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11.某数学兴趣小组用“等面积法”构造图形来验证平方差公式.
(1)以上四种构造过程中,能够验证平方差公式的有
(2)计算$(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×\dots×(2^{64} +1)$.
(1)以上四种构造过程中,能够验证平方差公式的有
①②③
（填写序号）.(2)计算$(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×\dots×(2^{64} +1)$.
答案
(1)①②③
(2)$(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×\dots×(2^{64} +1)$
$=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)$
$=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)$
$=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)$
$=(2^8-1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)$
$=(2^{16}-1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)×(2^{64}+1)$
$=(2^{32}-1)×(2^{32}+1)×(2^{64}+1)$
$=(2^{64}-1)×(2^{64}+1)$
$=2^{128}-1.$
(2)$(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×\dots×(2^{64} +1)$
$=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)$
$=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)$
$=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)$
$=(2^8-1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)$
$=(2^{16}-1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)×(2^{64}+1)$
$=(2^{32}-1)×(2^{32}+1)×(2^{64}+1)$
$=(2^{64}-1)×(2^{64}+1)$
$=2^{128}-1.$
解析
【分析】
(1) 验证平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的核心是判断阴影部分面积是否既能表示为$a^2-b^2$，又能表示为$(a+b)(a-b)$，两者相等即可验证公式：
① 左图阴影面积为大正方形减小正方形的$a^2-b^2$，右图拼接的平行四边形底为$a+b$、高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可验证；
② 左图阴影面积为$a^2-b^2$，右图拼接的长方形长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可验证；
③ 左图阴影面积为$a^2-b^2$，右图拼接的平行四边形底为$a+b$、高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可验证；
④ 左图阴影面积为$a^2-b^2$，右图拼接长方形面积为$2ab$，二者不恒等，无法验证。
(2) 观察算式所有因式均为两数和的形式，可补充乘$2-1=1$（不改变原式结果），即可连续使用平方差公式逐步化简。
【解析】
(1) 对四个构造逐一分析：
① 阴影面积$S=a^2-b^2$，拼接后平行四边形面积$S=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
② 阴影面积$S=a^2-b^2$，拼接后长方形面积$S=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
③ 阴影面积$S=a^2-b^2$，拼接后平行四边形面积$S=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
④ 阴影面积$S=a^2-b^2$，拼接后长方形面积$S=2ab$，二者不恒等，无法验证。
因此能验证平方差公式的是①②③。
(2) 利用乘1不改变原式大小的性质，补充因式$(2-1)$后连续应用平方差公式计算：
$\begin{aligned}&\quad(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×\dots×(2^{64} +1)\\&=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)\\&=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)\\&=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)\\&=(2^8-1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)\\&=(2^{16}-1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)×(2^{64}+1)\\&=(2^{32}-1)×(2^{32}+1)×(2^{64}+1)\\&=(2^{64}-1)×(2^{64}+1)\\&=2^{128}-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{①②③}$
(2) $\boxed{2^{128}-1}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 等面积法
3. 乘法巧算
【点评】
本题结合几何图形和代数运算考查平方差公式的理解与应用，第一问将代数公式与几何面积结合，体现数形结合思想；第二问需要灵活构造符合平方差公式的形式，连续应用公式简化计算，是平方差公式的典型应用题型。
