：
$=3×3=9$
【答案】
9
【知识点】
平方差公式分解因式，代数式化简求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题核心是熟练掌握平方差公式的形式，灵活对所求代数式变形，运用整体代入思想简化计算，无需单独求解a、b的值，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，发现式中含有$a^2-b^2$，符合平方差公式的特征，因此第一步优先考虑用平方差公式对$a^2-b^2$分解因式；再将已知条件$a+b=3$整体代入分解后的式子，对式子进行化简整理，最后再次整体代入$a+b=3$即可求出结果。
【解析】
首先利用平方差公式对所求式子变形：
$a^2 - b^2 + 6b=(a+b)(a-b)+6b$
已知$a+b=3$，将其代入上式得：
原式$=3(a-b)+6b$
展开并合并同类项：
$=3a - 3b + 6b$
$=3a + 3b$
提取公因式得：
$=3(a+b)$
再次将$a+b=3$代入得：
$=3×3=9$
【答案】
9
【知识点】
平方差公式分解因式，代数式化简求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题核心是熟练掌握平方差公式的形式，灵活对所求代数式变形，运用整体代入思想简化计算，无需单独求解a、b的值，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.8
7.如果$a - b = 6$，那么$a^2 - b^2 - 12b$的值是
$36$
。答案
7.$36$
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现含有平方差形式$a^2 - b^2$，因此优先考虑用平方差公式因式分解；再将已知条件$a - b = 6$代入分解后的式子，对式子进行化简后，可变形为含$a - b$的形式，最后整体代入已知数值即可求出结果，无需单独计算$a$、$b$的具体值。
【解析】
解：首先对所求代数式变形：
$\begin{aligned}a^2 - b^2 - 12b&=(a - b)(a + b) - 12b\\\end{aligned}$
已知$a - b = 6$，将其代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=6(a + b) - 12b\\&=6a + 6b - 12b\\&=6a - 6b\\&=6(a - b)\end{aligned}$
再将$a - b = 6$整体代入，得：
$6×6 = 36$
【答案】
$36$
【知识点】
平方差公式因式分解；整式化简；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，核心是利用平方差公式对所求式子变形，结合整体代入思想简化计算，避免单独求解未知数的繁琐，是因式分解模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察所求代数式的结构，发现含有平方差形式$a^2 - b^2$，因此优先考虑用平方差公式因式分解；再将已知条件$a - b = 6$代入分解后的式子，对式子进行化简后，可变形为含$a - b$的形式，最后整体代入已知数值即可求出结果，无需单独计算$a$、$b$的具体值。
【解析】
解：首先对所求代数式变形：
$\begin{aligned}a^2 - b^2 - 12b&=(a - b)(a + b) - 12b\\\end{aligned}$
已知$a - b = 6$，将其代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=6(a + b) - 12b\\&=6a + 6b - 12b\\&=6a - 6b\\&=6(a - b)\end{aligned}$
再将$a - b = 6$整体代入，得：
$6×6 = 36$
【答案】
$36$
【知识点】
平方差公式因式分解；整式化简；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，核心是利用平方差公式对所求式子变形，结合整体代入思想简化计算，避免单独求解未知数的繁琐，是因式分解模块的基础常考题型。
【难度系数】
0.75
8.分解因式.
(1) $9a^2 - 16$.
(2) $81x^2 - 64y^2$.
(3) $m^2 - \frac{1}{36}$.
(4) $\frac{1}{25}y^2 - \frac{1}{49}z^2$.
(1) $9a^2 - 16$.
(2) $81x^2 - 64y^2$.
(3) $m^2 - \frac{1}{36}$.
(4) $\frac{1}{25}y^2 - \frac{1}{49}z^2$.
答案
8.(1)$9a^2 -16=(3a)^2 -4^2=(3a+4)(3a-4)$.
(2)$81x^2 -64y^2=(9x)^2-(8y)^2=(9x+8y)(9x-8y)$.
(3)$m^2-\frac{1}{36}=m^2-(\frac{1}{6})^2=(m+\frac{1}{6})(m-\frac{1}{6})$.
(4)$\frac{1}{25}y^2-\frac{1}{49}z^2=(\frac{1}{5}y)^2-(\frac{1}{7}z)^2=(\frac{1}{5}y+\frac{1}{7}z)(\frac{1}{5}y-\frac{1}{7}z)$.
(2)$81x^2 -64y^2=(9x)^2-(8y)^2=(9x+8y)(9x-8y)$.
(3)$m^2-\frac{1}{36}=m^2-(\frac{1}{6})^2=(m+\frac{1}{6})(m-\frac{1}{6})$.
(4)$\frac{1}{25}y^2-\frac{1}{49}z^2=(\frac{1}{5}y)^2-(\frac{1}{7}z)^2=(\frac{1}{5}y+\frac{1}{7}z)(\frac{1}{5}y-\frac{1}{7}z)$.
