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1.下列计算中,不能用平方差公式计算的是(
A.$(m-n)(-m+n)$
B.$(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$
C.$(-a - b)(a - b)$
D.$(c^2 - d^2)(d^2 + c^2)$
A
).A.$(m-n)(-m+n)$
B.$(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$
C.$(-a - b)(a - b)$
D.$(c^2 - d^2)(d^2 + c^2)$
答案
1.A
解析
【分析】
解题首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可用平方差公式计算。解题时逐一分析每个选项的两个因式，判断是否存在相同项和相反项，不满足特征的即为不能用平方差公式计算的选项。
【解析】
平方差公式为$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其核心结构是：两个二项式相乘，有一组项完全相同，另一组项互为相反数。
对各选项逐一分析：
选项A：$(m-n)(-m+n)=(m-n)[-(m-n)]=-(m-n)^2$，两个因式中$m$与$-m$互为相反数，$-n$与$n$也互为相反数，没有完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算。
选项B：$(x^3-y^3)(x^3+y^3)$中，相同项是$x^3$，相反项是$-y^3$和$y^3$，符合平方差公式结构，可计算得$(x^3)^2-(y^3)^2=x^6-y^6$。
选项C：$(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)$，相同项是$-b$，相反项是$-a$和$a$，符合平方差公式结构，可计算得$(-b)^2-a^2=b^2-a^2$。
选项D：$(c^2-d^2)(d^2+c^2)=(c^2-d^2)(c^2+d^2)$，相同项是$c^2$，相反项是$-d^2$和$d^2$，符合平方差公式结构，可计算得$(c^2)^2-(d^2)^2=c^4-d^4$。
综上，只有选项A不能用平方差公式计算。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式的识别
【点评】
本题是乘法公式的基础考查题，解题关键是准确把握平方差公式的结构特征，快速区分两个因式中的相同项和相反项，熟练掌握该特征是后续运用平方差公式简便计算的基础。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可用平方差公式计算。解题时逐一分析每个选项的两个因式，判断是否存在相同项和相反项，不满足特征的即为不能用平方差公式计算的选项。
【解析】
平方差公式为$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其核心结构是：两个二项式相乘，有一组项完全相同，另一组项互为相反数。
对各选项逐一分析：
选项A：$(m-n)(-m+n)=(m-n)[-(m-n)]=-(m-n)^2$，两个因式中$m$与$-m$互为相反数，$-n$与$n$也互为相反数，没有完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算。
选项B：$(x^3-y^3)(x^3+y^3)$中，相同项是$x^3$，相反项是$-y^3$和$y^3$，符合平方差公式结构，可计算得$(x^3)^2-(y^3)^2=x^6-y^6$。
选项C：$(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)$，相同项是$-b$，相反项是$-a$和$a$，符合平方差公式结构，可计算得$(-b)^2-a^2=b^2-a^2$。
选项D：$(c^2-d^2)(d^2+c^2)=(c^2-d^2)(c^2+d^2)$，相同项是$c^2$，相反项是$-d^2$和$d^2$，符合平方差公式结构，可计算得$(c^2)^2-(d^2)^2=c^4-d^4$。
综上，只有选项A不能用平方差公式计算。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式的识别
【点评】
本题是乘法公式的基础考查题，解题关键是准确把握平方差公式的结构特征，快速区分两个因式中的相同项和相反项，熟练掌握该特征是后续运用平方差公式简便计算的基础。
【难度系数】
0.8
2.下列运算正确的是(
A.$a^2 · a^3 = a^6$
B.$(a+1)(1-a) = a^2 -1$
C.$a^8 ÷ a^4 = a^2$
D.$(a^2b^3)^2 = a^4b^6$
D
).A.$a^2 · a^3 = a^6$
B.$(a+1)(1-a) = a^2 -1$
C.$a^8 ÷ a^4 = a^2$
D.$(a^2b^3)^2 = a^4b^6$
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查整式的相关运算，解题时需要我们逐一根据对应运算法则验证每个选项的正确性：首先回忆同底数幂的乘除法则、平方差公式、积的乘方与幂的乘方法则，再分别代入每个选项计算，将计算结果和选项给出的结果对比，选出运算正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，故A错误；