【难度系数】
0.65
(1) 验证平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的核心是判断阴影部分面积是否既能表示为$a^2-b^2$，又能表示为$(a+b)(a-b)$，两者相等即可验证公式：
① 左图阴影面积为大正方形减小正方形的$a^2-b^2$，右图拼接的平行四边形底为$a+b$、高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可验证；
② 左图阴影面积为$a^2-b^2$，右图拼接的长方形长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可验证；
③ 左图阴影面积为$a^2-b^2$，右图拼接的平行四边形底为$a+b$、高为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，可验证；
④ 左图阴影面积为$a^2-b^2$，右图拼接长方形面积为$2ab$，二者不恒等，无法验证。
(2) 观察算式所有因式均为两数和的形式，可补充乘$2-1=1$（不改变原式结果），即可连续使用平方差公式逐步化简。
【解析】
(1) 对四个构造逐一分析：
① 阴影面积$S=a^2-b^2$，拼接后平行四边形面积$S=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
② 阴影面积$S=a^2-b^2$，拼接后长方形面积$S=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
③ 阴影面积$S=a^2-b^2$，拼接后平行四边形面积$S=(a+b)(a-b)$，可验证平方差公式；
④ 阴影面积$S=a^2-b^2$，拼接后长方形面积$S=2ab$，二者不恒等，无法验证。
因此能验证平方差公式的是①②③。
(2) 利用乘1不改变原式大小的性质，补充因式$(2-1)$后连续应用平方差公式计算：
$\begin{aligned}&\quad(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×\dots×(2^{64} +1)\\&=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)\\&=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)\\&=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)\\&=(2^8-1)×(2^8+1)×\dots×(2^{64}+1)\\&=(2^{16}-1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)×(2^{64}+1)\\&=(2^{32}-1)×(2^{32}+1)×(2^{64}+1)\\&=(2^{64}-1)×(2^{64}+1)\\&=2^{128}-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{①②③}$
(2) $\boxed{2^{128}-1}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 等面积法
3. 乘法巧算
【点评】
本题结合几何图形和代数运算考查平方差公式的理解与应用，第一问将代数公式与几何面积结合，体现数形结合思想；第二问需要灵活构造符合平方差公式的形式，连续应用公式简化计算，是平方差公式的典型应用题型。
【难度系数】
0.65
12.在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律.
(1)图①是2026年5月份的月历,我们用如图所示的“Z”字形框架任意框住月历中的5个数(如图①中的阴影部分),将位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减.
例如:$5×19-4×20,2×16-1×17$,不难发现,结果都等于
(2)设“Z”字形框架中位置C上的数为x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明.
(3)如图②,在某月历中,正方形方框(阴影部分)框住9个数,如果最小的数和最大的数的乘积为57,那么中间位置上的数$a=$
(1)图①是2026年5月份的月历,我们用如图所示的“Z”字形框架任意框住月历中的5个数(如图①中的阴影部分),将位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减.
例如:$5×19-4×20,2×16-1×17$,不难发现,结果都等于
15
.(2)设“Z”字形框架中位置C上的数为x,请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明.
(3)如图②,在某月历中,正方形方框(阴影部分)框住9个数,如果最小的数和最大的数的乘积为57,那么中间位置上的数$a=$
11
.答案
(1)15
(2)设“Z”字形框架中位置C上的数为x,则A,B,D,E四个数依次为$x-8,x-7,x+7,x+8.$
由题意得,$(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)$
$=(x^2-49)-(x^2-64)$
$=x^2-49-x^2+64$
$=15.$
(3)中间位置上的数为a,则最小的数为$a-8$,最大的数为$a+8.$
由题意得,$(a-8)(a+8)=57$,
$a^2-64=57$,
$a^2=121$,
$a=11$或$-11$(负值舍去),
$\therefore a=11$,
故答案为11.
(2)设“Z”字形框架中位置C上的数为x,则A,B,D,E四个数依次为$x-8,x-7,x+7,x+8.$
由题意得,$(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)$
$=(x^2-49)-(x^2-64)$
$=x^2-49-x^2+64$
$=15.$
(3)中间位置上的数为a,则最小的数为$a-8$,最大的数为$a+8.$
由题意得,$(a-8)(a+8)=57$,
$a^2-64=57$,
$a^2=121$,
$a=11$或$-11$(负值舍去),
$\therefore a=11$,
故答案为11.