解析
【分析】
这4道因式分解题的式子都符合“两项都是平方形式、符号相反”的特征，适合用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$求解。解题思路为：首先将原式的两项分别转化为某个数或整式的平方形式，确定公式中对应的$a$和$b$，再直接代入平方差公式即可得到分解结果。
【解析】
(1) 将$9a^2$变形为$(3a)^2$，$16$变形为$4^2$，代入平方差公式：
$9a^2 -16=(3a)^2 -4^2=(3a+4)(3a-4)$
(2) 将$81x^2$变形为$(9x)^2$，$64y^2$变形为$(8y)^2$，代入平方差公式：
$81x^2 -64y^2=(9x)^2-(8y)^2=(9x+8y)(9x-8y)$
(3) 将$\frac{1}{36}$变形为$(\frac{1}{6})^2$，代入平方差公式：
$m^2-\frac{1}{36}=m^2-(\frac{1}{6})^2=(m+\frac{1}{6})(m-\frac{1}{6})$
(4) 将$\frac{1}{25}y^2$变形为$(\frac{1}{5}y)^2$，$\frac{1}{49}z^2$变形为$(\frac{1}{7}z)^2$，代入平方差公式：
$\frac{1}{25}y^2-\frac{1}{49}z^2=(\frac{1}{5}y)^2-(\frac{1}{7}z)^2=(\frac{1}{5}y+\frac{1}{7}z)(\frac{1}{5}y-\frac{1}{7}z)$
【答案】
(1)$(3a+4)(3a-4)$
(2)$(9x+8y)(9x-8y)$
(3)$(m+\frac{1}{6})(m-\frac{1}{6})$
(4)$(\frac{1}{5}y+\frac{1}{7}z)(\frac{1}{5}y-\frac{1}{7}z)$
【知识点】
平方差公式，公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确对原式的项做平方变形，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
这4道因式分解题的式子都符合“两项都是平方形式、符号相反”的特征，适合用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$求解。解题思路为：首先将原式的两项分别转化为某个数或整式的平方形式，确定公式中对应的$a$和$b$，再直接代入平方差公式即可得到分解结果。
【解析】
(1) 将$9a^2$变形为$(3a)^2$，$16$变形为$4^2$，代入平方差公式：
$9a^2 -16=(3a)^2 -4^2=(3a+4)(3a-4)$
(2) 将$81x^2$变形为$(9x)^2$，$64y^2$变形为$(8y)^2$，代入平方差公式：
$81x^2 -64y^2=(9x)^2-(8y)^2=(9x+8y)(9x-8y)$
(3) 将$\frac{1}{36}$变形为$(\frac{1}{6})^2$，代入平方差公式：
$m^2-\frac{1}{36}=m^2-(\frac{1}{6})^2=(m+\frac{1}{6})(m-\frac{1}{6})$
(4) 将$\frac{1}{25}y^2$变形为$(\frac{1}{5}y)^2$，$\frac{1}{49}z^2$变形为$(\frac{1}{7}z)^2$，代入平方差公式：
$\frac{1}{25}y^2-\frac{1}{49}z^2=(\frac{1}{5}y)^2-(\frac{1}{7}z)^2=(\frac{1}{5}y+\frac{1}{7}z)(\frac{1}{5}y-\frac{1}{7}z)$
【答案】
(1)$(3a+4)(3a-4)$
(2)$(9x+8y)(9x-8y)$
(3)$(m+\frac{1}{6})(m-\frac{1}{6})$
(4)$(\frac{1}{5}y+\frac{1}{7}z)(\frac{1}{5}y-\frac{1}{7}z)$
【知识点】
平方差公式，公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确对原式的项做平方变形，熟练掌握公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
9.若$81 - x^k = (9 + x^2)(3 + x)(3 - x)$，则$k$的值是(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
).A.2
B.3
C.4
D.5
答案
9.C
解析
【分析】
要求k的值，可先将等式右侧的整式乘积化简为和左侧形式一致的多项式，再通过对比相同项的次数求解。首先观察右侧因式，(3+x)(3-x)符合平方差公式的结构，优先计算这部分，再逐步和其余因式相乘，最后和左侧式子对比即可得到k的取值。
【解析】
首先利用平方差公式计算右侧的$(3+x)(3-x)$：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$(3+x)(3-x)=3^2 - x^2=9 - x^2$
此时等式右侧化简为$(9+x^2)(9 - x^2)$，再次利用平方差公式计算：
$(9+x^2)(9 - x^2)=9^2 - (x^2)^2=81 - x^4$