选项B：根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，这里$m=1$，$n=a$，所以$(a+1)(1-a)=(1+a)(1-a)=1^2-a^2=1-a^2≠ a^2-1$，故B错误；
选项C：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^8÷ a^4=a^{8-4}=a^4≠ a^2$，故C错误；
选项D：根据积的乘方法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，结合幂的乘方底数不变指数相乘，可得$(a^2b^3)^2=(a^2)^2·(b^3)^2=a^4b^6$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除运算，平方差公式，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，重点要求学生熟练掌握各类整式运算的法则，注意区分不同运算中指数的计算规则，使用平方差公式时要准确识别对应项，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式的相关运算，解题时需要我们逐一根据对应运算法则验证每个选项的正确性：首先回忆同底数幂的乘除法则、平方差公式、积的乘方与幂的乘方法则，再分别代入每个选项计算，将计算结果和选项给出的结果对比，选出运算正确的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠ a^6$，故A错误；
选项B：根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，这里$m=1$，$n=a$，所以$(a+1)(1-a)=(1+a)(1-a)=1^2-a^2=1-a^2≠ a^2-1$，故B错误；
选项C：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^8÷ a^4=a^{8-4}=a^4≠ a^2$，故C错误；
选项D：根据积的乘方法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，结合幂的乘方底数不变指数相乘，可得$(a^2b^3)^2=(a^2)^2·(b^3)^2=a^4b^6$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除运算，平方差公式，幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，重点要求学生熟练掌握各类整式运算的法则，注意区分不同运算中指数的计算规则，使用平方差公式时要准确识别对应项，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
3.在等式$(-3a^2 -4b^2)(\quad)=16b^4 -9a^4$中，括号内应填入的是(
A.$3a^2 -4b^2$
B.$4b^2 -3a^2$
C.$-3a^2 -4b^2$
D.$3a^2 +4b^2$
A
)。A.$3a^2 -4b^2$
B.$4b^2 -3a^2$
C.$-3a^2 -4b^2$
D.$3a^2 +4b^2$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时可以从两个思路入手：一是利用平方差公式的逆用，先将等式右侧的多项式分解为两个整式乘积的形式，再对比左侧已知的因式，推导括号内应填的代数式；二是利用乘除互为逆运算，用等式右侧的结果除以左侧已知的因式，直接计算出括号内的式子。首先要识别出右侧$16b^4-9a^4$是两个整式的平方差，符合平方差公式的结构特征。
【解析】
方法一：利用平方差公式逆运算
首先将等式右侧变形：
$16b^4 -9a^4=(4b^2)^2-(3a^2)^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$(4b^2)^2-(3a^2)^2=(4b^2+3a^2)(4b^2-3a^2)$
再将左侧已知的因式变形：
$-3a^2-4b^2=-(3a^2+4b^2)=-(4b^2+3a^2)$
设括号内的代数式为$M$，则等式可写为：
$-(4b^2+3a^2) · M=(4b^2+3a^2)(4b^2-3a^2)$
两边同时除以$(4b^2+3a^2)$，得：
$-M=4b^2-3a^2$
因此$M=3a^2-4b^2$。
方法二：利用乘除逆运算
括号内的代数式 = 右侧结果 ÷ 左侧已知因式，即：
$\begin{aligned}(16b^4-9a^4)÷(-3a^2-4b^2)&=[(4b^2+3a^2)(4b^2-3a^2)]÷[-(3a^2+4b^2)]\\&=(4b^2-3a^2)÷(-1)\\&=3a^2-4b^2\end{aligned}$
