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11.若$a,b,c$表示$△ ABC$的三条边长，且满足$a^2 - b^2 = c(a - b)$，则$△ ABC$一定是(
A.直角三角形
B.三条边都不相等的三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
C
).A.直角三角形
B.三条边都不相等的三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
答案
11.C
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需从给出的三边满足的等式入手，先通过移项、因式分解将等式转化为乘积为0的形式，再结合三角形三边均为正数、两边之和大于第三边的隐含条件，推导边的数量关系，进而确定三角形的类型。
【解析】
1. 对已知等式移项得：$a^2 - b^2 - c(a - b) = 0$
2. 利用平方差公式分解$a^2 - b^2$，得：$(a - b)(a + b) - c(a - b) = 0$
3. 提取公因式$(a - b)$，整理得：$(a - b)(a + b - c) = 0$
4. 结合三角形三边关系分析：因为$a,b,c$是△ABC的三条边长，根据三角形两边之和大于第三边，可得$a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$，该因式不可能为0
5. 乘积为0时必有一个因式为0，因此只能$a - b = 0$，即$a = b$
综上，△ABC一定是等腰三角形，对应选项C。
【答案】C
【知识点】
因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形判定
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的方法，同时注意三角形三边关系的隐含限制，避免忽略条件误判三角形形状。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的形状，需从给出的三边满足的等式入手，先通过移项、因式分解将等式转化为乘积为0的形式，再结合三角形三边均为正数、两边之和大于第三边的隐含条件，推导边的数量关系，进而确定三角形的类型。
【解析】
1. 对已知等式移项得：$a^2 - b^2 - c(a - b) = 0$
2. 利用平方差公式分解$a^2 - b^2$，得：$(a - b)(a + b) - c(a - b) = 0$
3. 提取公因式$(a - b)$，整理得：$(a - b)(a + b - c) = 0$
4. 结合三角形三边关系分析：因为$a,b,c$是△ABC的三条边长，根据三角形两边之和大于第三边，可得$a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$，该因式不可能为0
5. 乘积为0时必有一个因式为0，因此只能$a - b = 0$，即$a = b$
综上，△ABC一定是等腰三角形，对应选项C。
【答案】C
【知识点】
因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形判定
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的方法，同时注意三角形三边关系的隐含限制，避免忽略条件误判三角形形状。
【难度系数】
0.7
12.推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误.
例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下：
设任意一个有理数为$x$，令$x=m$，
等式两边都乘以$x$，得$x^2=mx$.①
等式两边都减$m^2$，得$x^2 - m^2 = mx - m^2$.②
等式两边分别分解因式，得$(x + m)(x - m) = m(x - m)$.③
等式两边都除以$x - m$，得$x + m = m$.④
等式两边都减$m$，得$x = 0$.⑤
所以任意一个有理数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是
例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下：
设任意一个有理数为$x$，令$x=m$，
等式两边都乘以$x$，得$x^2=mx$.①
等式两边都减$m^2$，得$x^2 - m^2 = mx - m^2$.②
等式两边分别分解因式，得$(x + m)(x - m) = m(x - m)$.③
等式两边都除以$x - m$，得$x + m = m$.④
等式两边都减$m$，得$x = 0$.⑤
所以任意一个有理数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是
④
.答案
12.④
解析
【分析】
要找出推理过程中开始出错的步骤，需结合等式的基本性质，依次验证每一步运算的合法性：首先明确等式两边同时除以同一个整式时，必须保证该整式不为0，否则运算无意义；再逐行核对每一步的运算依据，判断哪一步违反了运算规则即可。
【解析】