已知等式左侧为$81 - x^k$，等式左右两边的多项式相等，对应项的次数相同，因此$x^k$和$x^4$的次数相等，即$k=4$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算，多项式相等条件
【点评】
本题是整式乘法与因式分解的结合型基础题，核心考查平方差公式的灵活运用，解题时优先对符合公式结构的因式组合计算，能大幅降低化简难度。
【难度系数】
0.8
要求k的值，可先将等式右侧的整式乘积化简为和左侧形式一致的多项式，再通过对比相同项的次数求解。首先观察右侧因式，(3+x)(3-x)符合平方差公式的结构，优先计算这部分，再逐步和其余因式相乘，最后和左侧式子对比即可得到k的取值。
【解析】
首先利用平方差公式计算右侧的$(3+x)(3-x)$：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$(3+x)(3-x)=3^2 - x^2=9 - x^2$
此时等式右侧化简为$(9+x^2)(9 - x^2)$，再次利用平方差公式计算：
$(9+x^2)(9 - x^2)=9^2 - (x^2)^2=81 - x^4$
已知等式左侧为$81 - x^k$，等式左右两边的多项式相等，对应项的次数相同，因此$x^k$和$x^4$的次数相等，即$k=4$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算，多项式相等条件
【点评】
本题是整式乘法与因式分解的结合型基础题，核心考查平方差公式的灵活运用，解题时优先对符合公式结构的因式组合计算，能大幅降低化简难度。
【难度系数】
0.8
10.任意两个奇数的平方差总能(
A.被3整除
B.被5整除
C.被6整除
D.被8整除
D
).A.被3整除
B.被5整除
C.被6整除
D.被8整除
答案
10.D
解析
【分析】
要解决这道题可按以下思路思考：第一步，先将任意两个奇数用含整数的代数式表示，方便后续运算；第二步，利用平方差公式对两个奇数的平方差进行因式分解；第三步，对分解后的代数式化简，分析其因数特征，判断能被哪个数整除；也可以通过举特殊奇数的例子，计算平方差后排除错误选项，快速得到答案。
【解析】
方法一：代数推导法
设两个任意奇数分别为$2m+1$和$2n+1$（$m$、$n$均为整数），则它们的平方差为：
$\begin{aligned}(2m+1)^2 - (2n+1)^2&=[(2m+1)-(2n+1)][(2m+1)+(2n+1)]\\&=(2m-2n)(2m+2n+2)\\&=2(m-n)×2(m+n+1)\\&=4(m-n)(m+n+1)\end{aligned}$
接下来分析因式的奇偶性：
由于$(m-n)+(m+n)=2m$是偶数，因此$m-n$和$m+n$的奇偶性相同：
若$m-n$为偶数，则$m-n$含因数2，整体结果为$4×2k=8k$（$k$为整数），能被8整除；
若$m-n$为奇数，则$m+n$也为奇数，因此$m+n+1$为偶数，含因数2，整体结果同样为$8k$（$k$为整数），能被8整除。
方法二：特殊值排除法
取奇数1和3，平方差为$3^2-1^2=8$：
8不能被3整除，排除A；8不能被5整除，排除B；8不能被6整除，排除C；只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 奇数的表示
3. 整除的判断
【点评】
本题既可以通过代数推导得出普遍结论，也可以用特殊值法快速排除错误选项，解题核心是熟练掌握平方差公式的因式分解应用，结合数的奇偶性分析即可轻松解决问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题可按以下思路思考：第一步，先将任意两个奇数用含整数的代数式表示，方便后续运算；第二步，利用平方差公式对两个奇数的平方差进行因式分解；第三步，对分解后的代数式化简，分析其因数特征，判断能被哪个数整除；也可以通过举特殊奇数的例子，计算平方差后排除错误选项，快速得到答案。
【解析】
方法一：代数推导法
设两个任意奇数分别为$2m+1$和$2n+1$（$m$、$n$均为整数），则它们的平方差为：
$\begin{aligned}(2m+1)^2 - (2n+1)^2&=[(2m+1)-(2n+1)][(2m+1)+(2n+1)]\\&=(2m-2n)(2m+2n+2)\\&=2(m-n)×2(m+n+1)\\&=4(m-n)(m+n+1)\end{aligned}$
接下来分析因式的奇偶性：
由于$(m-n)+(m+n)=2m$是偶数，因此$m-n$和$m+n$的奇偶性相同：
若$m-n$为偶数，则$m-n$含因数2，整体结果为$4×2k=8k$（$k$为整数），能被8整除；
若$m-n$为奇数，则$m+n$也为奇数，因此$m+n+1$为偶数，含因数2，整体结果同样为$8k$（$k$为整数），能被8整除。
方法二：特殊值排除法
取奇数1和3，平方差为$3^2-1^2=8$：
8不能被3整除，排除A；8不能被5整除，排除B；8不能被6整除，排除C；只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 奇数的表示
3. 整除的判断
【点评】
本题既可以通过代数推导得出普遍结论，也可以用特殊值法快速排除错误选项，解题核心是熟练掌握平方差公式的因式分解应用，结合数的奇偶性分析即可轻松解决问题。
【难度系数】
0.7