综上，括号内应填$3a^2-4b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，整式乘除运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，重点考查对平方差公式结构特征的掌握，要求学生能熟练正向、逆向运用平方差公式，也可结合乘除互逆的运算关系解题，掌握方法后难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时可以从两个思路入手：一是利用平方差公式的逆用，先将等式右侧的多项式分解为两个整式乘积的形式，再对比左侧已知的因式，推导括号内应填的代数式；二是利用乘除互为逆运算，用等式右侧的结果除以左侧已知的因式，直接计算出括号内的式子。首先要识别出右侧$16b^4-9a^4$是两个整式的平方差，符合平方差公式的结构特征。
【解析】
方法一：利用平方差公式逆运算
首先将等式右侧变形：
$16b^4 -9a^4=(4b^2)^2-(3a^2)^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$(4b^2)^2-(3a^2)^2=(4b^2+3a^2)(4b^2-3a^2)$
再将左侧已知的因式变形：
$-3a^2-4b^2=-(3a^2+4b^2)=-(4b^2+3a^2)$
设括号内的代数式为$M$，则等式可写为：
$-(4b^2+3a^2) · M=(4b^2+3a^2)(4b^2-3a^2)$
两边同时除以$(4b^2+3a^2)$，得：
$-M=4b^2-3a^2$
因此$M=3a^2-4b^2$。
方法二：利用乘除逆运算
括号内的代数式 = 右侧结果 ÷ 左侧已知因式，即：
$\begin{aligned}(16b^4-9a^4)÷(-3a^2-4b^2)&=[(4b^2+3a^2)(4b^2-3a^2)]÷[-(3a^2+4b^2)]\\&=(4b^2-3a^2)÷(-1)\\&=3a^2-4b^2\end{aligned}$
综上，括号内应填$3a^2-4b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，整式乘除运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，重点考查对平方差公式结构特征的掌握，要求学生能熟练正向、逆向运用平方差公式，也可结合乘除互逆的运算关系解题，掌握方法后难度较低。
【难度系数】
0.7
4.若$m^2 - n^2 = 40$，且$m - n = 5$，则$m + n$的值为
8
。答案
4.8
解析
【分析】
首先观察已知条件中的$m^2 - n^2$，符合平方差公式的结构特征，因此可以先利用平方差公式对其进行因式分解，分解后式子中含有$m-n$和$m+n$两个因式，已知$m^2 - n^2$和$m-n$的值，将已知量代入分解后的式子，即可求出$m+n$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
已知$m^2 - n^2 = 40$，$m - n = 5$，将其代入上式得：
$40 = 5 × (m + n)$
解得：$m + n = 40 ÷ 5 = 8$
【答案】
8
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的逆用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的形式，能准确对平方差形式的多项式进行因式分解，再代入已知条件计算即可。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件中的$m^2 - n^2$，符合平方差公式的结构特征，因此可以先利用平方差公式对其进行因式分解，分解后式子中含有$m-n$和$m+n$两个因式，已知$m^2 - n^2$和$m-n$的值，将已知量代入分解后的式子，即可求出$m+n$的值。
【解析】
根据平方差公式可得：
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$
已知$m^2 - n^2 = 40$，$m - n = 5$，将其代入上式得：
$40 = 5 × (m + n)$
解得：$m + n = 40 ÷ 5 = 8$
【答案】
8
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的逆用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的形式，能准确对平方差形式的多项式进行因式分解，再代入已知条件计算即可。
【难度系数】
0.8
5.若$x+y=9$，$x-y=5$，则$x^2 - y^2$的值为
45
.答案
5.45
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式$x^2 - y^2$的结构，符合平方差公式的形式，因此优先考虑利用平方差公式变形。平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，变形后所求式子可以转化为$(x+y)(x-y)$，恰好题目已经给出$x+y$和$x-y$的数值，直接整体代入计算即可得到结果，不需要分别求解x、y的值，能简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
已知$x + y = 9$，$x - y = 5$，将其代入上式计算：
原式$= 9×5 = 45$
【答案】
45
【知识点】
平方差公式；整体代入求值
【点评】