我们根据等式的基本性质和因式分解的规则逐步骤验证：
1. 步骤①：等式$x=m$两边同时乘$x$，符合等式两边同时乘同一个整式，等式仍然成立的性质，运算正确；
2. 步骤②：等式$x^2=mx$两边同时减$m^2$，符合等式两边同时减同一个整式，等式仍然成立的性质，运算正确；
3. 步骤③：左边$x^2-m^2$用平方差公式分解为$(x+m)(x-m)$，右边$mx-m^2$提取公因式$m$分解为$m(x-m)$，因式分解均正确，该步运算合法；
4. 步骤④：等式两边要同时除以$x-m$，但已知题设$x=m$，因此$x-m=0$，根据等式的基本性质，等式两边不能除以0，因此该步运算错误。
综上，开始出现错误的步骤是④。
【答案】
④
【知识点】
等式的基本性质；因式分解
【点评】
本题结合易错的推理案例，考查学生对代数运算规则前提条件的掌握情况，同学们在做等式变形尤其是涉及除法运算时，一定要注意验证除数是否不为0，避免出现逻辑漏洞，同时也要求能准确判断因式分解的正确性。
【难度系数】
0.7
要找出推理过程中开始出错的步骤，需结合等式的基本性质，依次验证每一步运算的合法性：首先明确等式两边同时除以同一个整式时，必须保证该整式不为0，否则运算无意义；再逐行核对每一步的运算依据，判断哪一步违反了运算规则即可。
【解析】
我们根据等式的基本性质和因式分解的规则逐步骤验证：
1. 步骤①：等式$x=m$两边同时乘$x$，符合等式两边同时乘同一个整式，等式仍然成立的性质，运算正确；
2. 步骤②：等式$x^2=mx$两边同时减$m^2$，符合等式两边同时减同一个整式，等式仍然成立的性质，运算正确；
3. 步骤③：左边$x^2-m^2$用平方差公式分解为$(x+m)(x-m)$，右边$mx-m^2$提取公因式$m$分解为$m(x-m)$，因式分解均正确，该步运算合法；
4. 步骤④：等式两边要同时除以$x-m$，但已知题设$x=m$，因此$x-m=0$，根据等式的基本性质，等式两边不能除以0，因此该步运算错误。
综上，开始出现错误的步骤是④。
【答案】
④
【知识点】
等式的基本性质；因式分解
【点评】
本题结合易错的推理案例，考查学生对代数运算规则前提条件的掌握情况，同学们在做等式变形尤其是涉及除法运算时，一定要注意验证除数是否不为0，避免出现逻辑漏洞，同时也要求能准确判断因式分解的正确性。
【难度系数】
0.7
13.设$a,b$都是正整数，且满足$a^2 + b^2 = 365$.
(1)若$a$是质数，$b$是奇数，求$a+b$的值.
(2)若$a$是偶数，求$a+b$的值.
(1)若$a$是质数，$b$是奇数，求$a+b$的值.
(2)若$a$是偶数，求$a+b$的值.
答案
13.(1)$\because b$是奇数，$\therefore b^2$也是奇数.$\because a^2 + b^2 = 365$，$\therefore a^2$是偶数.
又$\because a$是质数，$\therefore a=2.\therefore a^2=4$.
$\because a^2 + b^2 = 365$，$\therefore b^2=361.\therefore b=19.\therefore a+b=21$.
(2)$\because a$是偶数，$a^2 + b^2 = 365$，
$\therefore b$一定是奇数.
设$a=2m$，$b=2n-1$($m,n$都为正整数).
$\because a^2 + b^2 = 365$，$\therefore (2m)^2 + (2n-1)^2 = 361+4$.
$\therefore (2m)^2 - 2^2 = 19^2 - (2n-1)^2$.
$\therefore (2m+2)(2m-2)=(19+2n-1)(19-2n+1)$.
$\therefore (2m+2)(2m-2)=(18+2n)(20-2n)$.
$\therefore (m+1)(m-1)=(9+n)(10-n)$.
$\because m≥1$，$\therefore (m+1)(m-1)≥0.\therefore 10-n≥0.\therefore n≤10$.
当$n=10$时，$m=1$，符合题意；
当$n=9$时，$m^2-1=18$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=8$时，$m^2-1=34$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=7$时，$m^2-1=48$，$m=7$或$m=-7$(舍去)，符合题意；
当$n=6$时，$m^2-1=60$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=5$时，$m^2-1=70$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=4$时，$m^2-1=78$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=3$时，$m^2-1=84$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=2$时，$m^2-1=88$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=1$时，$m^2-1=90$，此时方程无正整数解，不符合题意.