解析
【分析】
(1) 直接计算题干给出的两组算式即可得出结果：分别算出两组乘积的差，观察结果的共性。
(2) 首先明确月历的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。设位置C的数为x，根据“Z”字形的位置关系，用含x的代数式分别表示出A、B、D、E四个数，再代入$B× D - A× E$的式子，利用平方差公式化简即可证明规律。
(3) 3×3正方形方框中，中间数为a时，最小数是左上角的数，比a小8（左移1列减1，上移1行减7，合计减8），最大数是右下角的数，比a大8（右移1列加1，下移1行加7，合计加8），根据两数乘积为57列方程，利用平方差公式求解后，结合日期为正数的实际意义舍去不合题意的解即可。
【解析】
(1) 计算两组算式：
$5×19-4×20=95-80=15$，$2×16-1×17=32-17=15$，因此结果都等于15。
(2) 设“Z”字形框架中位置C上的数为x，根据月历数字规律可得：
$A=x-7-1=x-8$，$B=x-7$，$D=x+7$，$E=x+7+1=x+8$
代入式子计算：
$\begin{aligned}&(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)\\=&(x^2-49)-(x^2-64)\\=&x^2-49-x^2+64\\=&15\end{aligned}$
因此(1)中的规律恒成立。
(3) 设中间位置的数为a，则最小的数为$a-8$，最大的数为$a+8$，根据题意列方程：
$\begin{aligned}(a-8)(a+8)&=57\\a^2-64&=57\\a^2&=121\end{aligned}$
解得$a=11$或$a=-11$，由于日期为正数，舍去$a=-11$，因此$a=11$。
【答案】
(1)15
(2)证明如上，规律成立，结果恒为15
(3)11
【知识点】
平方差公式、日历数字规律、列方程解应用题
【点评】
本题结合月历的实际场景考查代数运算能力，解题核心是找准月历中数字的排列规律，灵活运用平方差公式简化计算，求解实际问题时要注意结合实际意义取舍解的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 直接计算题干给出的两组算式即可得出结果：分别算出两组乘积的差，观察结果的共性。
(2) 首先明确月历的数字规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。设位置C的数为x，根据“Z”字形的位置关系，用含x的代数式分别表示出A、B、D、E四个数，再代入$B× D - A× E$的式子，利用平方差公式化简即可证明规律。
(3) 3×3正方形方框中，中间数为a时，最小数是左上角的数，比a小8（左移1列减1，上移1行减7，合计减8），最大数是右下角的数，比a大8（右移1列加1，下移1行加7，合计加8），根据两数乘积为57列方程，利用平方差公式求解后，结合日期为正数的实际意义舍去不合题意的解即可。
【解析】
(1) 计算两组算式：
$5×19-4×20=95-80=15$，$2×16-1×17=32-17=15$，因此结果都等于15。
(2) 设“Z”字形框架中位置C上的数为x，根据月历数字规律可得：
$A=x-7-1=x-8$，$B=x-7$，$D=x+7$，$E=x+7+1=x+8$
代入式子计算：
$\begin{aligned}&(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)\\=&(x^2-49)-(x^2-64)\\=&x^2-49-x^2+64\\=&15\end{aligned}$
因此(1)中的规律恒成立。
(3) 设中间位置的数为a，则最小的数为$a-8$，最大的数为$a+8$，根据题意列方程：
$\begin{aligned}(a-8)(a+8)&=57\\a^2-64&=57\\a^2&=121\end{aligned}$
解得$a=11$或$a=-11$，由于日期为正数，舍去$a=-11$，因此$a=11$。
【答案】
(1)15
(2)证明如上，规律成立，结果恒为15
(3)11
【知识点】
平方差公式、日历数字规律、列方程解应用题
【点评】
本题结合月历的实际场景考查代数运算能力，解题核心是找准月历中数字的排列规律，灵活运用平方差公式简化计算，求解实际问题时要注意结合实际意义取舍解的合理性。
【难度系数】
0.7