本题考查乘法公式的基础应用，核心是能识别代数式的结构特征，匹配对应的乘法公式，利用整体代入的方法快速计算，避免不必要的方程组求解，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察所求代数式$x^2 - y^2$的结构，符合平方差公式的形式，因此优先考虑利用平方差公式变形。平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，变形后所求式子可以转化为$(x+y)(x-y)$，恰好题目已经给出$x+y$和$x-y$的数值，直接整体代入计算即可得到结果，不需要分别求解x、y的值，能简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
已知$x + y = 9$，$x - y = 5$，将其代入上式计算：
原式$= 9×5 = 45$
【答案】
45
【知识点】
平方差公式；整体代入求值
【点评】
本题考查乘法公式的基础应用，核心是能识别代数式的结构特征，匹配对应的乘法公式，利用整体代入的方法快速计算，避免不必要的方程组求解，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
6.计算$(-x+2y)(-x-2y)$的结果为
$x^2 - 4y^2$
.答案
6.$x^2 - 4y^2$
解析
【分析】
拿到这道两个二项式相乘的题目，首先观察式子结构特征：两个因式中第一项都是$-x$（相同项），第二项分别是$2y$和$-2y$（互为相反数的项），符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，可直接套用公式计算。解题时先确定公式中的$a$为相同项$-x$，$b$为相反项的绝对值$2y$，再代入公式分别计算两项的平方，最后做差即可得到结果。
【解析】
观察式子可知符合平方差公式的结构，其中相同项$a=-x$，相反项的绝对值$b=2y$，根据平方差公式计算：
$\begin{aligned}(-x+2y)(-x-2y)&=(-x)^2-(2y)^2\\&=x^2-4y^2\end{aligned}$
【答案】
$x^2 - 4y^2$
【知识点】
平方差公式，积的乘方，整式乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，区分相同项和相反项，计算时注意符号和积的乘方的运算规则，熟练掌握公式可快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到这道两个二项式相乘的题目，首先观察式子结构特征：两个因式中第一项都是$-x$（相同项），第二项分别是$2y$和$-2y$（互为相反数的项），符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，可直接套用公式计算。解题时先确定公式中的$a$为相同项$-x$，$b$为相反项的绝对值$2y$，再代入公式分别计算两项的平方，最后做差即可得到结果。
【解析】
观察式子可知符合平方差公式的结构，其中相同项$a=-x$，相反项的绝对值$b=2y$，根据平方差公式计算：
$\begin{aligned}(-x+2y)(-x-2y)&=(-x)^2-(2y)^2\\&=x^2-4y^2\end{aligned}$
【答案】
$x^2 - 4y^2$
【知识点】
平方差公式，积的乘方，整式乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，区分相同项和相反项，计算时注意符号和积的乘方的运算规则，熟练掌握公式可快速解题。
【难度系数】
0.9
7.计算$2\ 026^2 - 2\ 025 × 2\ 027$
答案
原式$=2\ 026^2-(2\ 026-1)×(2\ 026+1)=2\ 026^2-(2\ 026^2-1^2)=2\ 026^2-2\ 026^2+1=1.$
解析
【分析】
观察算式可知，2025、2026、2027是连续的三个整数，若直接计算大数的乘积和平方，运算量较大容易出错。我们可以将2025改写为2026-1，2027改写为2026+1，此时相乘的部分刚好符合平方差公式的结构，代入公式化简后即可快速消去高次项，简化计算。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=2026^2-(2026-1)×(2026+1)\\&=2026^2-(2026^2-1^2)\\&=2026^2-2026^2+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 有理数简便运算
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用，解题的核心是发现算式中相乘的两个数与平方项底数的数量关系，通过变形转化为平方差公式的标准形式，既规避了大数运算的繁琐，也能提升计算的准确率。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，2025、2026、2027是连续的三个整数，若直接计算大数的乘积和平方，运算量较大容易出错。我们可以将2025改写为2026-1，2027改写为2026+1，此时相乘的部分刚好符合平方差公式的结构，代入公式化简后即可快速消去高次项，简化计算。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=2026^2-(2026-1)×(2026+1)\\&=2026^2-(2026^2-1^2)\\&=2026^2-2026^2+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 有理数简便运算