综上所述，$\begin{cases}m=1,\\n=10,\end{cases}$或$\begin{cases}m=7,\\n=7,\end{cases}$
$\therefore \begin{cases}a=2,\\b=19,\end{cases}$或$\begin{cases}a=14,\\b=13.\end{cases}$
$\therefore a+b=21$或$a+b=27$.
又$\because a$是质数，$\therefore a=2.\therefore a^2=4$.
$\because a^2 + b^2 = 365$，$\therefore b^2=361.\therefore b=19.\therefore a+b=21$.
(2)$\because a$是偶数，$a^2 + b^2 = 365$，
$\therefore b$一定是奇数.
设$a=2m$，$b=2n-1$($m,n$都为正整数).
$\because a^2 + b^2 = 365$，$\therefore (2m)^2 + (2n-1)^2 = 361+4$.
$\therefore (2m)^2 - 2^2 = 19^2 - (2n-1)^2$.
$\therefore (2m+2)(2m-2)=(19+2n-1)(19-2n+1)$.
$\therefore (2m+2)(2m-2)=(18+2n)(20-2n)$.
$\therefore (m+1)(m-1)=(9+n)(10-n)$.
$\because m≥1$，$\therefore (m+1)(m-1)≥0.\therefore 10-n≥0.\therefore n≤10$.
当$n=10$时，$m=1$，符合题意；
当$n=9$时，$m^2-1=18$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=8$时，$m^2-1=34$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=7$时，$m^2-1=48$，$m=7$或$m=-7$(舍去)，符合题意；
当$n=6$时，$m^2-1=60$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=5$时，$m^2-1=70$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=4$时，$m^2-1=78$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=3$时，$m^2-1=84$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=2$时，$m^2-1=88$，此时方程无正整数解，不符合题意；
当$n=1$时，$m^2-1=90$，此时方程无正整数解，不符合题意.
综上所述，$\begin{cases}m=1,\\n=10,\end{cases}$或$\begin{cases}m=7,\\n=7,\end{cases}$
$\therefore \begin{cases}a=2,\\b=19,\end{cases}$或$\begin{cases}a=14,\\b=13.\end{cases}$
$\therefore a+b=21$或$a+b=27$.
解析
【分析】
(1)先依据奇偶性运算性质：奇数的平方为奇数、偶数的平方为偶数，结合365是奇数，判断出a²的奇偶性；再结合a是质数的条件，确定a的取值，代入方程求出b后即可计算a+b。
(2)由a是偶数推出b是奇数，设参数表示a、b后代入原方程，利用平方差公式因式分解变形，根据正整数的取值范围缩小参数的讨论区间，逐一验证得到符合条件的参数值，最终求出a+b的所有可能结果。
【解析】
(1)
∵b是奇数，
∴b²也是奇数。
∵$a^2 + b^2 = 365$（365为奇数），
∴$a^2$是偶数。
又
∵a是质数，唯一的偶质数为2，
∴$a=2$，$a^2=4$。
将$a^2=4$代入$a^2 + b^2 = 365$，得$b^2=365-4=361$，解得$b=19$（b为正整数，舍去负根）。
∴$a+b=2+19=21$。
(2)
∵a是偶数，
∴$a^2$是偶数，结合$a^2 + b^2 = 365$得$b^2$是奇数，即b为奇数。
设$a=2m$，$b=2n-1$（m、n均为正整数），代入原方程得：
$(2m)^2 + (2n-1)^2 = 365$
整理移项后用平方差公式因式分解：
$(2m)^2 - 2^2 = 19^2 - (2n-1)^2$
即$(2m+2)(2m-2)=(19+2n-1)(19-2n+1)$
化简得：$4(m+1)(m-1)=4(9+n)(10-n)$，两边同除以4得$(m+1)(m-1)=(9+n)(10-n)$。
∵m为正整数，
∴$(m+1)(m-1)=m^2-1≥0$，
∴$(9+n)(10-n)≥0$，得正整数n≤10。
逐一验证n的取值：
当n=10时，$(9+10)(10-10)=0$，即$m^2-1=0$，解得$m=1$（负根舍去），符合题意；
当n=9时，$(9+9)(10-9)=18$，即$m^2=19$，无正整数解，舍去；
当n=8时，$(9+8)(10-8)=34$，即$m^2=35$，无正整数解，舍去；
当n=7时，$(9+7)(10-7)=48$，即$m^2=49$，解得$m=7$（负根舍去），符合题意；
当n=1、2、3、4、5、6时，代入后m²均不是完全平方数，无正整数解，舍去。
综上得$\begin{cases}m=1\\n=10\end{cases}$或$\begin{cases}m=7\\n=7\end{cases}$，对应$\begin{cases}a=2\\b=19\end{cases}$或$\begin{cases}a=14\\b=13\end{cases}$，
∴$a+b=2+19=21$或$a+b=14+13=27$。
【答案】
(1)$21$；(2)$21$或$27$
【知识点】
数的奇偶性，质数的定义，平方差公式因式分解
【点评】
本题将整数性质和因式分解结合考查，解题时需要先通过奇偶性缩小未知数的取值范围，再利用因式分解变形简化运算，最后通过分类讨论验证得到所有解，注意不要遗漏符合条件的正整数解。
【难度系数】
0.6
(1)先依据奇偶性运算性质：奇数的平方为奇数、偶数的平方为偶数，结合365是奇数，判断出a²的奇偶性；再结合a是质数的条件，确定a的取值，代入方程求出b后即可计算a+b。
(2)由a是偶数推出b是奇数，设参数表示a、b后代入原方程，利用平方差公式因式分解变形，根据正整数的取值范围缩小参数的讨论区间，逐一验证得到符合条件的参数值，最终求出a+b的所有可能结果。
【解析】
(1)
∵b是奇数，
∴b²也是奇数。
∵$a^2 + b^2 = 365$（365为奇数），
∴$a^2$是偶数。
又
∵a是质数，唯一的偶质数为2，
∴$a=2$，$a^2=4$。
将$a^2=4$代入$a^2 + b^2 = 365$，得$b^2=365-4=361$，解得$b=19$（b为正整数，舍去负根）。
∴$a+b=2+19=21$。
(2)
∵a是偶数，
∴$a^2$是偶数，结合$a^2 + b^2 = 365$得$b^2$是奇数，即b为奇数。
设$a=2m$，$b=2n-1$（m、n均为正整数），代入原方程得：
$(2m)^2 + (2n-1)^2 = 365$
整理移项后用平方差公式因式分解：
$(2m)^2 - 2^2 = 19^2 - (2n-1)^2$
即$(2m+2)(2m-2)=(19+2n-1)(19-2n+1)$
化简得：$4(m+1)(m-1)=4(9+n)(10-n)$，两边同除以4得$(m+1)(m-1)=(9+n)(10-n)$。
∵m为正整数，
∴$(m+1)(m-1)=m^2-1≥0$，
∴$(9+n)(10-n)≥0$，得正整数n≤10。
逐一验证n的取值：
当n=10时，$(9+10)(10-10)=0$，即$m^2-1=0$，解得$m=1$（负根舍去），符合题意；
当n=9时，$(9+9)(10-9)=18$，即$m^2=19$，无正整数解，舍去；
当n=8时，$(9+8)(10-8)=34$，即$m^2=35$，无正整数解，舍去；
当n=7时，$(9+7)(10-7)=48$，即$m^2=49$，解得$m=7$（负根舍去），符合题意；
当n=1、2、3、4、5、6时，代入后m²均不是完全平方数，无正整数解，舍去。
综上得$\begin{cases}m=1\\n=10\end{cases}$或$\begin{cases}m=7\\n=7\end{cases}$，对应$\begin{cases}a=2\\b=19\end{cases}$或$\begin{cases}a=14\\b=13\end{cases}$，
∴$a+b=2+19=21$或$a+b=14+13=27$。
【答案】
(1)$21$；(2)$21$或$27$
【知识点】
数的奇偶性，质数的定义，平方差公式因式分解
【点评】
本题将整数性质和因式分解结合考查，解题时需要先通过奇偶性缩小未知数的取值范围，再利用因式分解变形简化运算，最后通过分类讨论验证得到所有解，注意不要遗漏符合条件的正整数解。
【难度系数】
0.6