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用，解题的核心是发现算式中相乘的两个数与平方项底数的数量关系，通过变形转化为平方差公式的标准形式，既规避了大数运算的繁琐，也能提升计算的准确率。
【难度系数】
0.8
8.先化简,再求值:$(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)$,其中$x=1,y=2.$
答案
$(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)=4x^2-y^2-(4y^2-x^2)=4x^2-y^2-4y^2+x^2=5x^2-5y^2$,当$x=1,y=2$时,原式$=5×1^2-5×2^2=5-20=-15.$
解析
【分析】
观察待化简的式子，两个乘积项均符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构特征，因此第一步先利用平方差公式分别展开两个乘积部分；接着对展开后的式子去括号，注意括号前为负号时，括号内各项要变号；之后合并同类项得到最简整式；最后将已知的$x$、$y$的值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
利用平方差公式分别展开两个乘积项：
$(2x-y)(y+2x)=(2x)^2-y^2=4x^2-y^2$
$(2y+x)(2y-x)=(2y)^2-x^2=4y^2-x^2$
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=4x^2-y^2-(4y^2-x^2)\\&=4x^2-y^2-4y^2+x^2\\&=5x^2-5y^2\end{aligned}$
将$x=1$，$y=2$代入最简式计算：
$\begin{aligned}原式&=5×1^2-5×2^2\\&=5×1-5×4\\&=5-20\\&=-15\end{aligned}$
【答案】
$-15$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值，合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，去括号时注意符号变化，代入数值计算时要正确计算乘方，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
观察待化简的式子，两个乘积项均符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构特征，因此第一步先利用平方差公式分别展开两个乘积部分；接着对展开后的式子去括号，注意括号前为负号时，括号内各项要变号；之后合并同类项得到最简整式；最后将已知的$x$、$y$的值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
利用平方差公式分别展开两个乘积项：
$(2x-y)(y+2x)=(2x)^2-y^2=4x^2-y^2$
$(2y+x)(2y-x)=(2y)^2-x^2=4y^2-x^2$
代入原式化简：
$\begin{aligned}原式&=4x^2-y^2-(4y^2-x^2)\\&=4x^2-y^2-4y^2+x^2\\&=5x^2-5y^2\end{aligned}$
将$x=1$，$y=2$代入最简式计算：
$\begin{aligned}原式&=5×1^2-5×2^2\\&=5×1-5×4\\&=5-20\\&=-15\end{aligned}$
【答案】
$-15$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值，合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，去括号时注意符号变化，代入数值计算时要正确计算乘方，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
9.已知$a$为实数，若有整数$b$，$m$，满足$(a+b)(a-b)=m^{2}$，则称$a$是$b$，$m$的弦数.若$a＜15$且$a$为整数，请写出一组$a$，$b$，$m$，使得$a$是$b$，$m$的弦数：
$a=5,b=4,m=3$（答案不唯一）
.答案
9.$a=5,b=4,m=3$（答案不唯一）
解析
【分析】
首先审题明确“弦数”的定义，即整数a,b,m满足$(a+b)(a-b)=m^2$。第一步先利用平方差公式对等式左边进行化简，得到$a^2 - b^2 = m^2$，即$a^2 = b^2 + m^2$。接下来只需选取小于15的整数a，再找整数b、m使得$b^2$与$m^2$的和等于$a^2$即可，可尝试较小的整数快速找到符合条件的数。
【解析】
根据平方差公式可得：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，
结合“弦数”的定义可知：$a^2 - b^2 = m^2$，即$a^2 = b^2 + m^2$。
选取小于15的整数$a=5$，此时$a^2=25$，
因为$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，所以可取$b=4$，$m=3$，
代入原式验证：左边=$(5+4)(5-4)=9×1=9$，右边=$3^2=9$，等式成立，符合要求。
（注：答案不唯一，如$a=10,b=8,m=6$等也满足条件）
【答案】
$a=5,b=4,m=3$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式，新定义运算，整数乘方
【点评】
本题结合新定义考查平方差公式的应用，解题的关键是通过公式化简新定义等式，将陌生问题转化为熟悉的整数平方运算问题，灵活性较强但难度不高，掌握平方差公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先审题明确“弦数”的定义，即整数a,b,m满足$(a+b)(a-b)=m^2$。第一步先利用平方差公式对等式左边进行化简，得到$a^2 - b^2 = m^2$，即$a^2 = b^2 + m^2$。接下来只需选取小于15的整数a，再找整数b、m使得$b^2$与$m^2$的和等于$a^2$即可，可尝试较小的整数快速找到符合条件的数。
【解析】
根据平方差公式可得：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，
结合“弦数”的定义可知：$a^2 - b^2 = m^2$，即$a^2 = b^2 + m^2$。
选取小于15的整数$a=5$，此时$a^2=25$，
因为$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，所以可取$b=4$，$m=3$，
代入原式验证：左边=$(5+4)(5-4)=9×1=9$，右边=$3^2=9$，等式成立，符合要求。
（注：答案不唯一，如$a=10,b=8,m=6$等也满足条件）
【答案】
$a=5,b=4,m=3$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式，新定义运算，整数乘方
【点评】
本题结合新定义考查平方差公式的应用，解题的关键是通过公式化简新定义等式，将陌生问题转化为熟悉的整数平方运算问题，灵活性较强但难度不高，掌握平方差公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10.若$x^2 -4x -4=0$，则$2(x-1)^2 - (x+1)(x-1)$的值为
7
.答案
10.7
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程求整式值的问题时，优先选择先化简所求整式、再整体代换的方法，比直接解方程代入更简便。首先我们要利用完全平方公式、平方差公式把所求的整式展开，合并同类项后，将式子转化为含有已知方程中$x^2-4x$的形式，再把已知方程变形得到的$x^2-4x$的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先化简代数式$2(x-1)^2 - (x+1)(x-1)$：
1. 利用完全平方公式展开：$2(x-1)^2=2(x^2-2x+1)=2x^2-4x+2$
2. 利用平方差公式展开：$(x+1)(x-1)=x^2-1$
3. 代入原式去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=2x^2-4x+2 - (x^2-1)\\&=2x^2-4x+2 -x^2+1\\&=x^2-4x+3\end{aligned}$
已知$x^2 -4x -4=0$，移项可得$x^2-4x=4$，将其代入化简后的式子：
$x^2-4x+3=4+3=7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式化简求值
【点评】
本题是乘法公式应用的常规题型，解题核心是先通过乘法公式化简代数式，再用整体代入的思想计算，避免了求解无理根的繁琐计算，既考察了乘法公式的掌握程度，也考察了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
遇到已知一元二次方程求整式值的问题时，优先选择先化简所求整式、再整体代换的方法，比直接解方程代入更简便。首先我们要利用完全平方公式、平方差公式把所求的整式展开，合并同类项后，将式子转化为含有已知方程中$x^2-4x$的形式，再把已知方程变形得到的$x^2-4x$的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先化简代数式$2(x-1)^2 - (x+1)(x-1)$：
1. 利用完全平方公式展开：$2(x-1)^2=2(x^2-2x+1)=2x^2-4x+2$
2. 利用平方差公式展开：$(x+1)(x-1)=x^2-1$
3. 代入原式去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=2x^2-4x+2 - (x^2-1)\\&=2x^2-4x+2 -x^2+1\\&=x^2-4x+3\end{aligned}$
已知$x^2 -4x -4=0$，移项可得$x^2-4x=4$，将其代入化简后的式子：
$x^2-4x+3=4+3=7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式化简求值
【点评】
本题是乘法公式应用的常规题型，解题核心是先通过乘法公式化简代数式，再用整体代入的思想计算，避免了求解无理根的繁琐计算，既考察了乘法公式的掌握程度，也考察了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
